《南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷汇总.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷汇总.pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数学试卷第 1 页 共 20 页 南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试 数学 201703 注意事项： 1本试卷共4页，包括填空题（第1 题第 14 题） 、解答题（第15 题第 20 题）两部分本 试卷满分为160 分，考试时间为120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡 上对应题目的 答案空格内考试结束后，交回答题卡 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 上 1函数 f(x)ln 1 1x的定义域为 2若复数z满足 z(1i)2i（ i 是虚数单位） ， z 是 z 的共轭复数，则z z 3某
2、校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可 能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 4下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示： 不喜欢戏剧喜欢戏剧 男性青年观众40 10 女性青年观众40 60 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏 剧的男性青年观众”的人中抽取了8 人，则 n 的值为 5根据如图所示的伪代码，输出S的值为 6记公比为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn若 a1 1，S45S20， 则 S5的值为 7将函数f(x) sinx 的图象向右平移 3个单位后得到函数 y
3、g(x)的图象， 则函数 yf(x)g(x)的最大值为 8在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2 6x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足若直线AF 的斜率 k3，则线段PF 的长为 （第 5 题图） S1 I1 While I8 SSI II 2 End While Print S 数学试卷第 2 页 共 20 页 9若 sin( 6) 3 5， (0， 2)，则 cos的值为 10 ，为两个不同的平面，m， n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（填上所 有正确命题的序号） 若 ，m ，则 m ；若 m ，n ，则 mn； 若 ， n，mn，则 m ；若
4、n ，n ， m ，则 m 11在平面直角坐标系xOy 中，直线l1：kxy20 与直线 l2：x ky20 相交于点 P，则当实 数 k 变化时，点P 到直线 xy4 0 的距离的最大值为 12 若函数 f(x)x 2mcosxm23m8有唯一零点， 则满足条件的实数 m组成的集合为 13已知平面向量 AC(1，2)， BD(2， 2)，则 AB?CD 的最小值为 14已知函数f(x)lnx(ea)xb，其中 e 为自然对数的底数若不等式f(x)0 恒成立，则 b a的最 小值为 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤
5、 15 （本小题满分14 分） 如图，在 ABC 中， D 为边 BC 上一点， AD6，BD3，DC2 （1）若 ADBC，求 BAC 的大小； （2）若 ABC 4，求 ADC 的面积 A B C D （第 15 题图 2） （第 15 题图 1） D C B A 数学试卷第 3 页 共 20 页 16 （本小题满分14 分） 如图，四棱锥PABCD 中， AD平面 PAB， APAB （1）求证： CDAP； （2）若 CDPD，求证： CD平面 PAB； （第 16 题图） P DC B A 数学试卷第 4 页 共 20 页 17 （本小题满分14 分） 在一张足够大的纸板上截取一个面
6、积为3600 平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的 四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图） 设 小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB，BC 的长分别为a 厘米和 b 厘米，其中ab （1）当 a 90 时，求纸盒侧面积的最大值； （2）试确定a，b， x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值 （第 17 题图） DC B A 数学试卷第 5 页 共 20 页 18 （本小题满分16 分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C： x 2 8 y 2 b 21 经过点 (b， 2e)，其中e 为椭圆 C 的离心率
