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1、For personal use only in study and research; not for commercial use 有理数混合运算的方法技巧 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： 从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键。 例 1：计算： 3502 2( 5 1 ) 1 从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号 里的。 例 2：计算： 2 32 3 1 5.011 从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。 例 3：计算： 3 8 8 7 12 7 8 7 4 3
2、1 二、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按 正负数分类， 分别统一计算， 或把带分数的整数、 分数部分拆开， 分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出 来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的 重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别 进行运算。如何分段呢 ?主要有： (1) 运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方， 其中加减
3、为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低 级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然 后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和。 把算式进行分段， 关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法， 分清 运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是 进行有理数混合运算行之有效的方法。 (2)括号分段法， 有括号的应先算括号里面的。 在实施时可同时分别对括号内 外的算式进行运算。 (3) 绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用， 从运算顺序的角度来说， 先计算绝对值符号里面的
4、， 因此绝对值符号也可以把算 式分成几段，同时进行计算。 (4) 分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运 算。 例 2 计算： -0.25 2(1 2 ) 4-(-1)101(-2)2(-3)2 说明：本题以加号、 减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果 再相加。 三、掌握运算技巧 （1） 、归类组合： 将不同类数 ( 如分母相同或易于通分的数) 分别组合； 将同类数 ( 如正数或负数 ) 归类计算。 （2） 、凑整：将相加可得整数的数凑整， 将相加得零的数 （如互为相反数） 相消。 （3） 、分解：将一个数分解成几个数和的形式, 或分解为它的因数相乘的形
5、式。 （4） 、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5） 、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序, 简化计算。 例计算 2+4+6+ +2000 （6） 、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。 乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算而反过来，ab+ac=a(b+c) 同样成立，有时逆用也可使运算简便。 例 3 计算： (1) -32 16 25 (- 84)+2.5 2+(1 2 + 2 3 3 4 11 12 )24 (2)(3 2 )( 11 15 ) 3 2 ( 13 15 ) 3 2 ( 14 15 ) 四、理解转化的思想方法 有理数运算的实质是确
6、定符号和绝对值的问题。因此在运算时应把握“遇减 化加遇除变乘，乘方化乘” ，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时 也有助于学生抓住数学内在的本质问题。把我们所学的有理数运算概括起来。可 归纳为三个转化： 一个是通过绝对值将加法、 乘法在先确定符号的前提下， 转化为小学里学的算术 数的加法、乘法； 二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法； 三是将乘方运算转化为积的形式。 若掌握了有理数的符号法则和转化手段， 有理数的运算就能准确、 快速地解决了。 例计算： （1） (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9) (2) (-2 1 2 ) 1 1 4 (-4) (3) 2
