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1、1 实验一 ARMA模型建模与预测指导 一、实验目的 学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断 ARMA 模型的阶数p 和 q，学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，学会利用 信息准则对估计的ARMA模型进行诊断， 以及掌握利用ARMA 模型进行预测。 掌握在实证 研究中如何运用Eviews 软件进行ARMA 模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。 二、基本概念 宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。 AR模型： AR 模型也称为自回归模型。它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰 值的线性组合预测，自回归模型的数学公式
2、为: 1122tttptpt yyyy 式中 : p为自回归模型的阶数 i（i=1 ，2， ，p）为模型的待定系数， t为误差，t y为 一个平稳时间序列。 MA 模型： MA 模型也称为滑动平均模型。它的预测方式是通过 过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。滑动平均模型的数学公式为: 1122ttttqtq y 式中 : q为模型的阶数； j（ j=1，2， ，q）为模型的待定系数； t 为误差； t y为平稳 时间序列。 ARMA 模型：自回归模型和滑动平均模型的组合，便构成了用于描述平稳随机过程的 自回归滑动平均模型ARMA ， 数学公式为 : 11221122tttptptttqt
3、q yyyy 三、实验内容及要求 1、实验内容： （1）根据时序图判断序列的平稳性； （2）观察相关图，初步确定移动平均阶数q 和自回归阶数p； （3）运用经典B-J 方法对某企业201 个连续生产数据建立合适的ARMA （ ,p q）模型，并 能够利用此模型进行短期预测。 2、实验要求： （1）深刻理解平稳性的要求以及ARMA 模型的建模思想； （2）如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则建立 合适的 ARMA 模型；如何利用ARMA 模型进行预测； （3）熟练掌握相关Eviews 操作，读懂模型参数估计结果。 四、实验指导 1、模型识别 （1）数据录入 2
4、打开 Eviews 软件，选择 “ File ”菜单中的 “ New -Workfile”选项，在“Workfile structure type ” 栏选择“ Unstructured /Undated” ，在“ Date range”栏中输入数据个数201，点击 ok，见图 2-1，这样就建立了一个工作文件。 图 2-1 建立工作文件窗口 点击 File/Import ，找到相应的Excel 数据集，打开数据集，出现图2-2 的窗口，在“ Data order”选项中选择“By observation ”即按照观察值顺序录入，第一个数据是从a2 开始的， 所以在“ Upper-left d
5、ata cell ”中输入 a2，本例只有一列数据，在“Names for series or number if named in file ”中输入序列的名字production 或 1，点击 ok，则录入了数据。 图 2-2 （2）绘制序列时序图 双击序列production，点击 view/Graph/line ，则出现图2-3 的序列时序图，时序图看出 201 个连续生产的数据是平稳的，这个判断比较粗糙，需要用统计方法进一步验证。 3 76 80 84 88 92 255075100125150175200 PRODUCTION 图 2-3 （3）绘制序列相关图 双击序列produc
6、tion ，点击 view/Correlogram ，出现图 2-4，我们对原始数据序列做相关 图，因此在“ Correlogram of ”对话框中选择“Level”即表示对原始序列做相关，在滞后阶 数中选择14（201） ，点击 ok，即出现相关图2-5。 图 2-4 从相关图看出，自相关系数迅速衰减为0，说明序列平稳，但最后一列白噪声检验的Q 统计量和相应的伴随概率表明序列存在相关性，因此序列为平稳非白噪声序列。我们可以对 序列采用 B-J 方法建模研究。 4 图 2-5 （4）ADF 检验序列的平稳性 通过时序图和相关图判断序列是平稳的，我们通过统计检验来进一步证实这个结论， 双击序列
