5-5-1质数合数分解质因数-题库教师版-2.pdf

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1、本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数 合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂 许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体 系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与 之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这 个方法能够熟练并且灵活运用。 1 质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数 ). 一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住： 0 和 1 不是质数，也不是合数 .

2、 常用的 100以内的质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、 41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了2 和 5，其余的质数个位数字只能是1，3，7 或 9. 考点：值得注意的是很多题都会以质数2 的特殊性为考点 . 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是1，3，7 或 9. 这也是很多题解题思路， 需要大家注意 . 知识点拨 教学目标 5-5 质数合数分解质因数 2 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质 因数. 互质数：公

3、约数只有1 的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235.其中 2、3、5 叫做 30 的质因数 . 又如 2 1222323，2、 3 都叫做 12 的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数 约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式. 分解质因数往往是解数论 题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3 唯一分解定理 任 何 一 个大 于1 的 自 然 数n 都 可 以 写 成 质 数 的 连 乘积 ， 即 ： 312 123 k aaaa k npppp其中为质数， 12k aaa为自然数，

4、并且这种表示是唯一 的. 该式称为 n 的质因子分解式 . 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数 . 分析： 210=2357，可知这三个数是5、6 和 7. 4. 部分特殊数的分解 111 337；10017 11 13；1111141 271；1000173 137；199535719； 199823 33 37；20073 3223；2008222251；101013 713 37. 5. 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p 的质数 q(均为整数 )， 使得 q 能够整除 p， 那么 p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除 p 就可以了；但

5、是 这样的计算量很大， 对于不太大的 p，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数 2 K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p 就为质数 . 例如： 149 很接近14412 12，根据整除的性质149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149是质数 . 模块一、质数合数的基本概念的应用 【例 1 】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌请你将诗中56 个字第 1 行左边 第一字起逐行逐字编为156 号，再将号码中的

6、质数由小到大找出来，将它们 对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话 【解析】按要求编号排序，并画出质数号码： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 将质数对应的汉字依次写出就是：

7、少年朋友亲切联欢；一九九七相聚 中山 【巩固】( 2008 年南京市青少年“科学小博士”思维训练) 炎黄骄子菲尔兹奖被 誉为“数学界的诺贝尔奖” ，只奖励 40 岁以下的数学家华人数学家丘 成桐、陶哲轩分别于1982 年、2006 年荣获此奖我们知道正整数中有 无穷多个质数 (素数) ，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定 理： 对任何正整数 k， 存在无穷多组含有k 个等间隔质数 ( 素数)的数组例 如，3k时，3，5，7 是间隔为 2 的 3 个质数； 5，11，17 是间隔为 6 的 3 个质数：而，是间隔为 12 的 3 个质数 ( 由 小到大排列，只写一组3 个质数即可 ) 【

8、解析】最小的质数从 2 开始，现要求每两个质数间隔12，所以 2 不能在所要求 的数组中 而且由于个位是 5 的质数只有一个 5，所以个位是 3 的质数不 能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表： 例题精讲 【巩固】( 2003 年“祖冲之杯”邀请赛 ) 大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲 之，计算出 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之间，成为世界上第一个把 的值精确到 7 位小数的人 现代人利用计算机已经将的值计算到了小 数点后 515 亿位以上这些数排列既无序又无规律但是细心的同学发 现：由左起的第一位3 是质数， 31 也是质数，但 314 不是质数，那么在

9、 3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？ 【解析】注意到 3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被 3，5，2， 2，31整除，所以，质数是314159 【巩固】( 2004 年全国小学奥林匹克 )自然数N是一个两位数，它是一个质数，而 且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？ 【解析】这样的自然数有 4 个：23，37，53，73 【例 2 】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少. 【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个 是37，乘

10、积为74. 我们要善于抓住此类题的突破口。 【巩固】如果 a，b 均为质数，且 3741ab，则ab_. 【解析】根据题意 a,b 中必然有一个偶质数2， ，当2a时，5b，当2b时不符合 题意，所以257ab. 【巩固】A，B，C为 3 个小于 20 的质数，30ABC，求这三个质数 . 【解析】因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只 能是2，另两个奇质数之和为28，又因为这三个数都要小于20，所以只能 为11和17，所以这三个质数分别是2，11，17. 【巩固】已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3 个质数的乘积 是多少？ 【解析】最小的合数是4，其

