《A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法汇总.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法汇总.pdf（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 1 of 23 手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（ 1） ABD AEC （2） +BOC=180 （3）OA平分 BOC 变形： 例 1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，证明 （1）DBCABE (2)DCAE (3)AE与DC之间的夹角为60 (4)DFBAGB (5)CFBEGB (6)BH平分AHC (7)ACGF / 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一
2、学期初二初学 学生版page 2 of 23 变式精练1：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD， 证明（ 1）DBCABE （2）DCAE （3）AE与DC之间的夹角为 60 （4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC 变式精练2：如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD， 证明（ 1）DBCABE (2）DCAE (3）AE与DC之间的夹角为60 (4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 3 of 23 例 2： 如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CEAG,二者相交于
3、点H 问：（ 1）CDEADG是否成立？ （2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分AHE？ 例 3： 如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结CEAG,二者相交于点H 问：（ 1）CDEADG是否成立？ （2）AG是否与CE相等？ （3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）HD是否平分AHE？ 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 4 of 23 例 4： 两个等腰三角形ABD与BCE， 其中 BDAB ,EBCBCBEABD,连结AE与CD， 问：（ 1）DBCABE是否成立？ （2）AE
4、是否与CD相等？ （3）AE与CD之间的夹角为多少度？ （4）HB是否平分AHC？ 例 5： 如图，点 A. B. C 在同一条直线上， 分别以 AB 、 BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 、 BCE. 连接 AE、DC，AE 与 DC 所在直线相交于F，连接 FB.判断线段FB、FE 与 FC 之间的数量关系，并证明你 的结论。 【练 1】如图，三角形ABC 和三角形 CDE 都是等边三角形，点A,E,D, 同在一条直线上，且角EBD=62 ， 求角 AEB 的度数 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 5 of 23 倍
5、长与中点有关的线段 倍长中线类 ? 考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度 的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、 平移线段。 【方法精讲 】常用辅助线添加方法倍长中线 ABC 中方式 1： 延长 AD 到 E， AD 是 BC 边中线使 DE=AD ， 连接 BE 方式 2：间接倍长 作 CFAD于 F，延长 MD到 N， 作 BEAD的延长线于E 使 DN=MD ， 连接 BE 连接 CD 【例 1】 已知：ABC 中， AM 是中线求证： 1 () 2 AMABAC M C B A
6、 【练 1】在 ABC中，59ABAC，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？ 【练 2】 如图所示，在ABC 的 AB 边上取两点E 、 F ， 使A E B F， 连接 CE 、 CF ， 求证：ACBCECFC D A BC E D A BC F E D CB A N D CB A M 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 6 of 23 FE C B A 【练 3】如图，在等腰三角形ABC 中， AB=AC ，D 是 AB 上一点， F 是 AC 延长线上的一点，且BD=CF ， 连结 DF 交 BC 于 E求证： DE=EF
7、( 倍长中线、截长补短) 【例 2】 如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点， 延长 BE 交 AC 于 F ，AFEF， 求证： AC BE F E DC B A 【练 1】如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BEAC ，延长 BE 交 AC 于 F ，求证：AFEF F E D C B A 【练 2】如图，在 ABC 中， ABAC ，E 为 BC 边的中点， AD 为 BAC 的平分线，过E 作 AD 的平行线， 交 AB 于 F，交 CA 的延长线于G. 求证： BF=CG. 八年级上册同学当堂检测我的个
8、性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 7 of 23 【练 3】如图，在ABC 中， AD 交 BC 于点 D ，点 E 是 BC 中点，EFAD交 CA 的延长线于点F ，交 AB 于点 G ，若 BGCF ，求证： AD 为ABC 的角平分线 G F E D C B A 【练 4】如图所示，已知ABC 中， AD 平分BAC ， E 、 F 分别在 BD 、 AD 上 DECD ， EFAC 求证： EF AB F A CDEB 【例 3】已知 AM 为ABC 的中线，AMB ，AMC 的平分线分别交AB 于 E 、交 AC 于 F 求证： BECFEF F E
