抛物线的焦点与准线.pdf

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1、抛物线的焦点与准线（高中知识有关） 九上 P54、活动 2（新书） 一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（ 1-1） P56-59 抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线 .点 F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线. 公式：抛物线cbxaxy 2 的焦点为) 4 14 , 2 ( 2 a bac a b ，准线为 a bac y 4 14 2 二、试题： 1、 （2010 黄冈市， 25，15 分）已知抛物线 2 (0)yaxbxc a顶点为C（1，1）且过 原点O过抛物线上一点P（x，y）向直线 5 4 y作垂线，

2、 垂足为M，连FM（如图） （1）求字母a，b，c的值； （2）在直线x1 上有一点 3 (1, ) 4 F，求以PM为底边的 等腰三角形PFM的P点的坐标， 并证明此时PFM为正 三角形； （3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t） ， 使PMPN恒成立， 若存在请求出t值，若不存在请说明 理由 2、2012年山东潍坊市 24(本题满分11 分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(2，0)、B(2，0)、C(0， 1) 三点，过坐标原点0 的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C,D(0， 2)作平行 于x轴的直线 21 ll 、 (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2

3、)求证以ON为直径的圆与直线 1 l相切； (3)求线段MN的长 (用k表示 )， 并证明M、N两点到直线 2 l 的距离之和等于线段MN的长 3、湖北省黄冈市2011 年中考数学试卷 24、 如图所示，过点 F （0， 1） 的直线 y=kx+b 与抛物线 交于 M（x1，y1）和 N（x2，y2）两点（其中x10， x2 0） （1）求 b 的值 （2）求 x1?x2的值 （3）分别过 M，N 作直线 l：y= 1的垂线， 垂足分别是M1和 N1判断M 1FN1的形状， 并证明你的结论 （4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m，使 m 与以 MN 为直径的圆相 切如果有，请

4、求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由 第 22 题图 A B Q O y x P C 4、2010年南通市中考试题（五中月考） 28 （本小题满分14分） (2010年南通市 ) 已知抛物线yax 2 bxc经过A（ 4，3） 、B（2，0） 两点，当x=3 和x=3 时，这条抛物线上对应点的纵 坐标相等经过点C（0， 2）的直线l与x轴平行， O为坐标原点 （1）求直线AB和这条抛物线的解析式； （2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直 线l与A的位置关系，并说明理由； （3）设直线AB上的点D的横坐标为1，P（m，n） 是抛物线yax 2 bxc上的动点， 当PDO的 周长

5、最小时，求四边形CODP的面积 5、 （2011-2012福州市九上期末考试题） 22 （14 分）已知抛物线)0( 2 acbxaxy经过点A （ 2，0） 、B（0，1）两点，且对称轴是y轴，经过 点C（0，2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点，P、 Q为抛物线cbxaxy 2 （0a）上的两动点。 （1）求抛物线的解析式; （2）以点P为圆心，PO为半径的圆记为P， 判断直线l与P的位置关系，并证明你的结论; （3）设线段9PQ，G是PQ的中点，求点G到直 线l距离的最小值。 6、 （2012四川资阳9 分）抛物线 21 y=x +x+m 4 的顶点在直 线y=x+3上，过点F（ 2，2

6、）的直线交该抛物线于点M、 N两点（点M在点N的左边），MAx轴于点A，NBx轴于点B （1）(3 分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示） ，再求m 的值； （2）(3 分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF NB； （3）(3 分)若射线NM交x轴于点P，且PAPB 100 9 ，求点M的坐标 抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案 1、 （2010 黄冈市， 25， 15 分） 【分析】 （ 1）抛物线的顶点为C（ 1，1） ，可设解析式 为ya（x1） 2+1，又因抛物线过原点，可得 a 1，所以y（x1）2+1，化简得y x22x，即

7、可求字母a，b，c的值；（2）由FMFP，PM与直线 5 4 y垂直，可得 1 y x O （第 28题） 1 2 3 4 2 4 3 3 1 2 3 4 4 1 2 533 444 y ， 1 4 y，代入 yx22x，解得 3 1 2 x点P坐标为（ 3 1 2 ， 1 4 ） 或（ 3 1 2 ， 1 4 ） ，所以分两种情况，通过计算可得PFM为正三角形； （3）由PMPN 可得 5 4 y 22 1xyt， 整理得， 239 20 216 tyty，解得 1 3 4 t， 2 3 2 4 ty（舍 去） ，故存在点N（1， 3 4 ） ，使PMPN恒成立 【答案】 （1）a 1，b2

