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1、1 二、计算题 1. 从 1, 2, 3, 15中,甲、 乙两人各任取一数(不重 复),已知甲取到的数是5 的倍数 ,求甲数大于乙数的 概率. 解.设事件 A 表示“甲取到的数比乙大”, 设事件 B 表示“甲取到的数是5 的倍数” . 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 而 P(B)=3/15=1/5 , , P(A|B)=9/14. 2. 掷三颗骰子 ,已知所得三个数都不一 样,求含有 1 点的概率 . 解.设事件 A 表示 “掷出含有 1 的点数”, 设事件 B 表示“掷出的三个点 数都不一样”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 , , P(A|B)=1/2. 3.
2、 袋中有一个白球和一个黑球,一次 次地从袋中摸球 ,如果取出白球 ,则除 把白球放回外再加进一个白球,直至 取出黑球为止 ,求取了 N 次都没有取 1 解.设事件 Ai表示“第 i 次取到白球” . (i=1,2,N) 则根据题意 P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 2 到黑球的概率 . 由乘法公式可知 : P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4 . 由数学归纳法可以知道 P(A1A2 AN)=1/(N+1). 4. 甲袋中有 5只白球 , 7 只红球 ;乙袋中有
3、 4 只白球 , 2 只红球 .从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的 球是白球的概率 . 解. 设事件 A 表示“取到的是甲 袋”, 则表示“取到的是乙 袋”, 事件 B 表示“最后取到的是 白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. . 5. 有甲、乙两袋 ,甲袋中有 3 只白 球,2 只黑球 ;乙袋中有 4 只白球 ,4 只黑球 .现从甲袋中任取2个球放 入乙袋 ,然后再从乙袋中任取一 球,求此球为白球的概率. 解. 设事件 Ai表示“ 从甲袋取的 2个球中有 i 个白球 ” ,其中 i=0,1,2 . 事件 B 表示“从乙袋中取到的
4、是白 球”. 显然 A0, A1, A2构成一完备事件组 , 且根据题 意 3 P(A0)=1/10 , P( A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ; P( B| A0)=2/5 , P( B| A1)=1/2 , P(B| A2)=3/5 ; 由全概率公式 P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A 2)P(A2) =2/51/10+1/23/5+3/5 3/10=13/25. 6. 袋中装有编号为1, 2, N 的 N 个球,先 从袋中任取一球 ,如该球不是1 号球就放回 袋中,是 1号球就不放回 ,然后再摸一次 ,求取 到 2 号球的概率 . 解. 设
5、事件 A 表示“第一次取到的 是 1 号球”, 则表示“第一次取 到的是非 1 号球”; 事件 B表示“最后取到的是 2 号球”. 显 然P(A)=1/N, , 且P(B|A)=1/(N-1), ; =1/(N-1)1/N+1/N (N-1)/N =(N 2-N+1)/N2(N-1). 7. 袋中装有8 只红球, 2解. 设事件 A1表示“第一次取到的是红球”, 4 只黑球 ,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下 列事件的概率 . (1)取出的两只球都 是红球 ; (2)取出的两只球都 是黑球 ; (3)取出的两只球一 只是红球 ,一只是黑球 ; (4)第二次取出的是 红球. 设事件
6、 A2表示“第二次取到的是红 球”. (1)要求的是事件 A1A2的概率 . 根据题意P(A1)=4/5, , P(A2|A1)=7/9, P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5 7/9=28/45. (2)要求的是事件的概率. 根据题意 : , , . (3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括 两种情形 ,即求事件的概率 . , , , . (4)要求第二次取出红球 ,即求事件 A2的概 率. 由全概率公式: 5 =7/9 4/5+8/9 1/5=4/5. 8. 某射击小组共 有 20 名射手 ,其中 一级射手 4 人, 二 级射手 8人, 三级 射手 7 人, 四级射 手 1
7、 人. 一、二、 三、四级射手能通 过选拔进入比赛 的概率分别是 0.9、0.7、 0.5、0.2 . 求任选一名射手 能通过选拔进入 比赛的概率 . 解. 设事件 A 表示“射手能通过选拔进入比赛”, 设事件 Bi表示“ 射手是第 i 级射手” .(i=1,2,3,4) 显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组 ,且 P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20; P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2. 由全概率公式得到 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(