7、2+(2-5) 1 3 1-(-5) 2 六、会用三个概念的性质 如果 a，b 互为相反数，那么a+b=O ，a=-b； 如果 c，d 互为倒数，那么 cd=l ，c=1/d ； 如果|x|=a(a 0)，那么 x=a 或-a。 例 6 已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于2，试求 x 2-(a+b+cd)x+(a+b)2000+(-cd)2001 的值。 有理数的混合运算典型例题 例 1 计算：。 分析：此算式以加、减分段 , 应分为三段： , , 。 这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除式中0.2 化为参加计算 较为方便。 解：原式 说明：做有理数混合运算
8、时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么计算 时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进 行计算，有利于提高计算的速度和正确率。 例 2 计算：。 分析：此题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第 三步做乘方运算；第四步做除法。 解：原式 说明：由此例题可以看出， 括号在确定运算顺序上的作用，所以计算题也需 认真审题。 例 3 计算： 分析：要求、的值，用笔算在短时间内是不可能的，必须 另辟途径。 观察题目发现，逆用乘法分配律， 前三项可以凑成含有0 的乘法运算，此题即可求出。 解：原式 说明：“ 0”乘以任何数等于0。因为运用这一结论必能简化数的计算，所 以运
9、算中，能够凑成含“0”因数时，一般都凑成含有0 的因数进行计算。当算 式中的数字很大或很繁杂时，要注意使用这种“凑0 法”。 例 4 计算 分析：是的倒数，应当先把它化成分数后再求倒数；右边 两项含绝对值号，应当先计算出绝对值的算式的结果再求绝对值。 解：原式 说明：对于有理数的混合运算， 一定要按运算顺序进行运算， 注意不要跳步， 每一步的运算结果都应在算式中体现出来，此题(1) 要注意区别小括号与绝对值 的运算；(2) 要熟练掌握乘方运算，注意(-0.1) 3，-0.22 ，(-2) 3，-32 在意义上的 不同。 例 5 计算：。 分析：含有括号的混合运算，一般按小、中、大括号的顺序进行
10、运算，括号 里面仍然是先进行第三级运算，再进行第二级运算，最后进行第一级运算。 解：原式 例 6 计算 解法一：原式 解法二：原式 说明：加减混合运算时， 带分数可以化为假分数， 也可把带分数的整数部分 与分数部分分别加减，这是因为带分数是一个整数和一个分数的和。 例如： 有理数的混合运算习题精选 一、选择题 1若，则有 ( ) 。 A B C D 2已知，当时，当时，的值 是( ) 。 A B44 C28 D 17 3如果，那么的值为 ( ) 。 A0 B4 C4 D2 4代数式取最小值时，值为( ) 。 A B C D无法确定 5六个整数的积（修改为 -36），互 不相等，则 ( ) 。
11、A0 B4 C 6 D 8 6计算所得结果为 ( ) 。 A2 B C D 二、填空题 1有理数混合运算的顺序是_ 。 2已知为有理数，则 _0， _0， _0。（填 “”、“”或“”） 3平方得 16 的有理数是 _，_ 的立方等于 8。 4 _。 5一个负数减去它的相反数后，再除以这个负数的绝对值，所得商为 _。 三、判断题 1若为任意有理数，则。( ) 2。( ) 3。( ) 4。( ) 5。( ) 四、解答题 1计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）。 2若有理数、满足等式，试求 的值。 3 当，时，求代数式 的值。 4已知如图 2
12、-11-1 ，横行和竖列的和相等，试求的值。 5求的值。 6计算。 计算： 有理数的混合运算参考答案： 一、1C 2 C 3 C 4 B 5 A 6 B 二、1略； 2，； 3，；41；5。 三、1 2 345 四、1（1）（2）（3）（4）（5）30（6）（7） （8）； 2 ，； 3 ; 4， ; 5设，则， ; 6原式。 答案 一、选择 1、D 2、D 3、B 4、D 5、A 6、 B 7、A 8、C 二、填空 9、2055 10、0 11、24 12、 9 7 13、 37 14、 50 15、26 16、9 ， 1。 三、解答 17、 4 3 ，1/3 ，13 ，3 ，21 /16
13、，0 ，48，0。 18、 10 ， 4。 19、 a、b 互为相反数， a+b=0；m、n 互为倒数， mn=1；x 的 绝对值为2，x= 2， 当 x=2 时，原式 =2+02=4；当 x=2 时，原式 =2+0+2=0。 20、 （1） 、 53+108 6+1210=0 机器人最后回到原点O， （2） 、12 （3） 、5+3+10+8+6+12+10=54，机器人可得到54 粒芝麻。 有理数混合运算练习题 一、填空题： 1某天上午的温度是 5，中午又上升了 3，下午由于冷空气南下，到夜间又 下降了 9，则这天夜间的温度是。 2气温上升记作正，那么上升5的意思是。 35.7 的相反数与
14、 7.1 的绝对值的和是。 4已知 m是 6 的相反数，n比m的相反数小 2，则mn等于 。 5已知 |a+2|+|b-3|=0,则= 。 6. 计算| -3.14|-的结果是。 7在-7 与 37 之间插入三个数，使这5 个数中每相邻两个数之间的距离相等， 则这三个数的和是。 8、绝对值小于3 的所有整数有。 9、观察下列数：1，2， 3，4，5， 6， 7，8， 9则前 12 项的和为。 10、某冷库的温度是零下24，下降6 后，又下降3，则两次变化后的温度 是。 11、将有理数 11 12 ， 12 11 ， 13 14 ， 13 12 由小到大的顺序排列正确的顺序是。 12、计算：（