11、平方为16我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以 这 3 个质数中必然有2，那么其余 2 个的和是 14，只能一个是 3 一个是 11，因此这 3 个质数的乘积是23 1166 【巩固】小晶最近迁居了， 小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时， 她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中ab，而且ab和 ba都是质数 (a和b是两个数字 )具有这种形式的数共有多少个？ 【巩固】若两位数ab、ba均为质数，则a、b均为奇数且不为5，故有 1331，3113， 1771，7117，7337，3773，9779，7997 共 8 个数 【例 3 】(“祖冲之杯”小学数学邀请赛)九九重阳

12、节，一批老人决定分乘若干辆 至多可乘 32 人的大巴前去参观兵马俑如果打算每辆车坐22 个人，就 会有 1 个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘 余下的大巴那么有多少个老人？原有多少辆大巴？ 【解析】仍按每车坐 22 人计算，少开一辆车将有23 人无座位，这些人刚好平均 分乘余下的车， 23 是质数，所以余下23 辆车，原有 24 辆车，原有老人 2 22232323529 ( 个) 【巩固】( 俄罗斯数学奥林匹克 )万尼亚想了一个三位质数， 各位数字都不相同 如 果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？ 【解析】因为是质数所以个位数不可能为偶数0， 2， 4， 6，

13、 8 也不可能是奇数 5如 果末位数字是 3 或 9，那么数字和就将是3 或 9 的两倍，因而能被它们整 除，这就不是质数了所以个位数只能是7这个三位质数可以是167， 257，347，527或 617中间的任一个 【巩固】( 第五届“华杯赛”口试第15 题)图中圆圈内依次写出了前25 个质数； 甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之 积填在下行方格中 质数列 乙填 “ 积数 ” 甲填 “ 和数 ” 97 89 13 117 5 3 2 3515 6 128 5 . . . . . 问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么 ? 【解析】质数中只有一个偶数2，其余的质

14、数均为奇数 所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5 外，其余的均为不小于8 的偶数乙 填的 “积数” 中除第一个是偶数6 外， 其余所填的全是不小于15的奇数所 以甲填的数与乙填的数都不相同 【巩固】( 全国小学数学奥林匹克 ) 从 19 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相 邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时 针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？ 【解析】由于质数除了2 以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间 排列切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低 位之和也是质数， 考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，第二位选 8，

15、第三位最大可以选7，但 7 与 8 之和不是质数，再改选5，8 与 5 之和是 质数，符合要求第四位可选剩余的最大数字6，如此类推十位可选 3，个位选 2所以，可以读到的最大数是98567432数字排列如下图 3 4 7 6 5 8 9 2 【巩固】( 保良局亚洲区城市小学数学邀请赛) 用 L 表示所有被 3 除余 1 的全体正 整数 如果 L 中的数 (1 不算) 除 1 及它本身以外，不能被 L 的任何数整除， 称此数为“ L质数” 问：第 8 个“L质数”是什么？ 【解析】“L 数”为 1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34， “L 质数”应为上列数中去掉1，1

16、6，28，即为 4，7，10，13，19，22， 25，31，34，所以，第8 个“L质数”是 31 【例 4 】9 个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请 列举和最小的一组 【解析】我们知道任意连续9 个自然数中最多有4 个质数，本题考察对100 以外 的质数的熟练情况，有101，103，107，109 是 4 个质数。 【巩固】( 我爱数学少年数学夏令营) 用 0，1，2， 9 这 10 个数字组成 6 个质 数，每个数字至多用1 次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同 的组成 6 个质数的方法请将所有方法都列出来 【解析】除了 2 以外，质数都是奇数，因为

17、09 中只有 5 个奇数，所以如果想组 成 6 个质数，则其中一定有2又尾数为 5 的数中只有 5 是质数，所以 5 只能单独作为 6 个质数中的一个数另4 个质数分别以 1，3，7，9 为个 位数，从而列举如下： 2，3，5，7，41，89，2 ，3，5，7，61，89， 2 ，3，5，7，89，401，2，3，5，7，89，461，2，3，5，7，61， 409，2，3，5，47，61，89，2，3，5，41，67，89，2 ，3，5， 67，89，401，2 ，5，7，43，61，89，2，5，7，61，83，409即 共有 10 种不同的方法 【巩固】从小到大写出 5 个质数， 使后面