7、production，点击 view/unit root test ，出现图 2-6 的对话框， 我们对序列本身进行检 验，序列不存在明显的趋势，所以选择对常数项，不带趋势的模型进行检验，其他采用默认 设置，点击ok，出现图2-7 的检验结果，表明拒绝存在一个单位根的原假设，序列平稳。 图 2-6 图 2-7 （5）模型定阶 由图 2-5 看出， 偏自相关系数在k=3 后很快趋于0 即 3 阶截尾， 尝试拟合AR（3） ；自 相关系数在k=1 处显著不为0， 当 k=2 时在 2 倍标准差的置信带边缘，可以考虑拟合MA（ 1） 或 MA （2） ；同时可以考虑ARMA （3，1）模型等。 在序
8、列工作文件窗口点击View/Descriptive Statistics/Histogram and States对原序列做描 述统计分析见图2-8，可见序列均值非0，我们通常对0 均值平稳序列做建模分析，所以需 要在原序列基础上生成一个新的0 均值序列。点击主菜单Quick/Generate Series，在对话框 中输入赋值语句Series x=production-84.11940 ，点击 ok 则生成新序列x，这个序列是0 均值 的平稳非白噪声序列，新序列的描述统计量见图2-9，相当于在原序列基础上作了个整体平 移，所以统计特性没有发生根本改变。我们对序列x 进行分析。 5 0 4 8
9、 12 16 20 7880828486889092 Series: PRODUCTION Sample 1 201 Observations 201 Mean 84.11940 Median 84.10000 Maximum 91.70000 Minimum 76.50000 Std. Dev. 2.906625 Skewness 0.107191 Kurtosis 2.752406 Jarque-Bera 0.898321 Probability 0.638164 图 2-8 production 描述统计量 0 4 8 12 16 20 -8-6-4-202468 Series: X S
10、ample 1 201 Observations 201 Mean 2.99e-06 Median -0.019400 Maximum 7.580600 Minimum -7.619400 Std. Dev. 2.906625 Skewness 0.107191 Kurtosis 2.752406 Jarque-Bera 0.898321 Probability 0.638164 图 2-9 中心化后的production 描述统计量 2、模型参数估计 （1）尝试 AR 模型。经过模型识别所确定的阶数，可以初步建立AR (3) ，可用菜单或命令 两种方式分别建立。在主菜单选择Quick/Est
11、imate Equation ， 出现图 2-10 的方程定义对话框， 在方程定义空白区键入x ar(1) ar(2) ar(3) ，其中ar(i)（i=1 ，2）表示自回归系数； 估计方法选择项见图2-11，有最小二乘估计（LS） 、两阶段最小二乘估计（TSLS）等，我们 选择 LS。也可通过命令方式实现，在主窗口输入ls x ar(1) ar(2) ar(3)。 6 图 2-10 方程定义对话框 图 2-11 估计方法设定 图 2-12 AR（ 3）建模结果 模型估计结果和相关诊断统计量见图2-12。由伴随概率可知，AR（i） （i=1，2，3）均 高度显著，表中最下方给出的是滞后多项式
12、- 1 （x ）=0的倒数根，只有这些值都在单位圆 内时，过程才平稳。利用复数知识可知表中的三个根都在单位圆内。AIC 、SC 准则都是选 7 择模型的重要标准，在做比较时， 希望这两个指标越小越好。DW 统计量是对残差的自相关 检验统计量，在2 附近，说明残差不存在一阶自相关。得到的自回归模型见下: tt-1t-2t-3t X0.394981X-0.298559X-0.186269X （2）尝试 MA 模型。 按上面介绍方法，方程定义空白区键入x ma(1) ma(2)（其中 ma(j)， j=1， 2代表移动平均系数） 或在主窗口输入ls x ma(1) ma(2) 。 模型输出结果见图2
13、-13。 从 MA （2）估计结果的相伴概率可知，该系数不显著，故剔除该项，继续做模型估计，结 果见图 2-14。表中最下方是滞后多项式 - 1 （x ）=0的倒数根，只有这些值都在单位圆内， 过程才平稳，可以发现过程是符合要求的即平稳。 ttt 1 X0.480530 图 2-13 ma（2）建模结果 图 2-14 ma（1）建模结果 （3）尝试 ARMA模型 由模型定阶发现，p 可能等于3，q 可能等于2 或 1，我们根据各种组合来选择最优模 型，在主窗口命令栏输入ls x ar(1) ar(2) ar(3) ma(1) ， 按回车， 即得到参数估计结果见图2-15： 8 图 2-15 A
