任意角的概念与弧度制教案汇总.pdf

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1、1 课 程 数学 第 7 章 第7.1.1 节任意角的概念 授 课 时 数2 授课方法讲授法 授 课 时 间授课班级海乘 1601/轮机 1601 教 学 目 的 知识目标： 了解角的概念推广的实际背景意义； 理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念 能力目标： （1）会判断角所在的象限； （2）会求指定范围内与已知角终边相同的角； （3）培养观察能力和计算技能 教 学 重 点 和 难 点 重点：终边相同角的概念 难点：终边相同角的表示和确定 复 习 提 问 与 作 业 布 置 P6 练习 2 预习 教 学 思 路 、方 法 、手 段 （1）以丰富的生活实例为引例, 引入学习新概念角的推

2、广； （2）在演示 观察思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角； （3）在练习 讨论中深化、巩固知识，培养能力； （4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法 教学备品 教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉） 【教学过程】 2 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 * 揭示课题 7.1 任意角的概念与弧度制 * 创设情景兴趣导入 问题 1 游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小 华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮， 小华继续乘坐一圈那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是 多少呢？ 问题 2 用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA 旋

3、转到 OB 位置时，就形成一个角；在扳手由OA 逆时针旋转一 周的过程中， 就形成了0 到 360 之间的角；扳手继续旋转下去， 就形成大于的角如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按 顺时针方向旋转，形成与上述方向的角 归纳 通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0 360 范围的 角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的 概念进行推广 介绍 质疑 提问 说明 总结 了解 思考 求解 讨论 交流 理解 利用 实际 问题 引起 学生 的好 奇心 和求 知欲 生活 实例 有助 于学 生理 解角 的推 广的 意义 10 * 动脑思考探索新知 概念 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O ，按

4、逆时针 （或顺时针）方向旋转到另一位置OB 就形成角 旋转开始 位置的射线OA 叫角的始边 ，终止位置的射线OB 叫做角 的终边 ，端点 O 叫做角的顶点 规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1） ） ， 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 （如图（ 2） ） 当射线 没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角 说明 仔细 分析 讲解 关键 点 思考 理解 结合 图形 讲解 角的 图形 可以 加入 学生 的举 例 3 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 （1）（2） 类型 经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零 角 表示 除了使用角的顶点与

5、边的字母表示角，将角记为“ AOB” 或“ O”外，本章中经常用小写希腊字母、来 表示角 概念 数学中经常在平面直角坐标系中研究角将角的顶点与坐 标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第 几象限，就把这个角叫做第几象限的角 （或者说这个角在第几 象限） 如图所示， 30 、390 、 - 330 都是第一象限的角，120 是 第二象限的角，- 120 是第三象限的角，- 60 、300 都是第四象 限的角 终边在坐标轴上的角叫做界限角 ，例如， 0 、90 、180 、 270 、 360 、- 90 、- 270 角等都是界限角 引导 强调 引导 展示 强调 记忆 明确 领会

6、观察 理解 明确 角的 类型 完成 角的 推广 象限 角可 以引 导学 生一 步步 自然 得出 强调 特殊 情况 30 * 运用知识强化练习 练习 7-1 1在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象 限的角： 提问 巡视 指导 思考 动手 求解 反馈 学习 状态 巩固 4 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 60 ； - 210 ； 225 ； - 300 交流知识40 * 动手操作实验观察 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA 的位置， 将另一根先转动到OB 的位置，然后再按照顺时针方向或逆时 针方向转动， 观察木条重复转到OB 的位置时所形成角的特征 *

7、 问题引导实践探究 问题 在直角坐标系中作出390 、- 330 和 30 角，这些角的终边 有何关系？ 探究 390 =30 +1 360；- 330 =30 +（- 1） 360 即 390 、 - 330 与 30 角之差都是360 角的整数倍数， 它们 是射线绕坐标原点旋转到30 角的终边位置后，分别继续按逆 时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角 推广 与 30 角终边相同的角还有： 750 =30 +2 360 ；- 690 =30 +（- 2） 360 ； 1110=30 +3 360 ；- 1050 =30 +（- 3） 360 ； 所有与 30 角终边相同的角的度数，与 30

8、角的度数之差都 恰好为360 的整数倍数它们（包括30 角）都可以表示为 30 +k360()kZ的形式因此，与30 角终边相同的角的 集合为 S30360 ,kkZ 演示 操作 质疑 提问 引导 分析 讲解 总结 动手 操作 思考 求解 领会 理解 明确 由具 体的 问题 实际 操作 引导 学生 一步 步的 体会 终边 相同 角的 含义 自然 得出 结论 50 * 动脑思考探索新知 一般地，与角终边相同的角（包括角在内） ，都可以 表示为360 ()kkZ的形式 与角终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为 S360 ,kkZ 说明 强调 理解 记忆 强调 概念 的关 键点 55 * 巩固

