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1、学习必备欢迎下载 3.3 三角函数的奇偶性与单调性 【知识网络】 1正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性； 正弦、余弦、正切函数的的单调性 【典型例题】 例 1(1) 已知Ra，函数Rxaxxf|,|sin)(为奇函数，则a（） （A）0（B）1（C）1（D） 1 (1)A 提示：由题意可知，()( )(0)0fxf xf可得得 a=0 （2）函数tan 4 fxx 的单调增区间为 () A, 22 kkkZB,1,kkkZ C 3 , 44 kkkZD 3 , 44 kkkZ (2)C 提示：令 242 kxk可得 （3）定义在 R 上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正
2、周期 是，且当 2 ,0x时，xxfsin)(，则) 3 5 (f的值为( ) A. 2 1 B. 2 3 C. 2 3 D. 2 1 (3)B 提示： 53 ()(2 )()()sin 333332 ffff （4）如果( )sin()2cos()f xxx是奇函数，则tan (4)由()( )(0)0fxf xf可得 （）已知函数( )yf x满足以下三个条件： 在0, 2 上是增函数以为最小正周期是偶函数 试写出一满足以上性质的一个函数解析式 (5)( )cos2f xx提示：答案不唯一，如还可写成( )sinf xx等 例 2判断下列函数的奇偶性 学习必备欢迎下载 （）( )sin 2
3、tanf xxx；(2 ) 1sincos ( ) 1sincos xx fx xx ； (3 ) ( )cos(sin)f xx；(4 ) ( )lgcosf xx 解：（ 1）( )f x的定义域为() 2 xkkZ，故其定义域关于原点对称， 又()sin( 2 )tan()sin2tan( )fxxxxxf x ( )f x为奇函数 （2） 2 x时，1sincos2xx，而1sincos0 2 xxx时,， ( )f x的定义域不关于原点对称，( )f x为非奇非偶函数。 （3）( )f x的定义域为R，又()cos(sin()cos(sin)( )fxxxf x ( )f x为偶函数
4、。 （4） 由lg cos0x得cos1x，又cos1xcos1x，故此函数的定义域为 2()xkkZ，关于原点对称，此时( )0f x ( )f x既是奇函数，又是偶函数。 例 3已知:函数xxxfcossinlog 2 1 (1)求它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；(3) 求它的单调区间；（4）判断它的周期性,若是周期函数 ,求它的最小正周期. 解:(1).由0cossinxx0 4 sin2xkxk2 4 2()kZ定义域为 Zkkk, 4 5 2 , 4 2, 2, 0 4 sin2x值域为., 2 1 (2).定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数 （3）sincos2sin
5、0 4 xxx ( )f x的递增区间为 35 2,2)() 44 kkkZ 递减区间为 3 (2,2() 44 kkkZ (4). 1 2 2logsin2cos2fxxx 1 2 logsincosxxfx ( )f x是周期函数 ,最小正周期T2. 学习必备欢迎下载 例 4已知函数 22 ( )sin2sincos3cosfxxxxx，xR求: (I) 函数( )fx的最大值及取得最大值的自变量x的集合； (II) 函数( )f x的单调增区间 解(I) 1cos23(1 cos2 ) ( )sin 21sin 2cos222 sin(2) 224 xx f xxxxx 当22 42 x
