《2019年高考数学一轮复习(热点难点)专题57直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮复习(热点难点)专题57直线与圆锥曲线的位置关系之焦点弦、焦点三角形问题.pdf（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、备战 2019 年高考数学一轮复习 （热点难点） 专题 57 直线与圆锥曲线的位置 关系之焦点弦、焦点三角形问题 考纲要求 : 1掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法 2. 了解圆锥曲线的简单应用 3. 理解数形结合的思想 基础知识回顾 : 1直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点. (2) 从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情 况来判断设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程为f(x，y) 0. 由 AxByC 0， fx，y 0， 消元 ( 如消去y) 得ax 2 b
2、xc0. 若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l与抛物线的对称轴平行( 或重合 ) 若a0，设 b 24ac. a当 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b当 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点； c当 0 时，直线 和圆锥曲线没有公共点 2直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1) 斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1) ，P2(x2，y2) ，则所得弦长： |P1P2| k 2 x1x2 24x 1x2 1k 2| x1x2| 1 k 2y1y2 24y 1y2 1 1 k 2|y1y2| (2) 斜率不存在时，可求出交点坐标，直
3、接运算( 利用坐标轴上两点间距离公式) 应用举例 : 类型一椭圆的焦点三角形 【例 1】 【2018 届福建省福州市闽侯第六中学高三上期中】已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率 为 2 2 e，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为42 2. （ 1）求椭圆C的方程； （ 2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线ym和椭圆C交于,A B两点，且直线,DA DB与y轴分 别交于,P Q两点，求证： 1212 90PF FQF F. 【答案】 (1) 22 1 42 xy ;(2) 详见解析 . 0101 010101 12 01 tan x yy x xxx yy
4、 x PF F cc xx 0101 12 01 tan x yy x QF F c xx 2222 010101010101 1212 222 010101 tantan x yy xx yy xxyy x PF FQF F c xxc xxcxx 22 2201 22 01 01 2222 0101 22 2 22 11 1 22 xx xx xx xxxx 12 PF F与 12 QF F互余， 1212 90PF FQF F 【例 2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260. (1) 求椭圆离心率的范围； (2) 求证F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关 点评：
5、1. 焦点三角形： 椭圆上的点P(x0， y0) 与两焦点构成的 PF1F2叫做焦点三角形 r1|PF1| ， r2|PF2| ， F1PF2， PF1F2的面积为S，则在椭圆 x 2 a 2y 2 b 21(a b0) 中： 当 r1r2时，即点P的位置为短轴端点时， 最大； Sb 2tan 2 c|y0，当|y0b 时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 2. 椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体由于其位置、边的特 殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩 类型二椭 圆的焦点弦 【例 3】 【江苏省南京市2
6、017 届高三上学情调研】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(a b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴 上方） ，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q， 设PF1 F1Q （ 1）若点P的坐标为 (1 ， 3 2) ，且 PQF 2的周长为8，求椭圆C的方程； （ 2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e 1 2， 2 2 ，求实数 的取值范围 【答案】（ 1） x 2 4 y 2 3 1； （ 2） 7 3， 5 （ 2）方 法一： 因为PF2x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0) ，y0 0设Q(x1，y1) x O y P F
7、1 F2 Q 因为P在椭圆上，所以 c 2 a 2 y2 0 b 21，解得y0 b 2 a，即 P(c， b 2 a ) 7 分 方法二： 因为PF2x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0 0 因为P在椭圆上，所以 c 2 a 2 y2 0 b 21，解得y0 b 2 a，即 P(c， b 2 a ) 7 分 因为F1(c，0) ，故直线PF1的方程为y b 2 2ac( xc) 由 y b 2 2ac( xc) ， x 2 a 2y 2 b 2 1， 得(4c 2 b 2) x 22b2cx c 2( b 24a2) 0 因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c， b 2 a ) 设