9、知识典型例题 例1写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在 5 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 - 360 720 内的角写出来： 60 ； -114 26 分析首先要写出与已知角终边相同的角的集合S，然后选取 整数k的值，使得360k在指定的范围内 解 与 60 角终边相同的角的集合是 60360 ,kkZ 当1k时 ， 60( 1)360300；当0k时 ， 60036060 ；当1k时， 601 360420 所以在 - 360 720 之间与 60 角终边相同的角为300 、 60 和 420 与-11426角终边相同的角的集合是 S114 26360 ,k

10、kZ 当0k时，114 260360114 26； 当1k时，114 261360245 34 ； 当2k时，114 262360605 34 所以在 - 360 720 之间与114 26 角终边相同的角为 114 26 、 245 34 和 605 34 例 2 写出终边在y轴上的角的集合 分析在 0 360 范围内，终边在y轴正半轴上的角为90 ， 终边在y轴负半轴上的角为270 ，因此，终边在y轴正半轴、 负半轴上所有的角分别是 36090218090kk， 360270(21) 18090kk， 其中 kZ 式等号右边表示180 的偶数倍再加上90 ；(2) 式等号右边表示180 的

11、奇数倍再加上90 ，可以将它们合并为 180 的整数倍再加上90 质疑 说明 讲解 说明 引领 分析 总结 讲解 观察 思考 主动 求解 思考 理解 领会 求解 理解 安排 与知 识点 对应 的例 题巩 固新 知 计算 部分 可以 教给 学生 完成 利用 观察 图像 加强 问题 的理 解 强调 6 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 解终边在y轴上的角的集合是 S18090 ,nnZ 当n取偶数时， 角的终边在y轴正半轴上； 当n取奇数时， 角的终边在y轴负半轴上 引领明确规范 写法 70 * 运用知识强化练习 教材练习5.1.2 1 在 0 360 范围内，找出与下列各角

12、终边相同的角，并指 出它们是哪个象限的角： 405 ；165 ； 1563 ；5421 2写 出 与 下 列 各 角 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ， 并 把 其 中 在 - 360 360 范围内的角写出来： 45 ； - 55 ； -22045； 1330 提问 巡视 指导 思考 动手 求解 交流 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 80 * 归纳小结强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ * 自我反思目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 引导 提问 回忆 反思 交流 培养 学生 总结 反思 学习 过程 能力 85 * 继续探索

13、活动探究 (1) 读书部分：教材章节7.1.1 ； (2) 书面作业：；练习 7.1 ； (3) 实践调查：生活中角的概念的推广实例 说明记录 90 7 课 程 数学 第 7 章 第7.1.2 节弧度制 授 课 时 数2 授课方法讲授法 授 课 时 间授课班级海乘 1601/轮机 1601 教 学 目 的 知识目标： 理解弧度制的概念； 理解角度制与弧度制的换算关系. 能力目标： （1）会进行角度制与弧度制的换算； （2）会利用计算器进行角度制与弧度制的换算； （3）培养学生的计算技能与计算工具使用技能 教 学 重 点 和 难 点 重点：弧度制的概念，弧度与角度的换算 难点：弧度制的概念 复

14、习 提 问 与 作 业 布 置 P6 练习 2 预习 教 学 思 路 、方 法 、手 段 （1）由问题引入弧度制的概念； （2）通过观察 探究，明晰弧度制与角度制的换算关系； （3）在练习 讨论中，深化、巩固知识，培养计算技能； （4）在操作 实践中，培养计算工具使用技能； （5）结合实例了解知识的应用 教学备品 教学课件 【教学过程】 8 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 * 揭示课题 7.22 弧度制 * 回顾知识复习导入 问题 角是如何度量的？角的单位是什么？ 解决 将圆周的 1 360 圆弧所对的圆心角叫做1 度角 ，记作 1 1 度等于 60 分（ 1 =60）

15、 ，1 分等于 60 秒（ 1 =60） 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制 扩展 计算： 233526+314043 角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位 换算上的麻烦能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运 算像 10 进位制数的加、减运算那样简单呢？ 介绍 质疑 引领 讲解 说明 了解 思考 明确 思考 了解 利用 复习 角度 制为 新知 识的 学习 做好 铺垫 5 * 动脑思考探索新知 概念 将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角， 记作 1 弧度或 1rad以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制 若圆的半径为r，圆心角AOB 所对的圆弧长为2r，那 么AOB