18、数都比前面的数大12. 这样的数有几组？ 【解析】考虑到质数中除了2 以外其余都是奇数，因此这5 个质数中不可能有2； 又质数中除了 2 和 5，其余质数的个位数字只能是1、3、7、9. 若这 5 个 质数中最小的数其个位数字为1，则比它大 24 的数个位即为 5，不可能 是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大 12 的数个位即为 5，也 不可能为质数； 由此可知最小的数其个位数字也不可能是7 和 9，因此最 小的数只能是5，这 5 个数依次是 5，17，29，41，53. 这样的数只有一 组. 【例 5 】用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都 要

19、用到并且只能用一次，那么这9 个数字最多能组成多少个质数. 【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位 质数，这样还剩下1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用有1、4、 8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与 7 组合成质数 67所以这 9 个数 字最多可以组成6 个质数。 【巩固】有三张卡片， 它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、 二张、三张， 按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你 将其中的质数都写出来. 【解析】抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21，23，31，

20、32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231， 312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数 . 这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31. 【巩固】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数， 在 50 以内你能找出几个这样的质 数？把它们写出来 . 【解析】有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47. 【例 6 】7 个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f 、g 已知它们的和是偶 数，那么 d 是多少？ 【解析】因为 7 个质数的和是偶数，所以这7 个质数不可能都是奇数 . 我们知道是 偶数的质数只有2，因此这 7 个质

21、数中必有一个是2. 又因为 2 是最小的 质数，并且这 7 个连续质数是从大到小排列的，所以2g. 其他 6 个数从 大到小依次是 17、13、11、7、5、3. 这样7d. 【巩固】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个 面上，并且使得相对两个面的数的和都相等. 将这样的三个木块掷在地 上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？ 【解析】小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5197171113. 每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和 最小是55515， 最大是19191957， 经试验，三个数的和可以是从1

22、5到 57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。 【巩固】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质， 那么 A最小是几？ A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（） 【解析】首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21， 22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数， 要想 A 尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找 出8个 来 必 然 很 大 。 所 以 应 该 是 一 奇 一 偶 ， 经 试 验 得 A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即 A的最小值为 29。大

23、部分的题考的都是 质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。 【巩固】4 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油每瓶和其他各瓶分别合称一 次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13已知 4 只空瓶的重量之 和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？ 【解析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油(连瓶) 重量之和的3 倍，即4瓶油( 连瓶) 共重(891011 1213)321(千克)而油重之和及瓶 重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有 两种可能：油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重 1 2 千克， 最重的两瓶内的油为 1 132

24、12 2 ( 千克) 油重之和为2千克，瓶重之和 为19千克，每只瓶重 19 4 千克，最重的两瓶内的油为 197 132 42 ( 千克)，这 与油重之和2千克矛盾因此最重的两瓶内共有12千克油。 【例 7 】将 60 拆成 10 个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大 的质数是多少 【解析】最 大 的 质 数 必 大 于5 ， 否 则10 个 质 数 之 和 将 不 大 于50， 又 60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2 即 8 个 7 与 2 个 2 的和为 60，故其中最大的质 数是 7 【巩固】将 50 分拆成 10 个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最

25、 大的质数是多少？ 【解析】若要求最大的质数尽可能大，则其余9 个质数应尽可能小，最佳的方案 是 9 个 2。但是此时剩余的数为32，不是质数，所以退而求其次，另其 余 9 个数为 8 个 2，1 个 3，那么第 10 个数为 31 【巩固】将 37 拆成若干个不同的质数之和， 有多少种不同的拆法？将每一种拆法 中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？ 【解析】枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？ 1. 数不大，种类比较少 2. 没有规律，不能用排列组合等方法 3. 能有方法做的时候建议不采用枚举的方法 37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=

