伴随矩阵的性质及应用汇总.pdf

《伴随矩阵的性质及应用汇总.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《伴随矩阵的性质及应用汇总.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、中 山 大 学 本科毕业论文（设计） （2016 届） 题目：伴随矩阵及其应用 姓名： 学号： 学院：数学学院 专业： 指导老师 ： 申请学位 ： I 摘要 伴随矩阵是高等代数中的一个重要概念，由它可以推导出求逆矩阵的计算公式，从而 解决了矩阵求逆的问题 . 同时关于矩阵 A 的伴随矩阵 A * 的性质也是非常重要的 . 在目前的 高等数学教材中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现，涉及内容较少，并没有深入 的研究探讨 . 因此本文主要研究了伴随矩阵在对称性、合同性、正定性、正交性、特征多 项式，特征值等方面的性质，并给出伴随矩阵在实际问题中的综合应用实例. 关键词 ：伴随矩阵，正交矩阵，正

2、定矩阵，可逆矩阵，特征多项式，特征值 II Abstract Adjoint matrix is an important concept in higher algebra, it can derive inverse matrix calculation formula, so as to solve the inverse problem of matrix inversion. At the same time on matrix A with the nature of the matrix A is also very important. In the current teach

3、ing of higher mathematics, adjoint matrix is only for solving inverse matrix appeared, less involved in the content, and no in-depth study. Therefore, this paper mainly studies the properties of adjoint matrix in symmetry, contract, positive definite, orthogonal and characteristic polynomial, charac

4、teristic value, and given with with matrix in the practical problems in comprehensive application examples. Key words:adjoint matrix, orthogonal matrix, positive definite matrix, reversible matrix, characteristic polynomial, eigenvalue. 目录 摘要I AbstractII 1. 引言.1 2. 伴随矩阵的基本性质 .2 3. 伴随矩阵的实际应用 .6 3.1利用

5、伴随矩阵求逆矩阵 6 3.2由伴随矩阵推导原矩阵 6 3.3伴随矩阵基本性质的直接应用. 6 3.4伴随矩阵秩的应用 8 参考文献 9 伴随矩阵及其应用 1 1. 引言 矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩 阵中较为特殊的一类，其理论和应用有其自身的特点. 那么我们首先来了解一下什么是伴 随矩阵，在给出伴随矩阵的定义之前，先给出余子式和代数余子式的定义. 定义 1n n阶行列式 1111 1 1 jn iijin nnjnn aaa aaaD aaa 的某一元素 ij a 的余子式 ij M 指的 是在D中划去 ij a 所在的行和列后所余下的 1n 阶子

6、式 . 定义 2n阶行列式 D 的元素 ij a 的余子式 ij M 附以符号 ij 后， 叫作元素 ij a 的代数余 子式，用符号 ij A 表示， ij ijij AM . 定义3设 ij A是矩阵 A 11121 2 1222 12 n n nnnn aaa aaa aaa 中元素 ij a的代数余子式，那么矩阵 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 称为矩阵 A的伴随矩阵 . 定义 4 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩 ，记作 r A . 伴随矩阵中有两个常用的公式 公式一 * AAA AA I. 公式二 11 AA A ， 其

7、中 I 是单位矩阵， 1 A是矩阵 A的逆矩阵， A是矩阵 A的行列式 . 证明设 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa ，由于 1122 = 0 , ijijinjn Aij a Aa Aa A ij ， ，因此 伴随矩阵及其应用 2 1112111211 2122212222 1212 00 00 = 0 nn nn nnnnnnnn aaaAAAA aaaAAAA AAA I aaaAAAA ， 同理 A AA I ， 公式一得证 .当 A是可逆矩阵时，0A， 由公式一可得 * 1 AA A *1 AA A I ，即 11 AA A . 注：公式二给

8、出了矩阵A的逆矩阵的构造方法，这在理论上是非常重要的. 高等代数 教材中给出的伴随矩阵，一般都是以上内容，但这对于伴随矩阵的探究远远不够，本文将 给出伴随矩阵的一些性质及证明，同时结合伴随矩阵的性质，探究伴随矩阵的实际应用. 2. 伴随矩阵 * A的基本性质 性质 1设 A是 n阶矩阵，则 * 1 0 nr An r Ar An r An 证明当r An时，则 A可逆，0A，由AAAI可知， n AAA AA ， 即 1 0 n AA，所以A可逆，r An. 当1r An时， A中至少有一个1n阶子式不为 0，即A中至少有一个元素不为 0，因此 r A1. 又因为1r An，则 A不是满秩矩阵

9、，所以0A. 由 AAA I , 可知 0AA, 又因为 r Ar An，把1r An代入，可知 r A ，综上可得1r A. 当1r An时，可知 A的所有1n阶子式均为0，即A的所有元素均为0 ，于 是 A，所以 r A . 性质 2 TT AA，其中 T A表示矩阵 A的转置矩阵 . 证明设 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa ， 则 T A的第 i 行第j列元素为 ji a ， T A的第 i 行第j 伴随矩阵及其应用 3 列元素为 ij A ，A的第 i 行第 j列元素为 ji A ， T A的第 i 行第j列元素为 ij A ，因此 TT A

