正方形中的45度角[1].pdf

《正方形中的45度角[1].pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正方形中的45度角[1].pdf（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 正方形中的 45 度角 5. （2012 江苏宿迁12 分） (1) 如图 1，在 ABC中， BA=BC ，D，E是 AC边上的两点，且满 足DBE=1 2 ABC(0 CBE 1 2 ABC) 。以点 B为旋转中心， 将BEC按逆时针方向旋转 ABC ，得到 BE A（点C与点 A重合，点 E到点 E处） ，连接 DE 。求证： DE =DE. （2）如图 2，在 ABC中， BA=BC ，ABC=90 ， D，E是 AC边上的两点， 且满足 DBE=1 2 ABC(0 CBE 45). 求证：DE 2=AD2+EC2. 【答案】 证明： （1） BE A是BEC按逆时针方向旋转 AB

2、C 得到， BE =BE ，EBA= EBC 。 DBE=1 2 ABC ， ABD EBC = 1 2 ABC 。 ABD EBA = 1 2 ABC ，即EBD= 1 2 ABC 。EBD= DBE 。 在EBD 和EBD中， BE =BE ，EBD= DBE ，BD=BD ， EBD EBD （ SAS ） 。DE =DE 。 （2）以点 B为旋转中心，将 BEC 按逆时针方向旋转 ABC=90 ， 得到 BE A （点 C与点 A重合， 点 E到点 E处），连 接 DE 。 由（ 1）知 DE =DE 。 由旋转的性质，知EA=EC ，E AB=ECB 。 又BA=BC ， ABC=9

3、0 ， BAC= ACB=45 。 E AD=E ABBAC=90 。 在 RtDE A中，DE 2=AD2+EA2，DE2=AD2+EC2。 【考点】 旋转的性质，等腰（直角）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）由旋转的性质易得BE =BE ，EBA= EBC ，由已知 DBE= 1 2 ABC 经等量 代换可得 EBD= DBE ，从而可由SAS得EBD EBD ，得到DE =DE 。 （2）由（ 1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DE A，根据 勾股定理即可证得结论。 2. （2012 宁夏区 8分） 正方形 ABCD 的边长为3， E、 F

4、 分别是 AB 、 BC边上的点 , 且EDF=45 。 将DAE绕点 D逆时针旋转90，得到 DCM 。 2 （1）求证： EF=FM （2）当 AE=1时，求 EF的长。 【答案】解： (1) 证明： DAE逆时针旋转90得到 DCM ， DE=DM ， EDM =90。 EDF + FDM =90。 EDF =45， FDM = EDF =45。 DF= DF ， DEF DMF （SAS ） 。 EF=MF 。 （2）设 EF=x 。 AE=CM=1 ， BF=BM MF=BM EF=4x 。 EB=2，在RtEBF中，由勾股定理得 222 EBBFEF，即 222 2(4x)x 解得

5、， 5 x 2 。 EF的长为 5 2 。 【考点】 正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理， 【分析】（1）由旋转可得DE=DM ，EDM 为直角，可得出 EDF+ MDF=90 ，由 EDF=45 ， 得到 MDF为 45，可得出 EDF= MDF ，再由DF=DF ，利用 SAS可得出三角形DEF与三角 形 MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF 。 （2）由（ 1）的全等得到AE=CM=1 ，正方形的边长为3，用 ABAE求出 EB的长， 再由 BC+CM 求出 BM的长， 设 EF=MF=x ，可得出 BF=BM FM=BM EF=4 x，在 RtE

6、 BF中， 利 用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为EF的长。 3. （2012 广东珠海7 分）如图，把正方形ABCD 绕点 C按顺时针方向旋转45得到正方 形 ABCD （此时，点B落在对角线AC上，点 A落在 CD的延长线上），AB交 AD 于点 E，连接 AA 、 CE 求证： （1）ADA CDE ； （2）直线 CE是线段 AA 的垂直平分线 3 【答案】 证明： （1）四边形ABCD 是正方形， AD=CD ，ADC=90 。 ADE=90 。 根据旋转的方法可得：EA D=45 ， AED=45 。 AD=DE 。 在 AD A 和 CDE 中， AD=