8、，c0 （ 2）FMFP，PM与直线 5 4 y垂直， 533 444 y ， 1 4 y， 把 1 4 y代入yx 22x，解得3 1 2 x点P坐标为（ 3 1 2 ， 1 4 ）或（ 3 1 2 ， 1 4 ） ， 当点P坐标为（ 3 1 2 ， 1 4 ）时，MPMFPF1，PFM为正三角形， 当点P坐标为（ 3 1 2 ， 1 4 ）时，MPMFPF1，PFM为正三角形， 当点P坐标为（ 3 1 2 ， 1 4 ）或（ 3 1 2 ， 1 4 ）时，PFM为正三角形； （3）存在，PMPN， 5 4 y 22 1xyt， 两边同时平方得， 2255 162 yy 22 1xyt yx

9、2 2x， 239 20 216 tyty， 解得 1 3 4 t， 2 3 2 4 ty（舍去），故存在点N（ 1， 3 4 ） ，使PMPN恒成立 【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形 【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力 水平，第（ 2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求 出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t的字母系数方程，本题有一定的区分度 【推荐指数】 2、2012年山东潍坊市24(本题满分 ll分) 解： (1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax 2+ bx+c， 由 cba c cba 240

10、 1 240 解得 4 1 1 0 a c b 所以1 4 1 2 xy3 分 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上， 所以, 1 4 1 , 1 4 12 22 2 11 xyxy，所以x2 2=4( y2+1)； 又ON 2= x22+y22=4(y2+1)+y22=(y2+2) 2，所以 ON= 2 2y ，又因为 y2l， 所以 0N=2+y25 分 设ON的中点E，分别过点N、E向直线 1 l作垂线，垂足为P、F， 则 2 2 2 2 yNPOC EF， 所以ON=2EF， 即ON的中点到直线 1 l，的距离等于0N长度的一半， 所以以ON为直径的圆与

11、1 l相切7分 (3)过点M作MHNP交NP于点H，则MN 2= MH 2+ NH 2=( x2x1) 2+( y2y1)， 又y1=kx1,y2=kx2，所以（y2y1) 2= k 2(x 2x1) 2 所以MN 2=(1+ k 2)(x 2一xl) 2； 又因为点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，所以1 4 12 xkx，即x 2 4kx 4=0， 所以 2 2 122 2 16164 kk kk x ，所以 (x2x1)2=16(1+k2)， 所以MN 2=16(1+ k2)2，MN=4(1+k2) 9分 延长NP交 2 l于点Q，过点M作MS 2 l交 2 l于点S， 则MS+N

12、Q=y1+2+y2+2=2)( 4 1 41 4 1 1 4 12 2 2 1 2 2 2 1 xxxx 又x1 2+ x2 2=24 k 2+4(1+ k 2)=16 k 2+8，所以 MS+NQ=4k 2+2+2=4(1+ k 2)= MN 即M、N两点到 2 l距离之和等于线段MN的长ll分 说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数. 3、湖北省黄冈市2011 年中考数学试卷 考点 ：二次函数综合题。 专题 ：代数几何综合题。 分析：（1）把点 F 的坐标代入直线可以确定b 的值 （2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b 值，利用根与系数的关系可以求出

13、x1?x2 的值 （3）确定 M1， N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F 2，N 1F 2，M 1N1 2，然后 用勾股定理判断三角形的形状 （4）根据题意可知y=1 总与该圆相切 解答： 解： （1）直线 y=kx+b 过点 F（0，1） ， b=1 显 然 1 1 xx yy 和 2 2 xx yy 是 方 程 组 2 1 1 4 yk x yx 的 两 组 解 ， 解 方 程 组 消 元 得 21 10 4 xkx，依据“根与系数关系”得4xx 21 . M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下： 由题知 M1的横坐标为x1， N1的横坐标为x2， 设 M1N1交 y轴

14、于 F1， 则 F1M1?F1N1=x1?x2=4， 而 FF1=2， 所以 F1M1?F1N1=F1F2， 另有 M1F1F= FF1N1=90， 易证 Rt M1FF1 RtN1FF1， 得M1FF1= FN1F1，故 M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90，所以 M1FN1是直角三角形. 存在，该直线为y=1.理由如下： 直线 y=1 即为直线M1N1. 如图，设N 点横坐标为m，则 N 点纵坐标为 2 1 4 m,计算知 NN1= 2 1 1 4 m， NF= 222 1 (1) 4 mm 2 1 1 4 m，得 NN1=NF 同理 MM1=MF. 那么 MN=M

15、M 1 NN1， 作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ， 由中位线性质知PQ= 1 2 （ MM1NN 1）= 1 2 MN ，即圆心 到直线 y=1 的距离等于圆的半径，所以y=1 总与该 圆相切 . 点评： 本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点 F 的坐标求出b 的值 （2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值 （3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状. （4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置 4、2010年南通市中考试题（五中月考） 22 （本小题满分14 分） （1）因为当x=3 和x=3 时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0. 设直线AB的解析式

