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1、2019 年高考数学一轮复习考点一篇过专题 38 椭圆 理 （1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解椭圆的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 一、椭圆的定义 平面上到两定点 12 ,FF的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P的轨迹是椭圆. 这 两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 12 2F Fc. 定义式： 1212 2 (2)PFPFaaF F. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上， 22 22 1(0
2、) xy ab ab ； 焦点在y轴上， 22 22 1(0) yx ab ab . 说明： 要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道, ,a b c之间的大小关系和等量关 系： 222 ,0,0acbabac. 三、椭圆的图形及其简单几何性质 i) 图形 焦点在x轴上焦点在y轴上 ii) 标准方程 几何性质 范围顶点焦点对称性离心率 椭 圆 22 22 1 xy ab (0)ab xa yb (,0)a， (0,)b (,0)c 对称轴：x 轴，y轴， 对称中心： 原点 01e， c e a 22 22 1 yx ab (0)ab ya xb (0,)a， (,0)b (0,)c 注
3、意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆 的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a与c，然后利用 c e a 计算求得离心率； 或者根据已知条件建立关于, ,a b c的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通 过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围. 四、必记结论 1. 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上任意一点,()P x y，则当0x时，|OP有最小值 b，P点 在短轴端点处；当 xa时，|OP 有最大值a，P点在长轴端点处 2. 已知过焦点F1
4、的弦AB，则 2 ABF的周长为4a. 考向一椭圆定义的应用 1. 椭圆定义的集合语言: 1212 | 2 ,2|PMMFMFaaF F往往是解决计算问题的关 键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形. 解决焦点三角形问题常利用椭圆 的定义和正弦定理、余弦定理. 以椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点00 (),P xy 0 (0)y 和焦点F1(c，0) ， F2(c，0) 为顶 点的 12 PF F 中，若12 F PF ，注意以下公式的灵活运用： （1） 12 | 2PFPFa； （2） 222 1212 42|cos|cPFPFPFPF； （3） 12 12
5、 1 sin 2 | PF F SPFPF . 2. 解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对 应关系求解 . 典例 1 已知F1，F2是椭圆 22 1 43 xy 的两个焦点，点P在椭圆上 （1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为 _； （2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则 2 ABF的周长为 _； （3）若 12 120PF F，则点P到焦点F1的距离为 _ 【答案 】 （1） 3； （2）8； （3） 6 5 （3）在 12 PF F中，由余弦定理可得 222 211221121 |2 |cosPFPFF FPFFFFPF，
6、 即 22 211 |42|PFPFPF ， 由 椭圆 的 定 义可 得12|2PFPFa， 两 式 联立 解 得 1 | 5 PF 1P是椭圆 x 2 5 y 2 4 1 上的一点，F1和F2是椭圆的两个焦点，若F1PF230，则 12F PF的 面积为 A16 3 3 B4(2 3) C16(2 3) D16 考向二求椭圆的标准方程 求椭圆的方程有两种方法: （1）定义法 . 根据椭圆的定义，确定a 2, b 2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法 . 这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是： 第一步，做判断. 根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两
7、个坐标轴都有可 能（这时需要分类讨论）. 第二步，设方程. 根据上述判断设方程为 22 22 1(0) xy ab ab 或 22 22 1(0) yx ab ab . 第三步，找关系. 根据已知条件，建立关于, ,a b c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 222 cab ）. 第四步，得椭圆方程. 解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时， 可进行分类讨论或把椭圆的方程设为 22 100()mxnymnmn，且. 典例 2 椭圆以x轴和y轴为对称轴 , 经过点 (2,0),长轴长是短轴长的2 倍,则椭圆的方程为