15、5） 4，0（ 10.6）= ， （ 1.5）（ 3）= 13、互为相反数的两个数的和等于。 14、红星队在4 场足球比赛中的战顷是：第一场3：1 胜，第二场2：3 负，第三场0：0 平， 第四场 2：5 负，红星队在4 场比赛中总的净胜数是。 15、写出一个其结果为2005 的加减混合运算式。 16、数轴的三要素有原点、正方向和。 17、在数轴上表示2 和 3 的两点的距离是。 18、在有理数中最大的负整数是，最小的非负数。 19、 7/3 的相反数是，0 的相反数是。 20、大于 3 而不大于2 的整数是。 21、的绝对值等于5；绝对值等于本身的数有。 22、化简：2/3= ，（ 2） =
16、 。 23、用适当的数填空： （1）9.5+_=18； （2）_（+5.5）=5.5； （3） 4 1 _) 4 3 (； （4）99.0_1.0 。 24、从 5 中减去 1，3，2 的和，所得的差是 _。 25、利用加法的运算律，将 6 5 1 2 1 6 5 2 1 2写成_，可使运算简便。 4、从 5 2 3与 5 3 5的和中减去 15 4 1所得的差是 _。 26、数轴上从左至右顺次有A、B、C三点，如果它们所表示的数的和为零，则其 中表示负数的点可能是点_。 27、如果0ba，那么ba,的关系为 _。 二选择： 1、下列说法错误的是（） 。 A、 8 是（ 8）的相反数B、 8
17、与（ 8）互为相反数 C、（ 8）与（ 8）互为相反数D、（ 8）与（ 8）互为相反数 2、下列说法中，正确的是（） 。 A、两个正数相加和为正数B、两个负数相加，等于绝对值相减 C、两个数相加，等于它们绝对值相加D、正数加负数，其和一定不为0 3、把（ 12）（ 8）（ 3）（ 4）写成省略括号的和的形式应为（） 。 A、 12834 B、 12834 C、 1283 4 D、12834 4、甲、乙、丙三地的海拔高度分别是20 米、 15 米和 10 米，那么最高的地方比最低的 地方高（） 。 A、25 米B、 10 米C、 5 米D、35 米 5、如果 x 的相反数的绝对值为 3 5 ，则
18、 x 的值为（） 。 A、 3 5 B、 3 5 C、 3 5 D、 5 3 6、有理数a、b 在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（） 。 A、-a b a b B、a b b a C、-b a a b D、a b b a 7、如果 a 4 1 ，b 2, c 2 4 3 ，那么 a+ b c等于（） 。 A、 2 1 B、1 2 1 C、 2 1 D、 1 2 1 8、若 x3 4，则 x 的值为（） 。 A、x7 B、x 1 C、 x7 或 x 1 D、以上都不对 9、 校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20 米，书店在家北 边 100 米，张明同学从家里出发，
19、向北走了50 米，接着又向北走了70 米，此时张明的位 置在（） 。 A. 在家B. 在学校C. 在书店D. 不在上述地方 10、火车票上的车次号有两个意义,一是数字越小表示车速越快,198 次为特快列车 ,101 198 次为直快列车,301398 次为普快列车 ,401498 次为普客列车； 二是单数与双数表示不 同的行驶方向,其中单数表示从北京开出,双数表示开往北京,根据以上规定,杭州开往北京的 某一直快列车的车次号可能是( )。 a 0 b (A) 20 (B) 119 (C) 120 (D) 319 11、甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛,每人轮流跳一次称为一轮,每轮按名次从高到低
20、 分别得 3 分、 2 分、 1 分 (没有并列名次),他们一共进行了五轮比赛,结果甲共得14 分；乙第 一轮得 3 分,第二轮得1 分,且总分最低 .那么丙得到的分数是( )。 12、下列说法中正确的是（） 。 A 有最小的自然数，也有最小的整数。B 没有最小的正数，但有最小的正整数。 C 没有最小的负数，但有最小的正数D 0 是最小的整数。 13、下列判断不正确的是（） 。 A 一个正数的绝对值一定是正数。B 一个负数的绝对值等于它的相反数，即是正数。 C 任何有理数的绝对值都不是负数。D 任何有理数的绝对值都是正数。 14、下列两个数互为相反数的是（） 。 A 1/8 与 0.8 B 1
21、/3 与 0.33 C 6 与（ 6）D 3.14 与 15、下列交换加数的位置的变形中，正确的是（） A、14541445B、 13111311 34644436 C、12342143D、 4.51.72.51.84.52.51.81.7 16、 下列计算结果中等于3 的是（） 。 A. 74 B. 74 C. 74 D. 74 17、下列说法正确的是（） 。 A. 两个数之差一定小于被减数B. 减去一个负数，差一定大于被减数 C. 减去一个正数，差一定大于被减数D. 0 减去任何数，差都是负数 18、下面说法正确的是（） 。 A、两数之和不可能小于其中的一个加数 B、两数相加就是它们的绝对