8、B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B 4)P(B4) =0.94/20+0.78/20+0.57/20+0.2 1/20=0.645. 9. 轰炸机轰炸某目标,它能飞到 距目标 400、200、100(米)的概率 分别是 0.5、0.3、0.2,又设它在距 目标 400、200、100(米)时的命中 率分别是 0.01、0.02、0.1 .求目标 被命中的概率为多少? 解. 设事件 A1表示“飞机能飞到距目标400 米处”, 设事件 A2表示“飞机能飞到距目 标 200米处” , 设事件 A3表示“飞机能飞到距目 标 100米处” , 用事件 B 表示“目标被击中”. 由题意 , P(
9、A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2, 且 A1、A2、A3构成一完备事件组 . 又已知 P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1. 由全概率公式得到: P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A 3)P(A3) =0.01 0.5+0.02 0.3+0.1 0.2=0.0 31. 6 10. 加工某一零件共需要4道工序 ,设第 一第二第三第四道工序的次品率 分别为 2353, 假定各道 工序的加工互不影响, 求加工出零件的 次品率是多少 ? 解. 设事件 Ai表示“第 i 道工序出次 品”, i=1,2
10、,3,4 因为各道工序的加工互不影响, 因此 Ai是相互独立的事件 . P(A1)=0.02, P(A2)=0.03, P(A3)=0.05, P(A4)=0.03, 只要任一道工序出次品 ,则加工 出来的零件就是次品 .所以要求的是 (A1+A2+A3+A4)这个事件的概率 . 为了运算简便 ,我们求其对立事 件的概率 =(1 -0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876. P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124. 11. 某人过去射击的成绩 是每射 5 次总有 4 次命中 目标, 根据这一成绩 , 求 (1)射击三次皆中目 标的概率 ; (2)
11、射击三次有且只 有 2 次命中目标的概率; (3)射击三次至少有 二次命中目标的概率. 解. 设事件 Ai表示“第 i 次命中目标” , i=1,2,3 根据已知条件 P(Ai)=0.8,i=1,2,3 某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事 件 Ai是相互独立的. (1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3). 由独立性 : P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.83=0.512. (2)“射击三次有且只有2 次命中目标”这个 事件用 B 表示. 7 显然, 又根据独立性得到 : . (3)“射击三次至少有 2 次命中目标”这个事 件用 C 表示. 至少有 2
12、次命中目标包括 2 次和 3 次命中目标 ,所以 C=B+A1A2A3 P(C)=P(B)+P(A1A2A3)=0.384+0.512=0.896. 12. 三人独立译某一密 码, 他们能译出的概率 分别为 1/3, 1/4, 1/5, 求 能将密码译出的概率. 解. 设事件 Ai表示“第 i 人能译出密码” , i=1,2,3. 由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最 后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译 出,因此所求的概率为P(A1+A2+A3). 已知 P(A1)=1/3, P(A2)=1/4, P(A3)=1/5, 而 =(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4
13、. P(A1+A2+A3)=1-0.4=0.6. 13. 用一门大 炮对某目标进 行三次独立射 击, 第一、二、 三次的命中率 分别为 0.4、 0.5、0.7, 若命 中此目标一、 二、 三弹 , 该目 标被摧毁的概 率分别为 0.2、 0.6和 0.8, 试 求此目标被摧 解. 设事件 Ai表示“第 i 次命中目标” , i=1,2,3. 设事件 Bi表示“目标被命中i 弹”, i=0,1,2,3. 设事件 C 表示“目标被摧毁”. 由已知 P (A1)=0.4, P(A2)=0.5, P(A3)=0.7; P(C|B0)=0, P(C|B1)=0.2, P(C|B2)=0.6, P(C|B3)=0.8. 又由于三次射击是相互独立的, 所以 , 8 毁的概率 . =0.6 0.5 0.7+0.6 0.5 0.3+0.4 0.5 0.3=0 .36, =0.6 0.5 0.7+0.4 0.5 0.3+0.4 0.5 0.7 =0.41, . 由全概率公式得到 P( C)=P(C| B0) P(B0)+P( C| B1) P(B1)+P( C| B2) P(B2)+P( C | B3) P( B3) =0 0.09+0.2 0.36+0.6 0.41+0.8 0.14=0.43.