6、k,即() 8 xkkZ时, ( )f x取得最大值22. 函数( )fx的取得最大值的自变量x的集合为/,() 8 x xR xkkZ. (II) ( )22 sin(2) 4 f xx 由题意得 : 222() 242 kxkkZ 即: 3 () 88 kxkkZ 因此函数( )f x的单调增区间为 3 ,() 88 kkkZ. 【课内练习】 1函数 f(x)= sin(2x+ )+3cos(2x+ )的图像关于原点对称的充要条件是（） A =2k 6 ，kZB =k 6 ，kZ C =2k 3 ，kZ D =k 3 ，kZ 1D 提示：( )sin(2)3cos(2)2sin(2) 3
7、f xxxx 令 3 k可得 2在ABC中， 2 C，若函数)(xfy在0，1上为单调递减函数，则下列命题正确的是 （A）)(cos)(cosBfAf（B）)(sin)(sinBfAf （C）)(cos)(sinBfAf（D）)(cos)(sinBfAf 2C 提示：根据00 222 ABAB得所以sinsin()cos 2 ABB 3.同时具有性质 “ 最小正周期是； 图象关于直线 3 x对称； 学习必备欢迎下载 在, 63 上是增函数 ” 的一个函数是 ( ) A ) 62 sin( x yB ) 3 2cos( xy C ) 6 2cos( xyD ) 6 2sin( xy 3D 提示：
8、由性质 (1)和(2)可排除A 和 C ,再求出) 6 2sin(xy的增区间即可 4 设函数( )sin, 22 f xxxx，若 12 ()()f xf x，则下列不等式必定成立的是（） A 12 0xxB 22 12xx C 12 xxD 12 xx 4B 提示：易知( )( |)f xfx，且当 x 0 , 2 x时，( | )fx为增函数又由 12()()f xf x，得 12 ( | )( |)fxfx，故 12 |xx|，于是 22 12 xx 5.判断下列函数奇偶性（1）( )| sin2 |tanf xxxx是； （2） cos (1sin) ( ) 1sin xx fx x
9、 是； （3）f（x）= 2 lg(sinx+ 1+sin)x是 5（1）偶函数（）非奇非偶函数（）奇函数 提示：先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后用奇函数和偶函数的定义判断 6.若( )f x是以 5 为周期的奇函数，( 3)4f且 1 cos 2 ，则(4cos 2 )f= 6 -4 提示： 2 (4cos 2)(8cos4)( 2)(3)( 3)4fffff 五个函数( )sinf xx( )cos2f xx( )sin 2f xx( )tan()f xx ( )cos2sin2fxxx中，同时满足()( ) 2 fxf x且 ()( )fxf x的函数的序号为 7提示：不满足()
10、( )fxf x不满足()( ) 2 f xf x 8求下列函数的单调区间. (1) 3 2 4 sin 2 1x y(2) 4 cos xy 解:(1).原函数变形为 43 2 sin 2 1x y令 43 2x u,则只需求uysin的单调区间即 可. 2 2 43 2 2 2sink x ukuy在,(Zk)上 学习必备欢迎下载 即 8 9 3 8 3 3kxk ,( Zk )上单调递增 , uysin在)( , 2 3 2 43 2 2 2Zkk x uk,上 即)(, 8 21 3 8 9 3Zkkxk,上单调递减 故 3 2 4 sin 2 1x y 的递减区间为 :, 8 9 3
11、, 8 3 3kk()kZ 递增区间为 :)( , 8 21 3, 8 9 3Zkkk. (2)原函数的增减区间即是函数 4 cos xy的减增区间 ,令 4 xu 由函数uycos的图象可知 :周期T且uycos在, 42 kxuk上,即 Zkkxk, 44 3 上递增 , 在 24 kxuk即在Zkkxk, 44 上递减 故所求的递减区间为 4 , 4 3 kk,递增区间为, 44 kk(Zk) 已知( )f x为奇函数，且当0x时，( )sin 2cosf xxx （） 当0x时，求( )f x的解析式； （） 当xR时，求( )f x的解析式 解：（）当0x时，则0x，()sin 2(