9、 M C BA 【练 1】在 RtABC 中， F 是斜边 AB 的中点， D 、 E 分别在边 CA 、CB 上，满足 90DFE若3AD， 4BE，则线段 DE 的长度为 _ 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 8 of 23 F E D CB A 【练 2】如图， ABC 中， AB=2AC ，AD 平分 BC 且 ADAC ，则 BAC=_. 【练 3】在ABC 中，点 D 为 BC 的中点，点M 、 N 分别为 AB 、 AC 上的点，且MDND （1）若90A，以线段 BM 、 MN 、 CN 为边能否构成一个三角形？若能，
10、该三角形是锐角三角 形、直角三角形或钝角三角形？ （2）如果 2222 BMCNDMDN，求证 222 1 4 ADABAC M N D A BC 【例 4】如图，等腰直角ABC与等腰直角BDE，P为CE中点，连接PA、PD. 探究PA、PD的关系 .（证角相等方法） 【练 1】如图，两个正方形ABDE 和 ACGF ，点 P 为 BC 的中点，连接PA交 EF 于点Q. 探究 AP 与 EF 的数量关系和位置关系. （证角相等方法） 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 9 of 23 【练 2】如图，在ABC中，ABCD，BDABAD
11、， AE是 BD边的中线 . 求证：AEAC2 【例 5】如图所示， 在ABC 中， ABAC ，延长 AB 到 D ，使BDAB， E 为 AB 的中点， 连接 CE 、CD ， 求证2CDEC E D CB A 【练 1】已知ABC 中， ABAC ， BD 为 AB 的延长线，且BDAB， CE 为ABC 的 AB 边上的中线 求证：2CDCE E D C BA 【练 2】如图 ,CB、CD 分别是钝角 AEC 和锐角 ABC 中线 ,且 AC=AB, ACB= ABC. 求证 CE=2CD. 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page
12、10 of 23 【例 16】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q. 探究AP与EF的数量关系和位置关系. （倍长中线与手拉手模型综合应用） 【练 1】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段 DF的中点 . 试说明线段ME与MC数量关系和关系. 如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（90），其他条件不变，上述结 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 11 of 23 论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由. 全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部
13、分介绍了角的平分线的性质，这一性质在 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 12 of 23 D O E CB A 许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边 或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等， 全等 ) 【例 10】如图所示，ABC中， 00 45,90BC，AD 平分BAC交 BC 于 D。求证： AB=AC+CD 。 【练 1】如图所示，在ABC中， 0 60B，ABC的角平分线AD 、 CE 相交于点O。求证： AE+C
14、D=AC 。 【练 2】已知ABC中， 60A，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断 BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 【练 2】如图 ,在四边形ABCD 中,ADBC， AE 平分 BAD 交 DC 于点 E，连接 BE，且 AE BE，求证： AB=AD+BC. 【练 3】已知：如图 ,在ABC 中,A=90 ，AB=AC ，BD 是 ABC 的平分线。 D A C B O E D A B C 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 13 of 23 N M D CB A 求证： BC=AB+AD. 【练
15、4】点 M，N 在等边三角形ABC 的 AB 边上运动， BD=DC ，BDC=120 ， MDN=60 ，求证MN=MB+NC 【例 11】已知如图所示， 在 ABC 中,AD 是角平分线 ,且 AC=AB+BD, 试说明 B=2C（不只是边， 倍角也 适用） 【练 1】如图，在 ABC 中， AB AC ，BD AC 交 AC 于点 D求证： DBC 2 1 BAC 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 14 of 23 D C B A 【例12】 如图所示，已知 21 ， P 为BN上一点，且BCPD于 D ， AB+BC=2BD
16、，求证： 0 180BCPBAP。 【练 1】如图，在四边形ABCD 中， BC BA, ADCD ，BD平分ABC， 求证： 0 180CA 【例 13】如图所示，在ABCRt中， AB=AC ， 0 90BAC，CBDABD，CE 垂直于 BD 的延长 线于 E。求证： BD=2CE 。 【练 1】已知：如图示，在RtABC 中， A=90， ABC=2 C，BD 是 ABC 的平分线求证：CD=2AD D A C E B 2 1 D M B C P N A C 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 15 of 23 E D B C
17、A 【练 2】如图所示，在ABC中， 0 90ABC，AD 为BAC的平分线，C=30 0 ，ADBE于 E 点， 求证： AC-AB=2BE 。 【练 3】正方形 ABCD,E 是 BC 上一点 ,AEEF,交 DCH 的平分线于点F，求证 AE=EF 【练 4】已知在 ABC 中，AB=AC ，D 在 AB 上， E 在 AC 的延长线上， DE 交 BC 于 F，且 DF=EF ，求证： BD=CE F E C A B D 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 16 of 23 【例 14】如图所示，已知AB/CD ，BCDABC,