8、 A.+y 2=1 B.+=1 C.+y 2=1 或 +=1 D.+y 2=1 或 +x 2=1 【答案】 C 2离心率为 2 3 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是 A 22 1 95 xy B 22 1 95 xy 或 22 1 59 xy C 22 1 3620 xy D 22 1 3620 xy 或 22 1 2036 xy 考向三椭圆的几何性质及应用 1. 与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理 解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然 就不难了 . 2. 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率
9、（或离心率的取值范围）有两种 方法： （1）求出a,c，代入公式 c e a . （2）只需要根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次式，结合 222 bac 转化为a,c的齐次式， 然后等式 （不等式） 两边分别除以a或a 2 转化为关于e或e 2 的方程（不等式） ，解方程（不等式） 即可得e（e的取值范围） . 典例 3 已知椭圆的方程为2x 23y2 m， (m0)，则此椭圆的离心率为 A. 1 3 B. 3 3 C. 2 2 D. 1 2 【答案】 B 【解析】由题意，得椭圆的标准方程为 x 2 m 2 y 2 m 3 1，a 2m 2，b 2m 3， c 2 a 2b2m 6，
10、e 2 c 2 a 2 1 3，即 e 3 3 . 故选 B. 3已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上有一点 A，它关于原点的对称点为B，点F 为椭圆的 右焦点，且满足AFBF，设ABF，且 , 12 6 ，则该椭圆的离心率 e的取 值范围为 A 313 , 22 B 316 , 23 C 6 31, 3 D 3 3 1, 2 1方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 AB(0 ，2) C(1 ，+) D(0 ，1) 2椭圆的焦距是 A2 B CD 3已知椭圆的一个焦点为抛物线y 2=8x 的准线与其对称轴的交点, 且椭圆的离心率为, 则椭圆 的方程为 A+=1 B+=1
11、 C+=1 4已知椭圆x 2+my2=1 的离心率 e( ,1),则实数m的取值范围是 A(0,) B(,+) C (0,) ( ,+) 5已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为, 右顶点到直线x=(c为椭圆的半焦距) 的距离为 2-, 则椭圆C的方程为 A+y 2=1 B+=1 C+y 2=1 D+=1 6对于常数m,n, “mn0”是“方程mx 2+ny2=1 表示的曲线是椭圆”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 7如图，椭圆的左、右焦点分别为点 为其上的动点， 当为钝角时， 则点的横坐标的取值范围是 AB C(-D 8已知点是椭圆上一点 ,是椭圆的焦点 , 且满足, 则 1
12、2 MF F 的面积为 A1 B C2 D4 9 已知F1,F2为椭圆=1(ab0) 的两个焦点 , 过F2作椭圆的弦AB,若 1AF B的周长为 16, 椭圆的离心率e=, 则椭圆的方程是 A=1 B=1 C=1 10设P是椭圆+=1 上一点 ,P到两焦点F1,F2的距离之差为2, 则 12PF F是 A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形 11已知F1,F2分别是椭圆E:+=1(ab0) 的左、右焦点 , 点 (1,) 在椭圆上 , 且点 (-1,0) 到 直线PF2的距离为, 其中点P(-1,-4), 则椭圆的标准方程为 Ax 2+ =1 B+y 2=1 Cx 2+ =1 D+y 2=1
13、 12已知椭圆+=1 的两个焦点是F1,F2, 点P在该椭圆上 , 若|PF1|-|PF 2|=2, 则 12 PF F的面 积是 AB2 C2D 13 已知椭圆C:+=1(ab0)的右顶点、上顶点分别为A,B, 坐标原点到直线AB的距离为, 且a=b, 则椭圆C的方程为 A+=1 B+=1 C+=1 D+=1 14已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P, 使 , 则该椭圆离心率的取值范围为 A(0,-1) B(,1) C(0,) D(-1,1) 15若椭圆+=1(m0) 的焦距为2, 则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 16已知F1,
14、F2为椭圆的两个焦点, 过F1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点 , 若 2 ABF 为正三角形 , 则椭圆的离心率为. 17已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点 ,P为椭圆C上的一点 , 且PF1PF2, 若 12 PF F 的面积为9, 则b=. 18如图 ,A,B分别为椭圆+=1(ab0)的左、右顶点 , 点P在椭圆上 , POB 是面积为4 的 等腰直角三角形, 则b=. 19设F1,F2分别是椭圆+=1 的左、右焦点 ,P为椭圆上任一点, 点M的坐标为 (6,4),则 |PM|+|PF1|的最大值为. 20已知椭圆的左、 右焦点为，离心率为，过的直线 交于 两点