26、5+13+19 7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17 共有 10 种不同的拆法，其中3529=435最小 【巩固】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康 数，那么最大的智康数是几？ 【解析】首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到 智康数与其他自然数的“分界线”。我们知道最小的三个不同合数是 4,6,8 ，它们的和是 18,则比 18 小的数一定都不是智康数，而比18 大的 数中，我们可以分为与18 的差是“奇数”或者是“偶数” 。如果与 18 的 差是偶数， 那么这类自然数一定不是智康数，可以

27、写作 4+6+(8+2n), 如果 与 18的差是一个奇数，那么可以写作 4+(6+2n)+(8+1) 也不是一个智康数， 所以最大的智康数为17。 模块二、分解质因数 【例 8 】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少? 【解析】111555分解质因数：1115553353767(3 3 37)(567)333 335，所以 和为668. 本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧， 例如本题中的111 337。 【巩固】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？ 【解析】210分解质因数：210235 7，可知这三个数是5、6和7。 【巩固】把 26，33

28、，34，35，63，85，91，143 分成若干组，要求每组中任意两 个数的最大公约数是1，那么至少要分几组 . 【解析】要保证每组中的任意2 个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的 质因数才能实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少 分 3 组. 【巩固】把 40，44，45，63，65，78，99，105 这八个数平分成两组，使每组四 个数的乘积相等。 【解析】 3 4025， 2 44211， 2 4553， 2 6373，655 13，7823 13， 2 99311， 10535 7，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数， 看质因数 2，第一组含有40，

29、第二组含有44，78，再看11,13，第一组应 有 40，99，65，再看 5 第二组应有 44，78，45，105，最后看 7，第一组 应有 40，99，65，63 【例 9 】4 个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4 个数 字所组成的四位数中，最大的一个是多少？ 【解析】将 360 分解质因数得3602223 3 5，它是 6 个质因数的乘积 . 因为题 述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为633个质因数的 积，又只有 3 个 2 相乘才能是一位数，所以这4 个乘数分别为 3，3，5， 8，所组成的最大四位数是8533. 【巩固】将 19 九个自然数分成三组

30、，每组三个数.第一组三个数的乘积是48， 第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？ 【解析】分解质因数4533 5，4822223，可知 45 只能是 1，5，9 的乘积， 而 48 可能是 2，4，6 或 2，3，8 或 1，6，8( 舍去) ，则第三组的三个数 可能是 3，7，8 或 4，6，7，其中和最大的是37818. 【例 10 】在面前有一个长方体， 它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、 宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【解析】如下图，设长、宽、高依次为 a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209 ac+ab=a(c+b)=209 ，而

31、 209=1119 当 a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为 偶质数 2，则 c+b=2+17; 当 a=19时，c+b=11，则 c+b=2+9 ，b 为 9 不是质数，所以不满足题意 所以它们的乘积为11217=374 【巩固】一个长方体的长、宽、高是连续的3 个自然数，它的体积是39270 立方 厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【解析】39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，而343434 最接近39270，39270 的约数中接近或等于34 的有 35、34、33，有 333435=39270所以 33、34、35为满足题意的

32、长、宽、高则长方 体的表面积为： 2( 长宽+宽高+高长)=2(33 34+3435+3533)=6934( 平 方厘米 ) 方法二： 39270=2 3571117，为三个连续自然数的乘积，考 虑质因数 17，如果 17 作为长、宽或高显然不满足当17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与 34 接 近的数 3236 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一 条边的长度而39270的质因数中只剩下了3 和 1l ，所以这个长方体 的大小为333435长方体的表面积为 2( 39270 33 + 39270 34 + 39270

33、35 )=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘 米) 【巩固】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那 么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米? 【解析】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越 小 如 3 个 数 的积 为18， 则 三 个数 为2、3、 3 时 和最 小 ， 为 81998=233337，37 是质数，不能再分解，所以2333 对 应的两个数应越接近越好有2333=69 时，即 1998=6937 时，这三个自然数最接近它们的和为6+9+37=52(厘米) 【例 11 】（老师可以先引入：小明一

34、家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥 叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年 龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的 年龄各是几岁？ 【解析】题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积， 只要我们把48384分解质因数， 再按照每组相差2 来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 4838428 33 7(223)(27)24(232)12 14 16 18，由此得出这四个人 的年龄分别 是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。由题意可知，这四个数是相差2 的四 个整数。它们的积是偶数， 当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为