12、)cos()sin 2cosfxxxxx，又( )f x为奇函 数，所以( )()sin 2cosf xfxxx （） 当xR时，( )f x为奇函数，所以(0)0f 由（）知 sin2cos,0 ( )0,0 sin2cos ,0 xx f xx xx x 10已知函数( )sin()f xx(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点 3 (,0) 4 M 对称， 且在区间0, 2 上是单调函数，求和的值 解：由( )f x是R上的偶函数，得()( )fxf x，即sin()sin()xx， 展开整理得：cossincossinxx，对任意x都成立，且0，所以cos0 学习必备欢迎下载 又0，所
13、以 2 由( )f x的图象关于点 M 对称， 得 33 ()() 44 fxfx 取0x，得 33 ()() 44 ff， 所以 3 ()0 4 f， 333 ()sin()cos 4424 f 所以 33 cos0,0, 442 k又得， ()kN 即 2 (21),0,1,2, 3 kk 22 0,( )sin()0, 3322 kf xx当时在上是减函数 ； 1 ,2,( )sin(2)0, 22 kfxx当时在上是减函数 ； 10 2,( )sin()0, 322 kf xx当时在上不是单调函数； 综上所得 2 2 3 或， 2 作业本 A 组 函数 y=xcosx 的部分图象是（）
14、 D y x O C y x O y xO BA y xO 1.D 提示： y=xcosx 为奇函数，且当00xy时. 学习必备欢迎下载 2函数 y=2sin（ 6 2x）（ x 0， ）为增函数的区间是（） A.0， 3 B. 12 ， 12 7 C. 3 ， 6 5 D. 6 5 ， 2C 提示：由 y=2sin（ 6 2x）=2sin（2x 6 ）其增区间可由y=2sin（2x 6 ）的减区间得 到，即 2k+ 2 2 x 6 2 k+ 2 3 ，kZ.k+ 3 x k+ 6 5 ，kZ. 令 k=0，故选 C. 若( )sinyf xx是周期为的奇函数，则( )fx可以是（） A.si
15、n x B.cosx C.sin2x D.cos2x 3B 4.已知( )sincos5,(0)(9)27f xaxbxabf且，则f(-9) 4-17 提示:( 9)sin( 9)cos( 9)5fab sin9cos951017ab 5已知xxxfcos3sin的一条对称轴为 y轴,且, 0 .求= . 5 6 提示：xxxfcos3sin=2 sin 3 x 由()0, 32 kkZ 及可得 已知函数 sin ,sincos ( ) cos ,cossin xxx f x xxx （1）画出( )f x的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值； （2）判断( )f x是否为周期函数.如果
16、是，求出最小正周期. 解：（ 1）实线即为( )f x的图象 . x y y= y= si nx cosx -22- 1 -1 O 单调增区间为 2k+ 4 ，2k+ 2 ， 2k+ 4 5 ，2k+2（kZ）， 单调减区间为 2k ，2k+ 4 ， 2k+ 2 ，2k+ 4 5 （kZ）， f（x）max=1，f（x）min= 2 2 . （2）f（x）为周期函数，T=2. 7.比较下列各组中两个值的大小： 学习必备欢迎下载 （1） 3 cos 2 ， 1 sin 10 ， 7 cos 4 ；（2） 3 sin(sin) 8 ， 3 sin(cos) 8 解：（ 1） 11 sincos()
17、 10210 ， 77 coscos() 44 ， 又 713 0 42102 及cosyx在(0,)内是减函数， 可得 317 cossincos 2104 （2） 3 cossin 88 ， 33 0cossin1 88 ，而sinyx在(0,1)上递增， 33 sin(sin)sin(cos) 88 8.( )f x是定义在2,2上的偶函数， 当x,0时，( )cosyf xx；当x2,时，( )f x 的图象是斜率为 2 ，在y轴上截距为 2 的直线在相应区间上的部分. （1）求( 2 )f，() 3 f的值； （2）求( )f x的解析式，并作出图象，写出其单调区间. 解：（ 1）当