15、，若 1 AF B的周长为 4 3，则椭圆 的方程为. 21设椭圆的两个焦点为是椭圆上任一动点, 则的取值范围 为. 22某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆 , 测得近地点A距离地面m km, 远地 点B距离地面n km, 地球半径为R km, 关于这个椭圆有下列说法: 焦距长为n-m; 短轴长为; 离心率e=. 其中正确说法的序号为. 23求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点分别为 (0,-2),(0,2),经过点 (4,3); (2) 对称轴为坐标轴, 经过点P(-6,0) 和Q(0,8). 24P是椭圆+=1(ab0) 上任意一点 ,F1,F2是它的两个焦点,O为坐
16、标原点 , 有一动点Q满足 +, 求动点Q的轨迹方程 . 25已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为, 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形 的面积为2. 直线l:y=kx+m(m0)与椭圆相交于不同的A,B两点 . (1) 求椭圆的方程 ; (2) 若线段AB中点的横坐标为, 求k的值 . 1 （2017 浙江）椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 2 （2017 新课标 III理）已知椭圆C： 22 22 0)1( xy ab ab的左、右顶点分别为A1，A2， 且以线段A1A2为直径的圆与直线 20bxayab 相切，则C的离心率为
17、 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 3 （2017 新课标 I ）设A，B是椭圆C： 22 1 3 xy m 长轴的两个端点，若C上存在点M满足 AMB=120，则m的取值范围是 A(0,19,)B(0,39,) C(0,1 4,) D(0, 34,) 4 （2016 新课标 III理）已知O为坐标原点，F是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴. 过点A的直线l与线段PF交于 点M，与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 5 （2017
18、 江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点 分别为 1 F， 2 F ，离心率为 1 2 ，两准线之间的距离为8点P在椭圆E上，且位于第一象 限，过点 1F作直线1PF的垂线1l，过点2F作直线2PF的垂线2l （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线 1 l ， 2 l 的交点 Q 在椭圆E上，求点P的坐标 （注：椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的准线方程： 2 a x c ） 1 【答案】B 【解析】由题意知c1； |PF1| |PF2| 25，|F1F2| 2，在 12 F PF中有： |PF1| 2| PF2|
19、 22| PF1| |PF2|cos30 |F1F2| 2 ， (|PF1| |PF2|) 2(2 3)|PF1| |PF2| 4， 变式拓展 |PF1| |PF2| 16(2 3) ， 12 F PF的面积为S 1 2| PF1| |PF2|sin30 4(2 3) 故选 B. 2 【答案】 B 【解析】由题意知 263 5 2 2 3 aa b c ec a ，当焦点在x轴上时， 22 1 95 xy ；当焦 点在 y轴上时， 22 1 59 xy 故选 B 3 【答案】 C 11 sincos 2sin() 4 c e a 又因为 , 12 6 ，所以 6 31, 3 e故 选C 1【答
20、案】 D 【解析】方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以, 则 00, 得或. 由方程mx 2+ny2=1表示的曲线是椭圆 , 得. 故 “mn0”是“方程mx 2+ny2=1 表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件 . 7【答案】 A 【解析】, 设,， 则， 当为钝角时 ,， 由点在椭圆上，可得， ，解得. 点的横坐标的取值范围是 故选 A. 8【答案】 A 9【答案】 D 【解析】由椭圆的定义知|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=16, a=4. 又, c=2, b 2=42-(2 ) 2=4, 椭圆的方程为 =1. 10【答案】 B 【解析】由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF
21、2|=2, 解得|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=4, 故满足 |PF2| 2+|F 1F2| 2 =|PF1| 2, 故 12 PF F为直角三角形 . 11【答案】 D 【解析】设F2的坐标为 (c,0)(c0), 则, 故直线PF2的方程为y=(x-c), 即 x-y-=0, 点(-1,0) 到直线PF2的距离d=,即() 2=4, 解得c=1 或c=-3( 舍去 ), 所以a 2-b2=1. 又点 (1,) 在椭圆E上, 所以+=1, 由可得所以椭圆的标准方程为+y 2=1. 故选 D. 12【答案】 A 【解析】由椭圆的方程可知a=2,c=, 且|PF1|+|PF2|