7、CD ，EDC= ADA=90 ，AD=DE ， ADA CDE （ SAS ） 。 （2）AC=A C，点C在 AA 的垂直平分线上。 AC是正方形ABCD 的对角线， CAE=45 。 AC=A C，CD=CB ， AB =AD。 在 AEB 和 AED 中， EAB =EA D，AEB =AED ， AB =AD， AEB AED （ AAS ） 。AE=A E。 点 E也在 AA 的垂直平分线上。 直线 CE是线段 AA 的垂直平分线。 【考点】 正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，线段 垂直平分线的判定。 【分析】 （1）根据正方形的性质可得AD=CD

8、 ，ADC=90 ， EA D=45 ， 则ADE=90 ， 再计算出 AED=45 ，根据等角对等边可得AD=ED ，即可利用SAS证明 AA DCED 。 （2）首先由 AC=A C， 可得点 C在 AA 的垂直平分线上；再证明 AEB AED ， 可得 AE=A E，从而得到点E也在 AA 的垂直平分线上，根据两点确定一条直线可得直线 CE是线段 AA 的垂直平分线。 （2011 湖北咸宁， 22，10 分） （1）如图，在正方形ABCD 中， AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求 EAF的度数 （2）如图，在RtABD 中，90BAD，ADA

9、B，点 M， N 是 BD 边上的任意 两点，且45MAN，将 ABM 绕点 A 逆时针旋转90至 ADH 位置，连接NH，试判 断 MN， ND，DH 之间的数量关系，并说明理由 4 （3）在图中，连接BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，若4EG， 6GF，23BM，求 AG，MN 的长 【答案】（1）在 RtABE 和 RtAGE 中，AGAB， AEAE ， ABE AGEGAEBAE 1 分 同理，DAFGAF 45 2 1 BADEAF 2 分 （2） 222 DHNDMN 3 分 DAHBAM ，45DANBAM， 45DANDAHHANMANHAN 又AHAM，ANAN， A

10、MN AHNHNMN 5 分 90BAD，ADAB， 45ADBABD90ADBHDAHDN 222 DHNDNH 222 DHNDMN 6 分 （3）由（ 1）知，EGBE，FGDF 设xAG，则4xCE，6xCF 222 EFCFCE， 222 10)6()4(xx 解这个方程，得12 1 x，2 2 x（舍去负根 ） 12AG 8 分 2122 222 AGADABBD 在（ 2）中， 222 DHNDMN，DHBM， 222 BMNDMN 9 分 设aMN，则 222 )23()23212(aa 25a即25MN 10 分 【思路分析】 （1）根据正方形的每个内角是直角，利用“HL ”

11、证明 ABE AGE ， AFG AFD, 从而得出 1 2 EAFBAD； （ 2）利用旋转过程前后的两个图形全等，得 到对应边、对应角相等，从而为证明AMN AHN 做好了足够铺垫.将线段 MN 的长转移 为 HN 的长，从而将三条线段集中于Rt HDN中. （ 3）利用（ 1）的结论求出AG的长，进 A B C F D E G （图） A D B M N H （图） A B C F D E G （图） M N 5 而得出 BD的长 . 利用（ 2）的结论求出MN的长 . 【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三 角形的内角和问题、四边形的内角和问题、

12、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平 分夹角问题、 邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、 正方形的内角问题.（ 2） 当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等；（ 3）平移、旋转、轴对称对应 了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（3）如果一个题目有 三个问号， 前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要 解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间. 【易错点分析】因为找不到HDN=9 0而无法判断三条线段的关系.第（ 3）问不能很 好的与第（ 2）问发生对接，使线段MN的长计算受阻 . 【关键词】正方形、等腰直角三角

13、形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理 【推荐指数】 【题型】常规题，新题，好题，难题操作题，阅读题，压轴题 （2012 山东东营10 分） （1）如图 1，在正方形ABCD 中，E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点， 且 DF BE求 证： CECF； （2）如图 2，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， G 是 AD 上一点，如果GCE45 ， 请你利用（ 1）的结论证明：GEBEGD （3）运用（ 1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3，在直角梯形ABCD 中， ADBC（BCAD） ， B90 ，ABBC，E 是 AB 上一点，且 DCE

14、45 ，BE4， DE=10, 求直角梯形ABCD 的面积 【答案】 解： （1）证明：在正方形ABCD 中， BCCD， B CDF，BEDF ， CBE CDF（SAS） 。 CECF。 （2）证明： 如图，延长 AD 至 F，使 DF=BE连接 CF。 由（ 1）知 CBE CDF ， BCE DCF 。 BCE ECD DCF ECD， 6 即 ECF BCD90 。 又 GCE45 ， GCF GCE45 。 CECF， GCE GCF，GCGC， ECG FCG （SAS） 。 GEGF， GEDF GDBEGD。 （ 3）如图，过C 作 CGAD，交 AD 延长线于 G 在直角梯