35、48384的个位数字不是 0， 显然这四个数中，没有 个位数字是 0 的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因 为 4 1048384，而 4 4838420， 所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个 人的年龄分别是12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14 岁、16 岁、 18 岁。 【巩固】甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲 比乙大 13 岁，那么乙今年多大？ 【解析】个位与十位数字之和为13，那么这样的质数在两位数中只有67，三位数 中为 167，再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可

36、能分别为40,27 岁， 或者 90，77 岁，所以乙的年龄可能为27岁或 77 岁。 【例 1 】甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？ 【解析】将6384分解质因数，6384 2222 37 19，则其中必有一个数是19或19的 倍数；经试算，1951427，19524222 3，恰好14 19246384， 所以这三个数即为14，19，24. 一般象这种类型的题，都是从最大的那个 质因数去分析 .如果这道题里19不符合要求，下一个该考虑38，再下一个 该考虑57，依此类推 【巩固】如果两数的和是 64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多 少？

37、【解析】4875=355513， 有 ab 为 4875的约数，且这两个数的和为64 发 现 39=313、25=55 这两个数的和为 64，所以 39、25 为满足题意的两 个数那么它们的差为39-25=14。 【巩固】四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 【解析】分解质因数 43 3024237，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数 中必定有一个是7 的倍数 . 若为 7，因 3024 不含有质因数 5，那么这四个 自然数可能是 6、7、8、9 或 7、8、9、10(10 仍含有 5，不行) ，经检验 6、7、8、9 恰符合 . 【巩固】2004 720的计

38、算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然 数之和最小是多少？ 【解析】首先分解质因数，2004 7202222357 167，其中最大的质因数是 167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167 本身或者其倍数. 16535 1，1662 83，16822237，16913 13，所以165166167， 166 167 168，167 168 169都没有 4 个 2，不满足题意 . 说明 167 不可行 . 尝 试334167 2，335567，336222237， 334 335 3362222235767 167， 包括了2004 720中的所有质因数， 所以这组符合题意，以

39、此三数之和最小为1005. 【巩固】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数 . 【解析】设这三个质数分别是a、b、c，满足11abcabc()，则可知a、b、c中必 有一个为11，不妨记为a，那么11bcbc，整理得 (1b)(1c)12，又 121 122634，对应的2b、13c或3b、7c或4b、5c ( 舍去) ， 所以这三个质数可能是2，11，13 或 3，7，11. 【巩固】三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数 【解析】设这三个质数分别是a、b、c，满足7()abcabc，则可知a、b、c中必 有一个为7，不妨记为a，那么7bcbc，整理得(1) (1

40、)8bc，又 81824，对应的b2、c9( 舍去) 或b3、c5，所以这三个质数可 能是 3，5，7 【例 2 】3个质数的倒数之和是 1661 1986 ，则这3个质数之和为多少 【解析】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为 1 a 、 1 b 、 1 c ，计算它 们的和时需通分，且通分后的分母为abc，求和得到的分数为 F abc ,如果 这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积 . 现在和为 1661 1986 ，分母198623 331，所以一定是2a，3b，331c，检验 满足. 所以这3个质数的和为23331336 【巩固】有一种最简真分数

41、， 它们的分子与分母的乘积都是140如果把所有这样 的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 【解析】有 140=2257，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么 两个质因数2 必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小 到大的最简分数依次是 112245577 , 2257140 5735 22728 22520 ，倒数第三小的是 5 28 。 【巩固】一个分数，分母是901，分子是一个质数现在有下面两种方法：分 子和分母各加一个相同的一位数；分子和分母各减一个相同的一位 数用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是 7 13 那么原来分 数的分子是多少 【解析】因为新分数

42、约分后分母是13，而原分母为901，由于901 13694，所以 分母是加上9或者减去4若是前者则原来分数分子为7709481，但 4811337，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487，而487是 质数所以原来分数分子为487 【例 3 】在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5 看 成 8，由此得乘积为1872那么原来的乘积是多少? 【解析】1872=22223313=口口口口，其中某个口为 8，一一验证只 有：1872=4839，1872=7824 满足当为 1872=4839 时，小马虎错 把5 看成8，也 就 是错把45 看 成 48， 所 以 正确 的