22、=2a=4, 又|PF1|-|PF 2|=2, 所以 |PF1|=3,|PF2|=1. 又|F1F2|=2c=2, 所以有|PF1| 2= |PF2| 2+|F 1F2| 2, 即 12 PF F为直角三角 形, 所以 12 122| 11 2 12 2 |2 2 |PF FSF FPF . 故选 A. 13【答案】 C 14【答案】 D 【解析】根据正弦定理得, 又可得, 即=e, 所以|PF1|=e|PF2|. 又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|(e+1)=2a, 所以|PF2|=. 因为a-cb0),F1(c,0),F2(-c,0), 由得|y|=, 即|AF
23、1|=|BF1|=,|AB|=. 因为 2 ABF 为正三角形 , 所以=2c, 得(a 2-c2)=2 ac, 即e 2+2e- =0. 又 0b0). 方法一 : 由椭圆的定义知, 2222 2(40)(3 22)(40)(3 22)12a , 所以a=6. 又c=2, 所以b=4, 所以椭圆的标准方程为+=1. 方法二 : 因为所求椭圆过点(4,3), 所以+=1. 又a 2-b2=c2=4, 所以 a 2=36, b 2=32, 所以椭 圆的标准方程为+=1. (2) 由椭圆的几何性质可知, 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点, 所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个
24、端点, 则短半轴长b=6, 长半轴长a=8,且短轴、 长轴分别在x轴和y轴上 , 所以椭圆的标准方程为+=1. 设Q(x,y), 则=(-,-), 即P点坐标为 (-,-), 又P在椭圆+=1(ab0) 上, 则有+=1, 即+=1. 故动点Q的轨迹方程为+=1(ab0). 25【解析】（ 1）依题意有, 即a=c, 所以b=c. 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2, 即bc=2,故b=c=,a=2, 所以椭圆的方程为+=1. （2）联立直线l的方程与椭圆的方程得,代入消元得 (2k 2+1) x 2 +4kmx+(2m 2- 4)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),
25、 则x1+x2=,x1x2=. 由题意知 ,x1+x2=m, 因为m0, 所以=1, 即 2k 2+4k+1=0, 解得 k=-1-或k=-1+. 1 【答案】 B 【解析】椭圆 22 1 94 xy 的离心率 945 33 e，故选 B 2 【答案】 A 故选 A 3 【答案】 A 【解析】当03m时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足 120AMB ，则 tan 603 a b ，即 3 3 m ，得01m；当3m时，焦点在 y轴上，要使 C 上存在点M满足 120AMB ，则ta n6 03 a b ，即3 3 m ，得9m，故m的 取值范围为 (0,19,)，故选 A 4 【答案】 A
26、 【 解 析 】 由 题 意 设 直 线l的 方 程 为()yk xa， 分 别 令xc与0x得 |()FMk ac，|OEk a. 设OE的 中 点 为N， 则O B NF B M， 则 直通高考 1 | | 2 | OE OB FMBF ，即 2(c) k aa kaac ，整理，得 1 3 c a ，所以椭圆C的离心率 1 3 e， 故选 A 【名师点睛】 求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c的值， 进而求得e 的值； （2）建立, ,a b c的齐次等式，求得 c a 或转化为关于e的等式求解；(3) 通过特殊值或特殊 位置，求出e 5 【答案】（1） 22 1
27、43 xy ； （2） 4 7 3 7 (,) 77 因此椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy （2）由（ 1）知， 1( 1,0) F， 2(1,0) F 设 00 (,)P xy，因为 P为第一象限的点，故00 0,0xy 当 0 1x 时，2 l 与1 l 相交于1 F，与题设不符 当 0 1x 时，直线1 PF 的斜率为 0 0 1 y x ，直线 2 PF 的斜率为 0 0 1 y x 因为 11 lPF ，22 lPF ，所以直线1 l 的斜率为 0 0 1x y ，直线 2 l 的斜率为 0 0 1x y ， 从而直线 1 l的方程： 0 0 1 (1) x yx y ，直线 2 l的方程： 0 0 1 (1) x yx y 由，解得 2 0 0 0 1 , x xxy y ，所以 2 0 0 0 1 (,) x Qx y 因为点Q在椭圆上，由对称性，得 2 0 0 0 1x y y ，即 22 00 1xy或 22 00 1xy 又P在椭圆E上，故 22 00 1 43 xy 由 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ，解得 00 4 73 7 , 77 xy ； 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ，无解 因此点P的坐标为 4 7 3 7 (,) 77