8、Q(x1，y1) ， 则x1c 2b 2c 4c 2 b 2，即cx1 2b 2c 4c 2 b 2 11 分 因为PF1 F1Q ， 所以 2c cx1 4c 2 b 2 b 2 3c 2a2 a 2c2 3e 21 1e 2 4 1e 23 14 分 因为e 1 2， 2 2 ，所以 1 4 e 21 2，即 7 35 所以 的取值范围为 7 3 ， 5 16 分 【例 4】设F1，F2分别是椭圆E： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点， |AF1| 3|F1B|. (1) 若|AB| 4，ABF2的周长为16，求 |AF2| ；
9、(2) 若 cosAF2B 3 5，求椭圆 E的离心率 点评： (1) 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消 元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往 会更简单 (2) 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则 |AB| （1k 2） （x 1x2） 24x 1x2 1 1 k 2 （y1 y2） 24y 1y2(k为直线斜率 ) 提醒：利用公式计算 直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略对判别式的判断 7椭圆中几个常用的结论： (1) 焦半径：椭圆上的点P(x
10、0，y0) 与左 (下) 焦点 F1与右 ( 上) 焦点 F2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别 记作 r1|PF1，r2|PF2. x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0) ， r1 aex0，r2a ex0； y 2 a 2 x 2 b 2 1(ab0) ， r1 aey0，r2a ey0； 焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小( 近日点与远日点) (2) 焦点弦 ( 过焦点的弦 ) ：焦点弦中以通径( 垂直于长轴的焦点弦) 最短，弦长lmin 2b 2 a . (3)AB 为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(a b 0) 的弦， A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，弦中点M(
11、x0，y0) ，则 弦长 l 1k 2| |x1x21 1 k 2|y1y2| ； 直线 AB的斜率 kAB b 2 x0 a 2 y0. 类型三抛物线焦点弦问题 【例 5】 【2018 届河南省安阳市第三十五中学高三上学期开学】设为抛物线的焦点，过且倾 斜角为 60的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在第四象限） ， 为坐标原点，过作 的准线 的垂线，垂足为，则与的比为（） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 C 【例 6】设AB是过抛物线y 2 2px( p 0) 的焦点F的弦，A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，求证： (1) 若点A，B在准线上的射影分别为M，N，则MFN
12、 90； (2) 取MN的中点R，则ARB 90； (3) 以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F； (4) 若经过点A和抛物线顶点O的直线交 准线于点Q，则BQ平行于抛物线的对称轴 解析：证明：(1) 由抛物线的定义知|AM| |AF| ，|BN| |BF| ， AMF AFM ， BNF BFN. AM x 轴， BN x 轴， AMF KFM ， BNF KFN. MFN K FM KFN 1 2( KFA KFB) 90. (3) MFN90， F在以 MN为直径的圆上 |AF| |AM| ，|MR| |FR| ， MFA AMF ， MFR FMR. AFR MFA MFR AMF
13、FMR 90，即 RF AB ， F 为垂足 因此，以MN为直径的圆必与直线AB相切于点F. (4) 易知直线AO的方程为y y1 x1x，则 Q p 2， py1 2x1 . y1y2p 2， py1 2x1 p 2 y1 y 2 1 2p p 2 y1 y2， 于是Q p 2， y2与点N重合因此，BQ平行于x轴，即BQ平行于抛物线的对称轴 点评： 1. 例 1 小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3) 、(4) 不变，性质 (1) 、(2) 略有变化，如对于抛物线x 2 2py，性质 (1) 应为 |AB| y1y2p，性质 (2) 应为x1x2 p
14、2， y1y2 p 2 4 ，其余情况可自行推导两道例题分别从数与形的角度描述了抛物线的某些性质 2抛物线的离心率e 1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离因此，涉及抛物 线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线( 看到准线想焦点) ，优先考虑利用抛物线的定义，将其 转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化 3有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公 式 |AB| x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 类型四双曲线的焦点弦与焦点三角形 【例 7】 过双曲线C： x 2 4 y 2 9 1的左焦 点作倾斜角为 6 的