7、过点T(1，0)作斜率为k(k 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点 (A 在 x 轴下方 ) （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点 O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点 M， N，求 AT BT MN 2的值； （3）记直线l 与 y 轴的交点为P若 AP 2 5 TB ，求直线l 的斜率 k x y O A B P T M N （第 18 题图） 数学试卷第 6 页 共 20 页 19 （本小题满分16 分） 已知函数f (x) e x ax1，其中 e 为自然对数的底数， aR （1）若 a e，函数 g (x)(2e)x 求函数h(x)f (x)g (x)的单调区间； 若函
8、数F(x) f (x)，xm， g (x)，xm 的值域为R，求实数m 的取值范围； （2）若存在实数x1， x2 0，2，使得 f(x1)f(x2)，且 | x1x2| 1， 求证： e 1ae2e 数学试卷第 7 页 共 20 页 20 （本小题满分16 分） 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn ，cn 满足 (n1) bnan1 Sn n ， (n2) cn an1an2 2 Sn n ，其中 nN* （1）若数列 an 是公差为 2 的等差数列，求数列 cn的通项公式； （2）若存在实数 ，使得对一切nN* ，有 bn cn，求证：数列 an是等差数列 数学试卷第 8 页
9、 共 20 页 南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试 数学附加题 201703 21 【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计20 分请在答卷卡指 定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4 1：几何证明选讲 如图， ABC 的顶点 A，C 在圆 O 上， B 在圆外，线段AB 与圆 O 交于点 M （1）若 BC 是圆 O 的切线，且AB 8，BC4，求线段 AM 的长度； （2）若线段BC 与圆 O 交于另一点N，且 AB2AC，求证： BN 2MN B选修 4 2：矩阵与变换 设 a，bR若直线l：axy 70 在矩阵 A=
10、 3 0 1b 对应的变换作用下，得到的直线为 l ：9xy910求实数a，b 的值 A C B M O A B C O M N （第 21(A)图） 数学试卷第 9 页 共 20 页 C选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l： x1 3 5t， y4 5t (t 为参数 )，与曲线C： x4k 2， y4k (k 为参数 )交 于 A， B 两点，求线段AB 的长 D选修 4 5：不等式选讲 设 ab，求证： a46a2b2 b4 4ab(a2b2) 数学试卷第 10 页 共 20 页 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答 卷卡指定
11、区域内 作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分10 分） 如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面四边形ABCD 为菱形， A1AAB 2， ABC 3，E， F 分别是 BC，A 1C 的中点 （1）求异面直线EF， AD 所成角的余弦值； （2）点 M 在线段 A1D 上， A1M A1D 若 CM平面 AEF，求实数 的值 D1 C1B1 M F E D CB A A1 （第 22 题图） 数学试卷第 11 页 共 20 页 23 （本小题满分10 分） 现有 n(n 1) 2 （n2，nN* ）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵： *
12、第 1 行 * * 第 2 行 * * * 第 3 行 * * * * 第 n 行 设 Mk是第 k 行中的最大数，其中1 kn，k N* 记 M1M2 Mn的概率为pn （1）求 p2的值； （2）证明： pn C 2 n1 (n1)! 数学试卷第 12 页 共 20 页 南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准 一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分.） 1(， 1) 2 2 3 2 3 430 517 631 73 8 6 9 4 33 10 101132 122 13 9 4 14 1 e 二、解答题（本大题共6 小题，计90 分解答应