18、 x（ ，2 时， y=f（x）= 2 x2， 又 f（x）是偶函数， f（ 2 ）=f（2 ）=2. 又 x0， 时， y=f（x）=cosx， f（ 3 ）=f（ 3 ）= 2 1 . （2）y=f（x）= .22 2 cos 22 2 ， ， ， xx xx xx x y - -22 - 1 1 2 - 2 O 单调增区间为 ，0， ，2 .单调减区间为2 ， ， 0， 。 B 组 学习必备欢迎下载 1函数baxxxf|sin|)(是奇函数的充要条件是（） A0abB0baCbaD0 22 ba 1D 提示：由奇函数的定义可得 2函数 y = xcosxsinx 在下面哪个区间内是增函数
19、（） A.（ 2 ， 2 3 ）B.（ ，2 ）C.（ 2 3 ， 2 5 ）D.（2 ，3 ） 2B 提示：利用导数判断 3设，是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是 （A）1tantan（B）2sinsin（C）1coscos（D） 2 tan)tan( 2 1 3D 提示：取特值，如取 6 4给出下列命题： 正切函数的图象的对称中心是唯一的； y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为 、 2 ； 若 x1x2，则 sinx1sinx2； 若 f（x）是 R 上的奇函数，它的最小正周期为T，则 f（ 2 T ）=0. 其中正确命题的序号是_. 4 提示：正切函数的对
20、称中心是(,0)() 2 k kZ； y=|sinx|、y=|tanx|的周期都是 正 弦函数在定义域上不是单调函数； ()()()() 2222 TTTT ffTff 5设函数cos30fxx。若 / fxfx是奇函数，则_ 5 6 提示 / fxfxcos33sin32cos3 3 xxx 由()0 32 kkZ 及可得 6已知函数 sin(2) 4 ( )(0,1) x f xaa且a (1)这个函数是否为周期函数?为什么 ? (2)求它的单调增区间和最大值. 解:(1) sin2()sin(2) 44 ()( ) xx f xaaf x( )f x是以为周期的周期函数. 学习必备欢迎下
21、载 (2)当1a时,增区间为 3 ,() 88 kkkZ,最大值为a; 当01a,增区间为 37 , 88 kk,()kZ,最大值为 1 a 7.设函数( )sin(2),(0)f xx，( )yf x图象的一条对称轴是直线 8 x (1) 求; (2) 求函数( )yfx的单调增区间 ; (3)证明直线520xyc与函数( )yf x的图象不相切 . 解:(1) 8 x是函数( )yf x的图象的一条对称轴 sin(2)1 8 , 42 kkZ 3 0, 4 (2)由(1)知 3 4 ,因此 3 sin(2) 4 yx由题意得 3 222, 242 kxkkZ所以函数 3 sin(2) 4
22、yx 的单调增区间为 5 ,() 88 kkkZ. (3)证明: 33 sin(2)2cos(2)2 44 yxx,所以曲线( )yf x的切线斜率取值范围为 -2,2, 而直线520xyc的斜率为 5 2 2 ,所以直线520xyc与函数( )yf x的图象不 相切 . 8已知偶函数( )cossinsin()(tan2)sinsinf xxxx的最小值是0，求( )f x的最大值 及此时x的集合 解：( )cossinsin()(tan2)sinsinf xxxx s i nc o s( t a n2 ) sxx 因为( )f x是偶函数，所以对任意xR，都有()( )fxf x 即sin
23、cos()(tan2)sin()sinsincos(tan2)sinsinxxxx 即(tan2)sin0x，所以tan2 学习必备欢迎下载 由 22 sin 2 cos sincos1 解得 2 5 sin 5 5 cos 5 或 2 5 sin 5 5 cos 5 此时，( )sin(cos1)f xx当 2 5 sin 5 时， 2 5 ( )(cos1) 5 f xx最大值为，不合题意 最小值为，舍去；当 2 5 sin 5 时， 2 5 ( )(cos1) 5 f xx最小值为，符合题意，故当 cos1x时，( )f x有最大值为 4 5 5 ， 自变量x的集合为 2,x xkkZ