15、直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( ) A没有交点 B只有一个交点 C有两个交点且都在左支上 D有两个交点分别在左、右两支上 解析：直线l的方程为y 3 3 (x13) ，代入C：x 2 4 y 2 9 1 整理，得23x 28 13x1600，( 813) 24231600，所以直线 l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交 点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上 【例 8】设F1，F2是双曲线x 2y 2 241 的两个焦点， P是双曲线上的一点，且|PF 1| 4 3| PF 2| ，则PF1F2的 面积等于 ( ) A42 B83 C24 D48 点评：
16、双曲线的定义中易忽视2a|F1F2| 则轨迹不存在 方法、规律归纳: 1. 以椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 上一点P(x0，y0)(y00)和焦点F1( c,0)，F2(c,0) 为顶点的PF1F2中，若 F1PF2，注意以下公式的灵活运用： |PF1| |PF2| 2a； 4c 2| PF1| 2| PF2| 22| PF1|PF2| cos ； SPF1F2 1 2| PF1|PF2| sin . 2抛物线的几个常用结论 (1) 焦半径：抛物线上的点P(x0，y0) 与焦点 F 之间的线段叫做抛物线的焦半径，记作r |PF . y 2 2px(p 0) ，r x 0 p
17、 2； y 2 2px(p 0) ，r x 0 p 2； x 2 2py(p 0) ，r y 0 p 2； x 2 2py(p 0) ，r y 0 p 2. (2) 焦点弦：若AB为抛物线y 22px(p 0) 的焦点弦， A， B两点的坐标分别为 (x1，y1) ，(x2， y2) ，弦中 点 M(x0，y0) ，|AB l. 则： x1x2 p 2 4 ； y1y2 p 2； 弦长 l x1x2p，因 x1x22x1x2 p，故当 x1x2时， l 取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂 直于 x 轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短( 垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径) 实战演练
18、: 1. 【 2018 届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，过焦点F倾斜角为 3 的直线与抛物线相交于两点,A B两点，若8AB，则抛物线的方程为（） A. 2 3yx B. 2 4yx C. 2 6yx D. 2 8yx 【答案】 C 2.【2018 届四川省成都市郫都区高三上期中】已知椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，离心率为 3 3 ，过 2 F的直线交椭圆C于A、B两点，若 1 AF B的周长为4 3，则椭圆C的方程为 （） A. 22 1 32 xy B. 2 2 1 3 x y C. 22 1
19、 128 xy D. 22 1 124 xy 【答案】 A 3. 【2017 届浙江省杭州市高三4 月】设倾斜角为的直线l经过抛物线 2 :2(0)Cypx p的焦点F， 与抛物线C交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方 . 若 AF m BF ， 则c o s的值为（） A. 1 1 m m B. 1 m m C. 1m m D. 2 1 m m 【答案】 A 【解析】过点,A B分别向x轴作垂线，垂足分别为,C D，再分别过,A B向准线作垂线，垂足分别为 ,M N，如下图， AFCBFD，设BFt，则AFmt，所以cosDFt， cosCFmt，又根据抛物线定义可知：,AMmt
20、 BNt，则cosDHBNptt， cosMAHCpmtmt，由以上两式可得：1cos1cosm，所以解得： 1 cos 1 m m . 故选择 A. 4椭圆 E：x 2 a 2y 2 3 1(a0) 的右焦点为F，直线 yxm与椭圆 E交于 A，B两点，若 FAB周长的最大值 是 8，则 m的值等于 ( ) A0 B 1 C.3 D 2 解析： 设椭圆的左焦点为F，则 FAB的周长为AFBFAB AF BFAF BF 4a 8，所以 a2， 当直线 AB过焦点 F( 1,0) 时， FAB的周长取得最大值，所以0 1m ，所以 m 1. 故选 B. 5如图，已知椭圆C：x 2 a 2y 2
21、b 21(ab0) ，其中左焦点为F(25， 0) ，P为 C上一点，满足|OP| |OF| ，且 |PF| 4，则椭圆C的方程为 ( ) A. x 2 25 y 2 5 1 B. x 2 36 y 2 161 C. x 2 30 y 2 101 D. x 2 45 y 2 25 1 6. 【2018 届衡水金卷全国高三大联考】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光 线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已 知抛物线 2 4yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点3,1M射出，经过抛物线上的点A反射后， 再经抛物线上的另一
22、点B射出，则ABM的周长为 ( ) A. 71 26 12 B. 926 C. 910 D. 83 26 12 【答案】 B 【解析】令1y，得 1 4 x，即 1 ,1 4 A . 由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为1yk x，代入 2 4yx. 消去y，得 2222 220k xkxk. 则1ABx x，所以 1 4 B A x x . 25 4 AB ABxxp. 将4x代入 2 4yx得4y，故4, 4B. 故 22 434 126MB. 故ABM的周长为 125 326926 44 MAMBAB. 故选 B. 7. 【2018 届安徽省合肥市高三调研性检测】已知