13、写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15 （本小题满分14 分） 解： （1）设 BAD ， DAC 因为 ADBC，AD 6，BD3，DC2， 所以 tan 1 2，tan 1 3， 2 分 所以 tanBAC tan( ) tan tan 1tan tan 1 2 1 3 1 1 2 1 3 14 分 又 BAC (0， )，所以 BAC 4 6 分 （2）设 BAD 在 ABD 中， ABC 4，AD6，BD3 由正弦定理得 AD sin 4 BD sin ， 解得 sin 2 4 8 分 因为 ADBD，所以 为锐角，从而cos 1 sin2 14 4 10 分 因此 sinAD
14、C sin( 4)sin cos 4cos sin 4 2 2 ( 2 4 14 4 ) 17 4 12 分 ADC 的面积 S 1 2AD DC sinADC 1 26 2 17 4 3 2(1 7)14 分 数学试卷第 13 页 共 20 页 16 （本小题满分14 分） 证明：（1）因为 AD平面 P AB，AP? 平面 PAB， 所以 ADAP2 分 又因为 APAB ，ABADA， AB? 平面 ABCD ，AD? 平面 ABCD ， 所以 AP平面 ABCD4 分 因为 CD? 平面 ABCD， 所以 CDAP6 分 （2）因为 CD AP，CDPD，且 PD APP，PD? 平面
15、 PAD，AP? 平面 P AD， 所以 CD平面 PAD8 分 因为 AD平面 PAB，AB? 平面 PAB， 所以 ABAD 又因为 APAB，APADA，AP? 平面 PAD，AD? 平面 PAD， 所以 AB平面 PAD10 分 由得CDAB，12 分 因为 CD/ 平面 PAB，AB? 平面 PAB， 所以 CD平面 PAB14 分 17 （本小题满分14 分） 解： （1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当 a90 时， b40， 从而包装盒子的侧面积 S2x(902x)2x(402x) 8x2260x，x(0，20) 3分 因为 S 8x2260x 8(x65 4 )
16、24225 2 ， 故当 x 65 4 时，侧面积最大，最大值为 4225 2 平方厘米 答：当 x 65 4 时，纸盒的侧面积的最大值为 4225 2 平方厘米6 分 （2）包装盒子的体积 V(a2x)(b2x) xxab2(ab)x 4x 2， x(0，b 2)，b60 8 分 Vxab2(ab)x4x 2x(ab4 abx4x2) x(3600240x4x2) 数学试卷第 14 页 共 20 页 4x3240x23600x10 分 当且仅当a b60 时等号成立 设 f (x)4x3240x23600x，x (0，30) 则 f (x)12(x10)(x30) 于是当 0x10 时， f
17、 (x)0，所以 f (x)在(0，10)上单调递增； 当 10x30 时， f (x)0，所以 f (x)在(10，30)上单调递减 因此当 x10 时， f (x)有最大值f (10) 16000，12 分 此时 ab60，x10 答：当 ab60， x10 时纸盒的体积最大，最大值为16000 立方厘米 14 分 18 （本小题满分16 分） 解： （1）因为椭圆 x 2 8 y 2 b 21 经过点 (b， 2e)，所以 b 2 8 4e 2 b 21 因为 e2 c 2 a 2 c 2 8 ，所以 b 2 8 c 2 2b 21 因为 a2b2c2，所以 b 2 8 8b 2 2b
18、212 分 整理得b412b2320，解得 b24或 b28(舍) 所以椭圆 C 的方程为 x 2 8 y 2 4 14 分 （2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)因为 T(1，0)，则直线 l 的方程为yk(x 1) 联立直线l 与椭圆方程 yk(x1)， x 2 8 y 2 4 1， 消去 y，得(2k 21)x24k2 x2k 28 0， 所以 x1x2 4k 2 2k 21， x1x2 2k 28 2k 21 6 分 因为 MNl，所以直线MN 方程为 ykx， 联立直线MN 与椭圆方程 y kx， x 2 8 y 2 4 1， 消去 y 得 (2k21)x28，解得 x2 8
19、2k 21 因为 MNl，所以 ATBT MN 2 (1x1)(x21) (xMxN) 28 分 数学试卷第 15 页 共 20 页 因为 (1 x1) (x21) x1x2(x1 x2)1 7 2k 21， (xMxN) 24x2 32 2k 21， 所以 ATBT MN 2(1x 1)(x21) (xMxN) 2 7 2k 21 2k 2 1 32 7 32 10 分 （3）在 yk(x1)中，令 x0，则 y k，所以 P(0， k)， 从而AP (x1,ky1)， TB (x21，y2) 因为AP 2 5 TB ，所以 x12 5(x21)，即 x1 2 5x2 2 5 12 分 由(