18、的平分线恰好交于AD 上一点 E，求证： BC=AB+CD 。 【练 1】如图，已知AD BC， PAB 的平分线与 CBA 的平分线相交于E，CE 的连线交AP 于 D求证： AD+BC=AB 【练 2】 如图，在正方形 ABCD 中， F是 CD 的中点，E 是 BC 边上的一点， 且 AF 平分 DAE ， 求证： AE=EC+CD 【练 3】在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高，B=2C求证： CD=AB+BD 【练 4】如图所示 ,在三角形 ABC 中,ACB=90 ,AC=BC,D 为三角形ABC 外一点 ,且 AD BD,DE AC 交 AC 的延长线于点E.试探求 ED、
19、AE 和 BC 之间有何数量关系 E D BA C P E D C BA 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 17 of 23 【练 5】在四边形 ABCD 中，AB DC ，E为 BC边的中点， BAE= EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点F。 试探究线段AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 【例 15】如图在 ABC中， AB AC， 1 2，P为 AD上任意一点，求证：AB-AC PB-PC A 12 P B C 【练 1】已知 AM 为ABC 的中线，AMB ，AMC 的平分线分别交AB 于 E 、交 AC
20、 于 F 求证： BECF EF M F E CB A 如图， E 是AOB的平分线上一点，OAEC，OBED，垂足 为 C、D。求证：（ 1）OC=OD ； （2）DF=CF 。 D F E A B C D F D C A O B E 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 18 of 23 构造等边三角形 1、 如图, 已知ABC中,AB=AC,D是 CB延长线上一点 , ADB=60 ， E是 AD上一点，且有 DE=DB. 求证： AE=BE+BC. 2、在等腰ABC 中，ABAC，顶角20A，在边 AB 上取点 D ，使ADBC，
21、求BDC . D CB A 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 19 of 23 练习 1、如图 ,在 ABC 中,ACB=90 ,BE 平分 ABC,DE AB 于 D,如果 AC=3cm, 那么 AE+DE 等于 A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm 练习2、在 ABC和 ABC 中 ,AB=AB,AC=AC,点D,D 分别是BC,BC 的中点 ,且AD=AD, 证眀： CBAABC. （倍长中线） 练习 3、如图，在 ABC 中， BE 是 ABC 的角平分线，AD BE，垂足为D，求证： 2=1+C A B C D A
22、 B C D 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 20 of 23 练习 4、如图（ 1），已知 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ，AE 是过 A 的一条直线，且B、C 在 A、E 的异侧， BDAE 于 D，CE AE 于 E （1）试说明： BD=DE+CE （2）若直线 AE 绕 A 点旋转到图 （2）位置时 （BDCE），其余条件不变， 问 BD 与 DE、CE 的关系如何？ 请直接写出结果； （3）若直线 AE 绕 A 点旋转到图 （3）位置时 （BDCE），其余条件不变， 问 BD 与 DE、CE 的关系如何？
23、请直接写出结果，不需说明理由 如图所示，在Rt ABC 中，AB AC ，BAC 90，有过 A 的任一条直线AN ，BD AN 于 D，CEAN 于 E，求证： DEBDCE（思路：截长补短法） 如图 ,在ABC 中,AB=AC,D是三角形外一点,且 ABD=60 ,BD+DC=AB. 求证： ACD=60 .（截长补短） 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 21 of 23 M F E CB A 1、如图，等腰直角ABC与等腰直角BDE，P为CE中点，连接PA、PD. 探究PA、PD的关系 .（辅助线的连法都一样） 2、已知：如图，
24、正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点 . 试说明线段ME与MC数量关系和关系. （辅助线的连法都一样） 如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转度数（90），其他条件不变，上述结 论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由. 3、已知AM为ABC 的中线，AMB ，AMC 的平分线分别交AB 于 E 、交 AC 于 F 求证： BECFEF （辅助线的连法都一样） 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 22 of 23 【阅读理解】 已知：如图 1， 等腰直角三角形ABC 中， B=90 ，AD 是角平分线，
25、 交 BC 边于点 D 求证：AC=AB+BD 证明：如图1，在 AC 上截取 AE=AB ，连接 DE，则由已知条件易知：Rt ADB Rt ADE（AAS ） AED= B=90 ， DE=DB 又 C=45 ，DEC 是等腰直角三角形 DE=EC AC=AE+EC=AB+BD 【解决问题】 已知，如图2，等腰直角三角形ABC 中，B=90 ， AD 是BAC 的平分线，交BC 边于点 D，DE AC，垂足为 E，若 AB=2 ，则三角形DEC 的周长为 【数学思考】：现将原题中的“AD 是内角平分线，交BC 边于点 D”换成“ AD 是外角平分线，交BC 边的延长线于点D 如图 3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD 之间的数量关系，并证明你 的猜想 【类比猜想】 任意三角形ABC，ABC=2 C，AD 是BAC 的外角平分线，交CB 边的延长线于点D，如图 4，请 你写出线段AC、AB、BD 之间的数量关系 八年级上册同学当堂检测我的个性化教案 20152016 学年第一学期初二初学 学生版page 23 of 23 如图 ,已知 B=C=90 ，M 是 BC的中点， DM 平分 ADC. （1）求证： AM 平分 DAB （2）试说明线段DM 与 AM 有怎样的位置关系？ （3）线段 CD 、AB、AD 间有怎样的关系？直接写出结果。