16、为y=kx+b ，把A（ 4，3） 、B（2，0）代入到yax 2 bxc，得 F M N N1M1F1 O y x l ?第 22 题解答用图 P Q .04 , 316 ca ca 解得 .1 , 4 1 c a 这条抛物线的解析式为y 4 1 x2-1. 设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（ 4，3） 、B（ 2，0）代入到y=kx+b，得 .02 , 34 bk bk 解得 .1 , 2 1 b k 这条直线的解析式为y- 2 1 x+1. （2）依题意，OA=. 543 22 即A的半径为5. 而圆心到直线l的距离为3+2=5. 即圆心到直线l的距离 = A的半径， 直线l与A相

17、切 . （3）由题意，把x=-1 代入y=- 2 1 x+1，得y= 3 2 ，即D（-1， 3 2 ）. 由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2 的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动 点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH直线l于H，交抛物线于点P，此时易 得DH是D点到l最短距离，点P坐标（ -1，- 3 4 ）此时四边形PDOC为梯形，面积为 17 8 . 略解过程如下： （以下过程是：证明当点D、P、H三点共线时，PDO的周长最小） 如图 1，过点 P 作 PHl，垂足为H，延长 HP交 x 轴于点 G ， 设 P（m,n）则1 4 12 myP， 22222222 )1 4

18、1 ()1 4 1 (mmmGPOGOP， 1 4 1 2 mOP 1 4 1 )2(1 4 122 mmyyPH HP OP=PH 要使PDO的周长最小，因为OD 是定值，所以只要OP+PD 最小， OP=PH 只要 PH+PD 最小 根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”可知，当点D、P、 H 三点共线时，PH+PD 最小， 因此，当点D、P、H三点共线时，PDO的周长最小。 5、 （2011-2012福州市九上期末考试题） 22. 解： （1）抛物线cbxaxy 2 的对称轴是y 轴, 0b . -1分 抛物线cbxaxy 2 经过点( 2,0)A、(0,1)B两点

19、 , 1 1, 4 ca,-3分 所求抛物线的解析式为 1 4 12 xy.-4分 （2）设点 P坐标为（p，1 4 12 p） ， 如图 ,过点P作PHl，垂足为H, 2PH（1 4 12 p）=1 4 12 p，-6分 OP 222 )1 4 1 (pp=1 4 1 2 p,-8分 OPPH. 直线l与以点P 为圆心 ,PO长为半径的圆相切. -9分 （3）如图 ,分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是 D、E、F.连接EG并延长交DP的延长线于点K, G是PQ的中点 , 易证得EQGKPG， EQPK，-11分 由 (2) 知抛物线1 4 1 2 xy上任意一点到原点O的距 离等于该点

20、到直线:2ly的距离 , 即,EQOQ DPOP，- 12分 111 ()() 222 FGDKDPPKDPEQ 1 () 2 OPOQ，-13 分 只有当点P、Q、O三点共线时，线段PQ的中点G到直线l的距离GF最小 . 9PQ, GF4.5 ，即点G到直线l距离的最小值是4.5.- 14分 （若用梯形中位线定理求解扣1 分） 6、 （2012四川资阳9 分） 【答案】 解： （1） 2 211 y=x +x+m=x+2+ m1 44 ，顶点坐 标 为 ( 2 , m1) 。 顶 点 在 直 线y= x + 3上 ， 2+3=m1，解得m=2。 （2）点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，点N

21、 的纵坐标为 2 1 a +a+2 4 ，即点N(a, 2 1 a +a+2 4 )。过点F作 FCNB于点C，在RtFCN中，FC=a+2，NC=NB CB= 21 a +a 4 , 222222 1 NFNCFC aaa2 4 （） （） 222 1 aaa4a4 4 （） （）。 而 22222211 NBaa2aaa4a4 44 （） （） （）， NF2=NB 2， NF=NB。 （3）连接AF、BF，由NF=NB，得NFB= NBF， 由（ 2）的结论知，MF=MA，MAF= MFA。 MAx轴，NBx轴， MANB。AMF+BNF=180 。 MAF和 NFB的内角总 和为360， 2MAF+2NBF=180 ， MAF+NBF=90。 MAB+NBA=180 ，FBA+FAB=90。 又FAB+MAF=90，FBA=MAF=MFA。 又FPA=BPF，PFAPBF。 PFPB PAPF ，PF 2= PAPB 100 9 。过点F作FGx轴于点G。 在RtPFG中， 222 1008 PGPFFG2 93 ， PO=PG+GO= 14 3 。 P( 14 3 , 0) 。