22、值相加 C、两个负数相加，和取负号，绝对值相减 D、不是互为相反数的两个数，相加不能得零 19、 如果 baba ，那么（） 。 A、 0b B、 0b C、 0a D、无法确定 b的取值 20、下列等式正确的是（） 。 A、 0aa B、 0aa C、 0aa D、 0aa 21、已知 7,5 ba ，且 baba ，则 ba 的值为（） 。 A、 12 B、 2 C、 2 或 12 D、2 22、已知有理数 cba, 在数轴上的位置如图，则下列结论错误的是（） 。 A、 0ac B、 0cb C、 0cba D、 baba 23、数轴上的点A 和点 B 所表示的数互为相反数，且点A 对应的
23、数是 2，P 是到点 A 或点 B 距离为 3 的数轴上的点，则所有满足条件的点P 所表示的数的和为（） 。 A、0 B、6 C、10 D、16 三、解答题 1、 计算（每小题8 分，共 32 分） （1）16（ 25） 24（ 35）（2） （ 20）（ 3）（ 5）（ 1） （3） 2.43.5 4.63.5 （4） 1 2 1 （ 2 6 5 ）（ 0.5） 3 6 1 (5) 0.5（ 3 4 1 ） 2.75（ 7 2 1 ）(6) 7121 4326 9696 (7) 341 87.5213 772 (8) 232 3211.75 343 2、 (10 分)某人用 400 元购买了
24、8 套儿童服装，准备以一定的价格出售，如果以每套55 元 的价格 为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元） +2， 3， +2，+1， 2， 1，0， 2 （1）当他卖完这8 套服装后是盈利还是亏损？ （2）盈利（或亏损）了多少钱？ 3、 （ 10 分）已知x1 y +1=0 ，求下列各式的值： （1） x( y 1 ) (2) x ( y) 4、某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自O地出发到收工 时所走路线（单位：千米）为：+10、 -3 、+4、+2、-8 、+13、 -2、+12、+8、+5 （1）问收工时距O地多远？ （2）若每千米耗油0.
25、2 升，从 O地出发到收工时共耗油多少升？ 5、某商场老板对今年上半年每月的利润作了如下记录：1、2、5、6 月盈利分别 是 13 万元、 12 万元、 12.5 万元、 10 万元， 3、4 月亏损分别是 0.7 万元和 0.8 万元。试用正、负数表示各月的利润， 并算出该商场上半年的总利润额。 3、 （选作题： 15 分）阅读观察下列解题过程： 例：计算 10099 1 9998 1 43 1 32 1 21 1 有理数的混合运算习题 一选择题 1.计算 3 ( 25)（） 。 A.1000 B.1000 C.30 D.30 2.计算 22 2 3( 2 3 )( )。 A.0 B.54
26、C.72 D.18 3.计算 11 ( 5)()5 55 （） 。 A.1 B.25 C.5 D.35 4.下列式子中正确的是（） 。 A. 423 2( 2)( 2)B. 342 ( 2)2( 2) C. 432 2( 2)( 2)D. 234 ( 2)( 3)2 5. 42 2( 2)的结果是（） 。 A.4 B.4 C.2 D.2 6.如果 2 10,(3)0ab，那么1 b a 的值是（） 。 A.2 B.3 C.4 D.4 二.填空题 1.有理数的运算顺序是先算，再算，最后算；如果有括号，那 么先算。 2.一个数的101 次幂是负数，则这个数是。 3.7.20.95.61.7。 4.
27、 23 2( 1)。5. 67 ()()5 1313 。 6. 211 ()1 722 。7. 737 ()() 848 。 8. 21 ( 50)() 510 。 三.计算题、 2 ( 3)2 12411 ()()() 23523 11 ( 1.5)42.75( 5) 42 8( 5)63 31 45 () 2 25 ()()( 4.9)0.6 56 2 2 ( 10)5() 5 32 3 ( 5)() 5 2 5(6 )(4 )(8 ) 161 2()(2) 472 2 ( 16503)( 2) 5 32 ( 6) 8( 2)( 4)5 21122 ()(2 ) 2233 19971 1(
28、10.5) 3 2232 3()2 23 421 1(10.5)2( 3) 3 4 ( 81)( 2.25)()16 9 232 ()(1)0 43 21 5 4(10.2)( 2) 5 666 ( 5)( 3)( 7)( 3 )12( 3) 777 235 ()( 4)0.25( 5)( 4) 8 23122 ( 3)(1 )6 293 2 1 3 4 4 3 8 1 1 12 5 )5 .2()2.7()8( 6 .190)1. 8(8. 77) 4 1 2( 5 4 ) 7 2 1(5 ) 25 1 (4)5(25.03) 4 1 1() 2 1 3() 5 3 ( 2) 2 1 ( 2
29、 1 4 四、 1、已知,032yx求xyyx4 3 5 2 1 2的值。 2、若 a,b 互为相反数， c,d 互为倒数， m 的绝对值是1，求mcdba2009)(的值。 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f r den pers?nlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l tude et la recherche un
30、iquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f r den pers?nlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文