20、2)知， x1x2 4k 2 2k 21， x1x2 2k 28 2k 21 由 x1x2 4k 2 2k 21， x1 2 5x 2 2 5， 解得x1 4k 22 3(2k 2 1)，x2 16k 22 3(2k 21) 14 分 因为 x1x2 2k 28 2k 21， 所以 4k22 3(2k 21) 16k 22 3(2k 21) 2k 28 2k 21， 整理得50k483k2340，解得 k2 2 或 k2 17 50 (舍) 又因为 k0，所以 k216 分 19 （本小题满分16 分） 解： （1）当 ae时， f (x)exex1 h (x)f (x)g (x)e x2x1
21、，h (x)ex2 由 h (x) 0 得 x ln2，由 h (x)0 得 xln2 所以函数h(x)的单调增区间为(ln2， )，单调减区间为(， ln2) 3 分 f (x)exe 当 x1 时， f (x)0，所以 f (x)在区间 (， 1)上单调递减； 当 x1 时， f (x)0，所以 f(x)在区间 (1， )上单调递增 1当 m1 时， f (x)在(， m上单调递减，值域为e mem1， )， g(x)(2e)x 在(m， )上单调递减，值域为(， (2e)m)， 因为 F(x)的值域为R，所以 e mem1(2e)m， 即 em2m10（*） 数学试卷第 16 页 共 2
22、0 页 由可知当m 0时， h(m)em2m1h(0) 0，故（ *）不成立 因为 h(m)在 (0， ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)0， h(1) e30， 所以当 0m1 时， h(m)0 恒成立，因此0m16 分 2当 m1 时， f (x)在(， 1)上单调递减，在(1，m上单调递增， 所以函数f (x) e x ex1 在(， m上的值域为 f (1)， )，即 1， ) g(x) (2e)x 在 (m， )上单调递减，值域为(， (2e)m) 因为 F(x)的值域为R，所以 1(2e)m，即 1m 1 e2 综合 1 ，2 可知，实数m 的取值范围是 0
23、， 1 e2 9 分 （2）f (x)e xa 若 a0 时， f (x)0，此时 f(x)在 R 上单调递增 由 f(x1)f(x2)可得 x1x2，与 |x1x2|1 相矛盾， 所以 a0，且 f(x)在(， lna单调递减，在 ln a， )上单调递增11 分 若 x1，x2(， lna，则由 f (x1)f (x2)可得 x1x2，与 |x1x2| 1 相矛盾， 同样不能有x1，x2ln a， ) 不妨设 0x1x22，则有 0x1lnax22 因为 f(x)在(x1，lna)上单调递减，在(lna，x2)上单调递增，且 f (x1)f (x2)， 所以当 x1xx2时， f (x)f
24、 (x1)f (x2) 由 0x1x22，且 |x1x2|1，可得 1x1，x2， 故 f (1)f (x1) f (x2) 14 分 又 f (x)在(， lna单调递减，且0 x1lna，所以 f (x1)f (0)， 所以 f (1)f (0)，同理 f (1)f (2) 即 ea10， ea1e 22a2，解得 e1ae 2e1， 所以 e1a e 2 e 16 分 20 （本小题满分16 分） 解： （1）因为 an是公差为 2 的等差数列， 所以 ana12(n 1)， Sn n a1n 1，2 分 从而(n2) cn a12na12(n1) 2 (a1n1)n 2，即 cn1 4
25、 分 （2）由 (n1)bnan1 Sn n ， 数学试卷第 17 页 共 20 页 得 n(n1) bn nan1Sn， (n1)(n2) bn1(n1)an2Sn1， 两式相减，并化简得an2an1(n2) bn1nbn6 分 从而(n2) cn an1an2 2 Sn n an1an2 2 an1(n1) bn an2an1 2 (n1) bn (n2) bn1nbn 2 (n1) bn 1 2(n2)( bnbn 1) 因此 cn 1 2( bnbn 1) 9分 因为对一切nN* ，有 bn cn，所以 cn 1 2(bnbn 1) ， 故 bn ，cn 11 分 所以(n1) an1
26、 Sn n ，错误！未找到引用源。 (n2) 1 2(an 1 an2) Sn n ，错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ，得 1 2(a n2an1) ，即 an2 an12 故 an1 an2 (n2)14 分 又 2 a2 S1 1 a2a1，则 an1an2 (n1) 所以数列 an 是等差数列 16 分 南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试 数学附加参考答案及评分标准 21 【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计20 分请在答卷卡指 定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4 1：几何证明选讲