15、形ABCD 中，ADBC， A B90 。 又 CGA90 ，ABBC， 四边形ABCD 为正方形。AGBC。 已知 DCE45 ， 根据（ 1） （2）可知， EDBEDG。 10=4+DG，即 DG=6。 设 ABx，则 AEx4，ADx6， 在 RtAED 中， DE 2=AD2AE2，即 102=（x6）2（ x4）2。 解这个方程，得：x=12 或 x=2（舍去）。 AB=12。 ABCD 11 SADBCAB61212108 22 梯形 （）（）。 梯形 ABCD 的面积为108。 【考点】 正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。 【分析】（1）由四边形是ABC

16、D 正方形，易证得CBE CDF （ SAS ） ，即可得CE=CF。 （2）延长 AD 至 F，使 DF =BE，连接 CF，由（ 1）知 CBE CDF ，易证得 ECF=BCD=90 ，又由 GCE=45 ，可得 GCF= GCE=45 ，即可证得ECG FCG， 从而可得GE=BE+GD。 （3）过 C 作 CGAD，交 AD 延长线于G， 易证得四边形ABCG 为正方形， 由（ 1） （2）可知， ED=BE+DG，即可求得DG 的长，设AB=x，在 RtAED 中，由勾股定理 DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB 的长，从而求得直角梯形ABCD 的面积。 23 （2

17、010 年南充市）如图，ABC 内接于 O，ADBC，OEBC， OE 1 2 BC （1）求 BAC 的度数 （2）将 ACD 沿 AC 折叠为 ACF，将 ABD 沿 AB 折叠为 ABG，延长 FC 和 GB 相交于 点 H求证：四边形AFHG 是正方形 7 （3）若 BD6，CD4，求 AD 的长 答案： （1）解：连结OB 和 OC OEBC，BECE OE 1 2 BC， BOC90 ，BAC 45 （2）证明：AD BC， ADB ADC 90 由折叠可知， AGAFAD， AGH AFH 90 ， BAG BAD， CAF CAD， BAG CAF BAD CAD BAC45

18、GAF BAG CAF BAC 90 四边形 AFHG 是正方形 （3）解：由（ 2）得， BHC90 ，GHHF AD，GBBD 6，CFCD4 设 AD 的长为 x，则BHGHGBx6，CH HFCFx4 在 RtBCH 中， BH 2CH2BC2， （x6） 2（ x4）2102 解得， x1=12， x2 2（不合题意，舍去） AD12 （2012 山东东营10 分） （1）如图 1，在正方形ABCD 中，E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点， 且 DF BE求 证： CECF； （2）如图 2，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， G 是 AD 上一点，如果G

19、CE45 ， 请你利用（ 1）的结论证明：GEBEGD （3）运用（ 1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： A F C D E G H B O A F C D E G H B O A F C D E G H B O 8 如图 3，在直角梯形ABCD 中， ADBC（BCAD） ， B90 ，ABBC，E 是 AB 上一点，且 DCE 45 ，BE4， DE=10, 求直角梯形ABCD 的面积 【答案】 解： （1）证明：在正方形ABCD 中， BCCD， B CDF，BEDF ， CBE CDF（SAS） 。 CECF。 （2）证明： 如图，延长 AD 至 F，使 DF=BE连接

20、CF。 由（ 1）知 CBE CDF ， BCE DCF 。 BCE ECD DCF ECD， 即 ECF BCD90 。 又 GCE45 ， GCF GCE45 。 CECF， GCE GCF，GCGC， ECG FCG （SAS） 。 GEGF， GEDF GDBEGD。 （ 3）如图，过C 作 CGAD，交 AD 延长线于 G 在直角梯形ABCD 中，ADBC， A B90 。 又 CGA90 ，ABBC， 四边形ABCD 为正方形。AGBC。 已知 DCE45 ， 根据（ 1） （2）可知， EDBEDG。 10=4+DG，即 DG=6。 设 ABx，则 AEx4，ADx6， 在 Rt