16、的大小就是 2 2 r r 弧度弧度 规定 ：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角 的弧度数为零 分析 由定义知道，角的弧度数的绝对值等于圆弧长l与半径 r的比，即 l r （rad） 半径为r的圆的周长为2 r ，故周角的弧度数为 说明 举例 仔细 分析 讲解 关键 理解 记忆 领会 弧度 概念 较为 抽象 讲解 时注 重分 析关 键点 弧长 与角 的对 应关 系 9 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 2 (rad)2 (rad) r r 由此得到两种单位制之间的换算关系： 360 =2 rad，即180 = rad 换算公式 1 = (rad)0.01745r

17、ad 180 180 1rad()57.357 18 说明 1用弧度制表示角的大小时，在不至于产生误解的情况 下，通常可以省略单位“ 弧度 ” 或“rad”的书写例如，1 rad， 2rad， 2 rad，可以分别写作1，2， 2 2采用弧度制以后，每一个角都对应唯一的一个实数； 反之，每一个实数都对应唯一的一个角于是，在角的集合与 实数集之间，建立起了一一对应的关系 点 归纳 强调 说明 明确 了解 强调 换算 的方 法引 领学 生加 强记 忆 简单 说明 对应 关系 20 * 巩固知识典型例题 例 1 把下列各角度换算为弧度(精确到 0001)： 15 ； 830；- 100 分析角度制换

18、算为弧度制利用公式1 = (rad)0.01745rad 180 解 15150.262 18012 ； 17 8 308.58.50.148 180360 ； 5 1001001.745 1809 例 2 把下列各弧度换算为角度（精确到1 ） ： 3 5 ； 2.1；- 3.5 分析弧度制换算角度制利用公式 180 1rad()57.357 18 解 33 180 108 55 ； 说明 强调 讲解 分析 引领 思考 理解 求解 领会 计算 利用 例题 强化 换算 公式 方法 计算 方面 可由 学生 自我 主动 10 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 180378 2.

19、12.1120 19 ； - 3.5 180630 3.5200 32 求解完成 30 * 运用知识强化练习 教材练习5.2.1 1 把下列各角从角度化为弧度（口答）： 180；90；45；15； 60；30；120；270 2 把下列各角从弧度化为角度（口答）： ； 2 ； 4 ； 8 ； 2 3 ； 3 ； 6 ； 12 3 把下列各角从角度化为弧度： 75 ；- 240 ； 105； 6730 4 把下列各角从弧度化为角度： 15 ； 2 5 ； 4 3 ；6 提问 巡视 指导 思考 动手 求解 交流 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 纠错 答疑 40 * 自我探索使用工具 准备计算器

20、 观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成 计算器弧度与角度转换的方法 利用计算器，验证计算例题1 与例题 2 质疑 巡视 汇总 小组 讨论 探究 培养 使用 计算 器能 力 50 * 巩固知识典型例题 例 3某机械采用带传动，由发动机的主动轴带着工作机的从 动轮转动设主动轮A 的直径为100 mm，从动轮B 的直径为 280 mm问：主动轮A 旋转 360，从动轮B 旋转的角是多 少？（精确到1） 解主动轮 A 旋转 360就是一周， 所以，传动带转过的长度为 100 = 100 （mm） 再考虑从动轮，传动带紧贴着从动轮B 转过 100( mm) 质疑 说明 讲解 观察 思考 主

21、动 安排 实际 问题 使学 生了 解弧 度制 11 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 的长度，那么，应用公式 l r ，从动轮B 转过的角就等于 1005 128 34 1407 答 从动轮旋转 5 7 ，用角度表示约为12834 例 4如下图，求公路弯道部分AB的长l（精确到01m图 中长度单位：m） 分析知道圆心角和半径，求弧长时，要首先将圆心角换算为 弧度制 解60 角换算为 3 弧度，因此 45 3 lR3.1421547.1（m） 答弯道部分AB的长l约为 47.1 m 说明 提问 引领 介绍 分析 明确 求解 思考 理解 讨论 求解 应用 重点 分析 题目 中

22、各 数据 的处 理 计算 部分 交给 学生 完成 65 * 运用知识强化练习 教材练习5.2.2 1填空： 若扇形的半径为10cm，圆心角为60 ，则该扇形的弧长 l，扇形面积S 已知 1 的圆心角所对的弧长为1m，那么这个圆的半径是 m 2自行车行进时，车轮在1min 内转过了96 圈若车轮的半 径为 0.33m，则自行车1 小时前进了多少米（精确到1m）？ 提问 巡视 指导 思考 动手 求解 交流 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 80 * 归纳小结强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导回忆 培养 学生 总结 12 教学 过程 教师 行为 学生 行为 教学 意图 时 间 * 自我反思目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 提问反思 交流 反思 学习 过程 能力 85 * 继续探索活动探究 (1) 读书部分：教材章节5.2 ； (2) 书面作业：学习与训练5.2 ； (3) 实践调查：了解弧度制的实际应用 说明记录 90