27、 解： （1）因为 BC 是圆 O 的切线，故由切割线定理得BC2BMBA2 分 设 AMt，因为 AB8， BC4， 所以 428(8t)，解得 t6 ，即线段AM 的长度为6 4 分 （2）因为四边形AMNC 为圆内接四边形，所以A MNB 6 分 数学试卷第 18 页 共 20 页 又 B B，所以 BMN BCA，8 分 所以 BN BA MN CA 因为 AB2AC，所以 BN 2MN10 分 B选修 4 2：矩阵与变换 解： （方法一） 在直线 l：axy70 取点 A(0，7)，B(1，7a) 因为 3 0 1 b 0 7 0 7b ， 3 0 1 b 1 7 a 3 b(7a)
28、1 ，4 分 所以 A(0，7)， B(1，7a)在矩阵 A 对应的变换作用下 分别得到点A(0，7b)，B (3，b(7a)1) 由题意，知A ，B在直线 l： 9xy910 上， 所以 7b910， 27b(7a)1910 8 分 解得 a2，b1310 分 （方法二） 设直线 l 上任意一点P(x，y)，点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点Q(x，y) 因为 3 0 1 b x y x y ，所以 x 3x， y xby 4分 又因为点Q(x ，y)在直线 l上，所以9x y 910 即 27x(xby)910，也即 26xby910， 又点 P(x，y)在直线 l 上，所以有ax
29、y 708 分 所以 26 a b 1 91 7 ，解得 a2，b 1310 分 C选修 4 4：坐标系与参数方程 解： （方法一） 直线 l 的参数方程化为普通方程得4x3y4， 将曲线 C 的参数方程化为普通方程得y24x4 分 联立方程组 4x 3y4， y 24x，解得 x4， y4 或 x1 4， y 1 所以 A(4，4)， B(1 4， 1) 8分 所以 AB (4 1 4) 2(41)225 4 10 分 （方法二） 将曲线 C 的参数方程化为普通方程得y24x2 分 直线 l 的参数方程代入抛物线C 的方程得(4 5t) 2 4(13 5t)，即 4t 215t250， 所以
30、t1t2 15 4 ，t1t2 25 4 6 分 数学试卷第 19 页 共 20 页 所以 AB|t1t2| (t1t2) 24t 1t2(15 4 ) 22525 4 10 分 D选修 4 5：不等式选讲 证明：a46a2b2b44ab(a2b2)(a2b2) 24ab(a2b2)4a2b2 (a2b22ab)2(ab)45 分 因为 ab，所以 (ab)4 0， 所以 a 46a2b2b44ab(a2b2) 10 分 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答 卷卡指定区域内 作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分10 分） 解： 因为四
31、棱柱ABCD A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A平面 ABCD 又 AE平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以 A1A AE，A1AAD 在菱形 ABCD 中 ABC 3，则 ABC 是等边三角形 因为 E 是 BC 中点，所以BCAE 因为 BCAD，所以 AE AD 以 AE ，AD ， AA1为正交基底建立空间直角坐标系 则 A(0，0，0)，C(3，1，0)，D(0，2，0)， A1(0，0， 2)， E(3，0，0)，F( 3 2 ， 1 2，1) （1） AD (0，2，0)， EF ( 3 2 ，1 2， 1)，所以 AD EF 1 从而 cos AD ， EF AD EF
32、 | AD | |EF | 2 4 故异面直线EF，AD 所成角的余弦值为 2 4 4 分 （2）设 M(x，y，z)，由于点M 在线段 A1D 上，且 A1M A1D ， 则 A1M A1D，即 (x，y，z2) (0， 2， 2) 则 M(0，2 ，22 )， CM(3， 2 1， 22 )6 分 设平面 AEF 的法向量为n (x0，y0，z0) 因为 AE(3，0，0)， AF ( 3 2 ， 1 2，1)， x z y D1 C1B1 M F E D C B A A1 (第 22 题图) 数学试卷第 20 页 共 20 页 由 n AE 0，n AF 0，得 x00， 1 2y0 z
33、00 取 y02，则 z0 1， 则平面 AEF 的一个法向量为n(0，2， 1)8 分 由于 CM平面 AEF，则 n CM0，即 2(2 1)(22 )0，解得 2 3 10 分 23 （本小题满分10 分） 解： （1）由题意知p2 2A 2 2 A 3 3 2 3， 即 p2 的值为 2 3 3 分 （2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为 n n(n 1) 2 2 n1； 5 分 去掉第 n 行已经排好的n 个数， 则余下的 n(n1) 2 n n(n1) 2 个数中最大数在第n1 行的概率为 n n(n1) 2 2 n； 故 pn 2 n1 2 n 2 3 2 n1 (n1)n 3 2 n (n1)! 7 分 由于 2n(11)nC 0 n C 1 nC 2 n C n nC 0 nC 1 nC 2 n C 1 nC 2 nC 2 n1， 故 2 n (n1)! C 2 n1 (n1)! ，即 pn C 2 n1 (n1)! 10 分