21、AED 中， DE 2=AD2AE2，即 102=（x6）2（ x4）2。 解这个方程，得：x=12 或 x=2（舍去）。 9 AB=12。 ABCD 11 SADBCAB61212108 22 梯形 （）（）。 梯形 ABCD 的面积为108。 【考点】 正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。 【分析】（1）由四边形是ABCD 正方形，易证得CBE CDF （ SAS ） ，即可得CE=CF。 （2）延长 AD 至 F，使 DF =BE，连接 CF，由（ 1）知 CBE CDF ，易证得 ECF=BCD=90 ，又由 GCE=45 ，可得 GCF= GCE=45 ，即可证

22、得ECG FCG， 从而可得GE=BE+GD。 （3）过 C 作 CGAD，交 AD 延长线于G， 易证得四边形ABCG 为正方形， 由（ 1） （2）可知， ED=BE+DG，即可求得DG 的长，设AB=x，在 RtAED 中，由勾股定理 DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB 的长，从而求得直角梯形ABCD 的面积。 一、正方形内的45角 （2012 福建南平4 分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点 E、F 分别在边BC、CD 上， 将 AB、AD 分别和 AE、AF 折叠，点B、D 恰好都将在点G 处，已知BE=1，则 EF 的长为 【】 A 3 2 B 5 2 C

23、 9 4 D3 【答案】 B。 【考点】 翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。 【分析】 正方形纸片ABCD 的边长为3， C=90 ，BC=CD=3。 根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF 。 设 DF =x，则 EF=EGGF=1x，FC=DCDF=3 x，EC=BCBE=31=2。 在 RtEFC 中， EF 2=EC2FC2，即（ x 1）2=22（ 3x）2，解得：3 x 2 。 DF = 3 2 ，EF=1 35 = 22 。故选 B。 10 （2009 益阳市）如图11， ABC 中，已知 BAC45， ADBC 于 D，BD2，DC 3， 求 AD

24、 的长 . 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换， 巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)分别以 AB、AC 为对称轴，画出ABD、 ACD 的轴对 称图形， D 点的对称点为E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，证明四边形AEGF 是正方形； (2)设 AD=x，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值 . 【答案】 (1) 证明：由题意可得：ABD ABE， ACD ACF DAB EAB， DAC FAC ，又 BAC45， EAF90 又 AD BC E ADB90 F ADC90 又 AEAD，AFAD AEAF 四边形 AEGF

25、是正方形 (2) 解：设 ADx，则 AEEGGFx BD2，DC3 BE2 ，CF 3 BGx2，CGx3 在 RtBGC 中， BG 2CG2BC2 ( x2)2(x3) 252 化简得， x25x60 解得 x16，x2 1（舍） 所以 ADx6 （2011 湖北咸宁， 22，10 分） （1）如图，在正方形ABCD 中， AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF的度数 （2）如图，在RtABD 中，90BAD， ADAB ，点 M， N 是 BD 边上的任意 两点，且45MAN，将 ABM 绕点 A 逆时针旋转90至 ADH 位置，连接NH

26、，试判 B C A E G D F 图 11 11 断 MN， ND，DH 之间的数量关系，并说明理由 （3）在图中，连接BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，若4EG， 6GF，23BM，求 AG，MN 的长 【答案】（1）在 RtABE 和 RtAGE 中，AGAB，AEAE， ABE AGEGAEBAE 1 分 同理，DAFGAF 45 2 1 BADEAF 2 分 （2） 222 DHNDMN 3 分 DAHBAM ，45DANBAM， 45DANDAHHANMANHAN 又 AHAM ，ANAN， AMN AHNHNMN 5 分 90BAD， ADAB ， 45ADBABD90AD

27、BHDAHDN 222 DHNDNH 222 DHNDMN 6 分 （3）由（ 1）知，EGBE，FGDF 设xAG，则4xCE，6xCF 222 EFCFCE， 222 10)6()4(xx 解这个方程，得12 1 x，2 2 x（舍去负根 ） 12AG 8 分 2122 222 AGADABBD 在（ 2）中， 222 DHNDMN，DHBM， 222 BMNDMN 9 分 设aMN，则 222 )23()23212(aa 25a即25MN 10 分 【思路分析】 （1）根据正方形的每个内角是直角，利用“HL ”证明 ABE AGE ， AFG AFD, 从而得出 1 2 EAFBAD；