43、乘 积应 该 是 4539=1755当为 1872=78 24 时，小马虎错把5 看成 8，也就是错把 75 看成 78，所以正确的乘积应该是7524=1800所以原来的积为 1755 或 1800 【巩固】某校师生为贫困地区捐款1995元这个学校共有35名教师， 14个教学 班各班学生人数相同且多于30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的 钱数是整数，那么平均每人捐款多少元? 【解析】这个学校最少有 35+1430=455名师生，最多有 35+1445=665名师生， 并且师生总人数能整除19951995=35133，在 455665 之间的约数 只有 5133=665， 所以师生总数为6

44、65人，则平均每人捐款 1995665=3 元 【例 4 】在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”( 脱靶) ，或者是不超 过 10 的自然数甲、乙两名运动员各射了5 箭，每人 5 箭得到的环数的 积都是 1764， 但是甲的总环数比乙少4 环求甲、乙的总环数各是多少？ 【解析】应对应为 5 个小于 10 的自然数乘积通常我们会考虑将1764 的 6 个质 因数组合为 5 个因数，从而这5 个因数一定都是大于1 的，于是得到了 如下几种分解情况 1764=43377 =26377=22977 但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述 实际环境中还会有1 环存在，从

45、而要考虑含有因数1 的另外 2 种情况 1784=16677=14977所以总的情况对应的和依次为 4+3+3+7+7=24， 2+6+3+7+7=25， 2+2+9+7+7=27， 1+6+6+7+7=27， l+4+9+7+7=28对应的和中只有24，28 相差 4，所以甲的 5 箭环数为 4、 3、3、7、7，乙的 5 箭环数为 1、4、9、7、7所以甲的总环数为24， 乙的总环数为 28。 【巩固】已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多 少？ 【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因 数得到 589225 1 1325

46、3749，五个人的年龄和为125岁。 模块三、质数合数综合型题目 【例 5 】 P是质数，10P，14P， 2 10P都是质数求P是多少？ 【解析】由题意知P是一个奇数，因为10331，14342，所以P是 3 的倍数， 所以3P 【巩固】已知P是质数， 2 1P也是质数，求 5 1997P是多少？ 【解析】P是质数， 2 P必定是合数，而且大于 1 又由于 2 1P是质数， 2 P大于 1， 2 1P 一 定 是 奇 质 数 ， 则 2 P一 定 是 偶 数 所 以P必 定 是 偶 质 数 ， 即 2P 55 199721997P3219972029 【例6】有些自然数能够写成一个质数与一个

47、合数之和的形式，并且在不计加数 顺序的情况下，这样的表示方法至少有13 种。那么所有这样的自然数中 最小的一个是多少 【解析】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数 与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2 开始的第 13 个质数要 大。从 2 开始数的 13 个质数分别是： 2，3，5，7，11，13，17，19，23， 29，31，37，41。那么这个数一定要比41大，为了满足这个自然数能够 分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数 即可，这样这个奇数与从3 开始的质数的差只要都是一个大于2 的偶数 即可满足条件。 【巩固】如果一些不同质

48、数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多 少？ 【解析】如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在 满足平均数为 21 的条件下数量尽可能多，且比21 大的质数只能有一个。 21 以下的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19，则说明这些质数最多可 能有 8+1=9个，则大于 21 的那个数为 21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ， 但 112不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了21 以外的奇 数 19，使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有2，否则无法 使得比 21 大的数是质数。 去掉 2 再次求和为 112-19=9

49、3，仍然不是质数， 则可以做微调93-4=89，即在原来的一组质数中再去掉一个17 即可，这 组数为 3，5，7，11，13，19，89，最大的一个是89。 【巩固】求 1-100 中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？ 【解析】考虑最小的合数是4， 先把表示方法简化为4 合数合数而合数最简单的 表现形式就是大于等于4 的偶数因此该表示方法进一步表示为4 (2n) 合数即 8n 合数(其中 n1 即可) 当该数被 8 整除时，该数可表示为 4 (2n)8 ，n1, 所以大于等于 24 的 8 的倍数都可表示 当该数被 8 除余 1 时，该数可表示为4 (2n)9，n1, 所以大于等于25 的被