23、抛物线的焦点为，直线 过点交抛物线于两 点，且. 直线分别过点，且与轴平行，在直线上分别取点（分别在 点的右侧），分别作和的平分线且相交于点，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】 C 8. 【2017 届江西省宜春市丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学高三六校联 考】已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是 1 F， 2 F，在 线段 AB上有且只有一个点P满足 12 PFPF，则椭圆的离心率的平方为（） A. 3 2 B. 31 2 C. 35 2 D. 35 2 【答案】 D 由0fy得: 2 22
24、a b y ab , 于是 2 22 ab x ab , 22 22 2 12 2222 0 aba b PFPFc abab , 整理得 : 22 2 22 a b c ab , 又 222 bac, 2 2 2 c e a , 42 310ee, 2 35 2 e, 又椭圆的离心率0,1e, 235 2 e. 9. 【2017 届河南安阳市高三9 月调研】已知抛物线 2 4yx的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A， B两点，若| 3AF，则|BF 【答案】 2 3 10. 【2018 届湖南省益阳市、湘潭市高三 9 月调研】如图，过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F的直线交 抛物线于
25、点AB、，交其准线l于点C，若点F是AC的中点，且4AF，则线段AB的长为（） A. 5 B. 6 C. 16 3 D. 20 3 【答案】 C 【解析】如图：过点A作ADl交 l 于点 D. 11. 【2018 届河南省郑州市第一中学高三上学期期中】设 11 ,A x y， 22 ,B xy是椭圆 22 22 10 yx ab ab 上的两点，椭圆的离心率为 3 2 ，短轴长为2，已知向量 11 , xy m ba ， 22 , xy n ba ，且mn，O为坐标原点 . （ 1）若直线AB过椭圆的焦点0,Fc， （c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （ 2）试问：AOB的面积是否为定值
26、？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 【答案】（ 1）2k； （2）见解析 . 【解析】试题分析： （1）根据条件可得213abc，再设直线AB的方程为：3ykx， （ 2）直线AB斜率不存在时，即 12 xx， 12 yy mn 0m n，即 2 21 1 0 4 y x 又A点在椭圆上 2 2 1 1 1 4 y x，即 2 1 1 2 x 1 2 2 x， 1 2y 11211 11 =21 22 Sxyyxy，故AOB的面积为定值1 当直线AB斜率存在时，设AB的方程为ykxm， 联立 2 2 1 4 ykxm y x 得： 222 4240kxkmxm 12 2 2 4 km
27、 xx k ， 2 122 4 4 m x x k ，0 12 11 22 AOB Sm xxm 2 1212 4xxx x 22 2 24 4 mkm k 所以三角形的面积为定值1. 12.【2018 届浙江省温州市高三9 月】 已知抛物线：（） ， 焦点为， 直线 交抛物线于， 两点，为的中点，且 （ 1）求抛物线的方程； （ 2）若，求的最小值 【答案】（ 1）； （ 2）. 13. 【2018 届湖南师大附中高三11 月月考】已知抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点F与椭圆T： 2 2 1 2 x y的一个焦点重合，点 0,2 Mx在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点
28、. （）求抛物线C的方程以及MF的值； （）记抛物线的准线C与x轴交于点H，试问是否存在常数R，使得AFFB且 22 85 4 HAHB都成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（ I ） 2 4 ,2yx； （II ）2或 1 2 . 【解析】试题分析： （1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标0,1F，则可得1 2 p ，即可求得p的值， 求得拋物线方程，利用拋物线的焦点弦公式即可求得MF的值；（2）将直线方程代入抛物线方程，由 向量数量积的坐标运算，求得 21 42t，利用韦达定理以两点之间的距离公式，列方程，即可求 得实数入的值. 试题解析：（）依题意，椭圆T： 2 2
29、 1 2 x y中， 22 2,1ab，故 222 1cab，故0,1F， 故1 2 p ，则24p，故抛物线C方程为 2 4yx，将 0,2 Mx代入 2 4yx，记得 0 1x， 故12 2 p MF. （）依题意，0,1F，设:1lxty，设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 联立方程 2 4 1 yx xty ，消去x，得 2 440yty. 12 12 4 4 yyt y y 且 11 22 1 1 xty xty ，又AFFB则 1122 1,1,xyxy，即 12 yy，代入 得 2 2 2 14 4 yt y ， 消去 2 y得 21 42t，且1,0H， 则 22 2
30、222 1122 11HAHBxyxy 2222 121212 22xxxxyy 22 22 121212 11222tytytytyyy 222 1212 148tyyt yy 22 1168448tttt 42 164016tt. 由 42 85 164016 4 tt， 解得 21 8 t或 221 8 t（舍），故2或 1 2 . 14.【2018 届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为 ，离心率为；圆过椭圆的三个顶点 . 过点且斜率不为0 的直线 与椭圆交 于两点 . （）求椭圆的标准方程； （）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（ 1）（2） （）证明： 由题意设直线的方程为， 由消去 y 整理得， 设， 则， 假设 x 轴上的定点为， 则 . 要使其为定值，需满足， 解得. 故定点的坐标为. 15、 如图，设点,A B的坐标分别为 3,0 ,3,0， 直线,AP BP相交于点P， 且它们的斜率之积为 2 3 （ 1） 求点P的轨迹方程； （ 2）设点 P的轨迹为C，点MN、 是轨迹为C上不同于,A B的两点，且满足/ /,/ /APOM BPON， 求证：MON的面积为定值