14、RMA （ 3，1）模型估计结果 由参数估计结果看出，各系数均不显著，说明模型并不适合拟合ARMA(3 ，1) 模型。 经过进一步筛选， 逐步剔除不显著的滞后项或移动平均项，最后得到如下ARMA(2 ， 1)模型： 图 2-16 ARMA （ 2，1）模型估计结果 综上可见， 我们可以对同一个平稳序列建立多个适合模型，但比较 AIC 和 SC 的值， 以 及综合考虑其他检验统计量，考虑模型的简约原则，我们认为ARMA （ 2，1）模型是较优 选择。 3、模型检验 参数估计后，应对拟合模型的适应性进行检验，实质是对模型残差序列进行白噪声检 验。若残差序列不是白噪声，说明还有一些重要信息没被提取，
15、应重新设定模型。可以对残 差进行纯随机性检验，也可用针对残差的 2 检验。 通常有两种方法进行 2 检验。当一个模型估计完毕之后，会自动生成一个对象resid， 它便是估计模型的残差序列值，对其进行相关图分析便可看出检验结果；另一种方法是在方 程输出窗口中点击View/Residual Tests/Correlogram-Q-Statistics ，输入相应的滞后阶数14，即 9 出现残差的相关图2-17，相关图显示，残差为白噪声，也显示拟合模型有效，模型拟合图 见图 2-18。 图 2-17 ARMA （2，1）模型残差相关图 -8 -4 0 4 8 -8 -4 0 4 8 25507510
16、0125150175200 ResidualActualFitted 图 2-18 ARMA （2，1）模型拟合图 4、模型预测 我们用拟合的有效模型进行短期预测，比如我们预测未来2 期的产量，首先需要扩展 样本期，在命令栏输入expand 1 203，回车则样本序列长度就变成203 了，且最后面2 个变 量值为空。在方程估计窗口点击Forecast， 出现图 2-19 对话框，预测方法常用有两种： Dynamic forecast 和 Static forecast，前者是根据所选择的一定的估计区间，进行多步向前预测；后者 是只滚动的进行向前一步预测，即每预测一次，用真实值代替预测值，加入到
17、估计区间，再 进行向前一步预测。选择Dynamic forecast ，点击 ok，出现图2-20 预测对话框： 10 图 2-19 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 255075100125150175200 XF Forecast: XF Actual: X Forecast sample: 1 203 Adjusted sample: 3 203 Included observations: 199 Root Mean Squared Error 2.884921 Mean Absolute Error 2.317322 Mean Abs. Percent Error 99.8
18、9504 Theil Inequality Coefficient 0.980184 Bias Proportion 0.000022 Variance Proportion 0.960741 Covariance Proportion 0.039238 图 2-20 序列动态预测图 预测值存放在XF 序列中，此时我们可以观察原序列x 和 xf 之间的动态关系，同时选中 x 和 xf，击右键，点open/as group，然后点击view/graph/line ，则出现图2-21，动态预测值 几乎是一条直线，说明动态预测效果很不好。 -8 -4 0 4 8 255075100125150175
19、200 XFX 11 图 2-21 动态预测效果图 进行静态预测，见图2-22，预测值仍然存放在xf 中，做x 和 xf 图 2-21，可以看出静 态预测效果不错。 -10 -5 0 5 10 255075100125150175200 XF Forecast: XF Actual: X Forecast sample: 1 203 Adjusted sample: 3 203 Included observations: 199 Root Mean Squared Error 2.653289 Mean Absolute Error 2.131381 Mean Abs. Percent Error 186.7305 Theil Inequality Coefficient 0.649159 Bias Proportion 0.000001 Variance Proportion 0.402700 Covariance Proportion 0.597300 图 2-22 静态预测图 -8 -4 0 4 8 255075100125150175200 XFX 图 2-23 预测效果图 经过向前2 步预测，x 的未来 2 期预测值分别为1.1482 和 0.5519， 考虑产量均值84.11940， 就可以得出未来2 期的产量分别为85.2676 和 84.6713。