10、A. 性质 3 1 1 n AAn. 证明当 A可逆，即 A时，因为 AA A ，所以 1nn AA AAAA， 当 A不可逆，即 A时，0A，可得 1n AA. 性质 4 2 2 n AAA n. 证 明当2n， 即A为 二 阶 矩 阵 时 ， 设 ab A cd ， 则 db A ca ， ab A cd ，故 2 2 AAAA. 当 n时，根据A是否可逆分两种情况考虑 . A可逆，即0A, 由性质 3 可知 1112 11 nnn AA AAAAAAAA A不可逆，即0A, 可知1r An. 若( )1r An，则1r An，可知 rA， 从 而 2 0 n AAA. 若 1r An，

11、则 r A， 即0A， 故 2 0 n AAA. 性质 5 当 A可逆时， 11A AA A . 证明由 AAA I 可知， A A A , 而 1 A AAA A , 故 1 AA. 性质 6设k为常数， 1 1 n kAkA n. 证明 111111 = nnn kAkA kAkA kAk kA AkA . 性质 7 ABB A . 证明当 AB时， 11111 ABABABA B B AB BA AB A * . 当0,0AB时，令 A xxEA, B xxEB ，则存在无穷多个x ，使得 伴随矩阵及其应用 4 ,A xB x. A x 与 B x 均可逆，所以 A x B xB xA

12、x，该等式两端的 元素是关于 x 的有限次多项式，因为存在无穷多个x，这意味着存在无穷多个数使得对应 的多项式相等，即上式对任意的x都成立 . 当0x时，得 ABB A . 伴随矩阵A是由矩阵A决定的，所以矩阵A所具有的特点伴随矩阵A一样具备 . 性质 8 若A为正交矩阵，则A也是正交矩阵 . 证明若A为正交矩阵， 则 2 ,1 TT AAA AIA，于是有 *11TT AAA AA A 22 111111TTT AAAAAAAAII. 同理， *T AAI , 故A也为正交矩阵 . 性质 9若矩阵A与B合同，且A与B可逆，那么A与B也合同 . 证明因为矩阵A与B合同，由矩阵合同的定义可知，存

13、在可逆矩阵P，使得 T P APB， 又A与B可逆， 则 1111T PAPB, 令 1T CP，有 11T C A CB， 又 2 PAB ， 则 有 11T P CA AP CB B, 令 QP C ， 则 QP C是 可 逆矩阵且 T Q A QB，因此A与B也合同. 性质 10 若A为对合矩阵，即 2 AI , 则A 也为对合矩阵 . 证明若A为对合矩阵，则 2 AI ，则 22 2121221 AA AAAAAI， 因此A也是对合矩阵 . 性质 11若A是一个 n阶正定矩阵，则A也是正定矩阵 . 证明因为A是正定矩阵，A，故存在可逆矩阵P，使得 T P API ，那么有 T P AP

14、I ，由性质 7 可知 TT P APP APII，所以A也是正定矩阵 . 性质 12 若A是一个 n阶实对称矩阵，则A也是对称矩阵 . 证明因为A是实对称矩阵，有 T AA，由 性质2 可知， TT AA，所以 TT AAA，故A也是对称矩阵 . 性质 13若A是 n阶可逆的，则A可表示成A的多项式 . 伴随矩阵及其应用 5 证明设A的特征多项式为 12 121 nnn nn fIAaaaa ，由于 A 可逆，故可知0 n nfaA. 由哈密顿 - 凯莱定理 可得f A 1 11 nn n Aa AaA 0 nn a I，即 1 11 nn nnn Aa AaAa I ，进而可得 12 12

15、1 1 nn nnn n AAa AaAaI a n I ，故 112 121 1nn nnn n AAa AaAaI a . 由 1 AA A ，所以 1n n A AA a 2 121 n nnn a AaAaI 112 1 nnn Aa A 21nnn aAaI. 注：哈密顿 - 凯莱定理 ：设n阶矩阵 A的特征多项式为 12 12 nnn nn faa 10 aa，1 n a， 则矩阵 A满足特征方程，即 12 1210 0 nnn nn f AAaAaAa Aa 性质 14若 A是可逆矩阵，是其特征值，是 A的属于的特征向量，那么A的特 征值为 1 A ,是A的属于特征值 1 A 的

16、特征向量 . 证明因为A可逆，所以0，由 A，两边同时乘以A得 A AA，由 A AA I可得A IA，因此 1 AA. 3. 伴随矩阵的实际应用 3.1 利用伴随矩阵求逆矩阵 例 1 设矩阵 12 13 A， 2 32BAAE，则 1 B 分析求 1 B，首先要先将矩阵B求出，再根据伴随矩阵定义，求得B ，利用公式 1B B B 即可解出 1 B. 解由 12121210 32 13131301 B，得： 22 10 B， 22 2 10 B， 伴随矩阵及其应用 6 02 12 B，故 1 01 1 1 2 B B B . 3.2由伴随矩阵推导原矩阵 例 2 设矩阵A的伴随矩阵 42 31

17、A，求A. 分析 伴随矩阵 A 是从矩阵A根据定义得出的， 本题若是采用定义的方法逆推矩阵A， 麻烦且容易弄错元素，因此考虑利用公式去推导矩阵A. 解2A， 根据性质 4， 1n AA， 此时2n， 故2A， 1 21 31 22 A A A ， 根据 1 AAI，对矩阵施行行初等变换 2110 1012 3131 0101 2222 1012 0134 ，即 12 34 A. 3.3 伴随矩阵基本性质的直接应用 例 3 设A为3阶矩阵，其逆矩阵为 1 121 342 531 A，求A， 1 A. 分析先看 A，若直接求，需通过 1 A将A求出，再通过伴随矩阵的定义求出A ， 进而可以求出A，

18、但这个过程比较繁琐 . 根据前面的性质 2n AAA，只要求出A 和A就可以求出A, 过程更为简便 . 再看 1 A，如果直接求的话，就要先利用 1 A求出A，再求 A ，最后求逆 . 虽然是三 阶矩阵，但这三步每一步都不容易. 可根据前面的性质 11A AA A 简化运算过程 . 这两个问题从公式中可以看出，只要求出A与A就能解决，那就先从求A着手. 伴随矩阵及其应用 7 解 121100 1211 00121100 131 3420 100213 10010 222 5310 0101365 01 12913 001 222 12028132100210 01013610101361 00

19、12913200129132 ， 故 210 1361 29132 A， 210 13611 29132 A . 由 性 质 4 可 知 ， 2n AAA ， 此 时 3n, 210 1361 29132 A. 由性质 5可知， 11 210 1361 29132 A AA A . 例 4 求矩阵 240 430 102 A的伴随矩阵 A. 解矩阵A的特征多项式为： 32 240 430312 10 fIA， 20 n n aA ，矩阵A可逆，由 性质 13可知 1 32 680 12840 3410 AAAI. 例 5 设A为三阶矩阵，A的特征值为 1,3,5 ，试求行列式2AI 解因为A的

20、特征值为 1,3,5 ， 所以 1 3515A . 由性质 14可知，A的特征值分 别为 1 155 3 ， 1 153 5 ， 1 1515. 于是2AI 的特征值为 523， 321， 15213. 故23 1 1339AI. 3.4 伴随矩阵秩的应用 例 6 试求出满足AA的一切 n 阶矩阵A. 伴随矩阵及其应用 8 分析如何求解AA呢？我们可以从矩阵的秩来考虑，也就是利用性质 1，但是要 注意分类讨论 . 解 当0A时，0A，此时有AA. 当 01r An时，则r A，即0A，此时AA. 当1r An时， 则r A， 当2n时，AA. 当2n时， 设 ab A cd ， 则 db A

21、ca ，即AA. 因为若AA，则ad，0bc，于是 0 0 a A a ，这与 r A矛盾，故此时AA. 当 r An时， 则r A n， 由A A AI可得 1 AA AA， 仅当 2 AA I时. 综上可得，满足AA的矩阵是：零矩阵以及满足 2 AA I的可逆矩阵 . 伴随矩阵及其应用 9 参考文献 1 张禾瑞，郝鈵新高等代数（第五版）M 北京：高等教育出版社，2007 2 马訾伟，杜炜，闫晓红高等代数全程导学及习题全解（第五版）M 北京：中国 时代经济出版社， 2009 3 赵利辉，宋红伟伴随矩阵的性质及其在解题中的应用J ，廊坊师范学院学报（自 然科学版）， 2013，13(4) ：2

22、4-26. 4 张艳丽关于伴随矩阵性质的讨论J 衡水学院学报， 2007，9（1）：43-44 5 王莲花，田立平伴随矩阵性质及其应用J 河南教育学院学报（自然科学版）， 2006，15（3）：4-6 6 刘兵军伴随矩阵的运算性质J 保定师范专科学校学报，2002,15(2) ：6-8. 7 肖翔，许伯生 . 伴随矩阵的性质 J. 上海工程技术大学教育研究学报，2007，3：48-49. 8 朱焕，关丽杰，范慧玲有关伴随矩阵的性质 J 高师理科学刊，2008,28(3) ： 21-23. 9 孙飞，白银柱伴随矩阵的性质及应用J 内蒙古民族大学学报（自然科学版）， 2013,28(4) ：404-406 10 张建航，李宗成方阵的伴随矩阵性质探讨J 高师理科学刊， 2007,27(1) ：9-10 11 孙红伟 . 伴随矩阵性质的探讨 J 高等函授学报（自然科学版）,2006 ， 20 （3） ： 37-38