28、（ 2）利用旋转过程前后的两个图形全等，得 到对应边、对应角相等，从而为证明AMN AHN 做好了足够铺垫.将线段 MN 的长转移 A B C F D E G （图） A D B M N H （图） A B C F D E G （图） M N 12 为 HN 的长，从而将三条线段集中于Rt HDN中. （ 3）利用（ 1）的结论求出AG的长，进 而得出 BD的长 . 利用（ 2）的结论求出MN的长 . 【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三 角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平 分夹角问题、 邻补角的平分线夹角

29、问题、直角三角形的问题、矩形、 正方形的内角问题.（ 2） 当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等；（ 3）平移、旋转、轴对称对应 了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（3）如果一个题目有 三个问号， 前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要 解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间. 【易错点分析】因为找不到HDN=9 0而无法判断三条线段的关系.第（ 3）问不能很 好的与第（ 2）问发生对接，使线段MN的长计算受阻 . 【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理 【推荐指数】 【题型】常规题，新题

30、，好题，难题操作题，阅读题，压轴题 （2011 年上海市浦东新区中考预测）已知：正方形ABCD 的边长为1，射线 AE 与射线 BC 交于点 E，射线 AF 与射线 CD 交于点 F， EAF= 45. （1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段EF、BE、DF 有怎样的数量关系？ 并证明你的猜想. （2）设 BE=x，DF=y ，当点 E 在线段 BC 上运动 时（不包括点B、C） ，如图 1，求 y 关于 x 的函数解析 式，并指出x 的取值范围 . （3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点B） ， 点 F 在射线 CD 上运动 . 试判断以E 为圆心以BE 为半 径

31、的 E和以 F 为圆心以 FD 为半径的 F 之间的位置 关系 . （4）当点 E 在 BC 延长线上时，设AE 与 CD 交 于点 G，如图 2. 问 EGF 与 EFA 能否相似，若能相 似，求出 BE 的值，若不可能相似，请说明理由. 25.（1）猜想： EF=BE+DF . （1 分） 证明：将 ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转90，得 ABF ，易知点F、B、E 在一直线 上. 图 1. （ 1 分） AF =AF， FAE=1+3=2+3=90 -45=45=EAF， 3 2 1 1- y 1-x y yx F A BC D E F 45 图 1 图 2 图 1 G F E D

32、 CB A 45 45 F E D C B A 13 又 AE=AE ， AF E AFE. EF=F E=BE+DF .（1 分） （2）由（ 1）得EF=x+y 又 CF=1- y，EC=1- x， 222 11yxxy. （ 1 分） 化简可得10 1 1 x x x y. （ 1+1 分） （3）当点E 在点 B、C 之间时，由（ 1）知EF=BE+DF ，故此时 E 与 F 外切； （1 分） 当点 E 在点 C 时， DF=0， F 不存在 . 当点 E 在 BC 延长线上时，将ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转90，得 ABF， 图 2. 有AF =AF，1=2，FDFB， F

33、AF=90. FAE=EAF= 45. 又 AE=AE ， AF E AFE.（1分） FDBEFBBEFEEF. （ 1 分） 此时 E 与 F 内切 .（ 1 分） 综上所述，当点E 在线段 BC 上时， E 与 F 外切；当点E 在 BC 延长线上时， E 与 F 内切 . （4） EGF 与 EFA 能够相似，只要当EFG =EAF= 45即可 . 这时有CF=CE.（1 分） 设 BE=x，DF=y ，由（ 3）有 EF=x- y. 由 222 EFCFCE，得 222 11yxyx. 化简可得1 1 1 x x x y. （1 分） 又由EC=FC ，得yx11，即 1 1 11

34、x x x，化简得 012 2 xx，解之 得（1 分） 21,21 21 xx（ 不 符 题 意 ， 舍 去） .（1 分） 所求 BE 的长为21. （2012 福建宁德13 分） 某数学兴趣小组开展了一次活 动，过程如下： 如图 1，在等腰 ABC 中， ABAC， BAC90o ，小敏将一块三角板中含45o角的顶 点放在点A 处，从 AB 边开始绕点A 顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直 线交直线 BC 于点 D，直角边所在的直线交直线BC 于点 E (1)小敏在线段BC 上取一点M，连接 AM，旋转中发现：若AD 平分 MAB，则 AE 也 平分 MAC请你证明小敏发现的结论；

35、 F 2 1 图2 G F E D C B A 45 14 (2)当 0o 45 o时，小敏在旋转的过程中发现线段BD、CE、DE 之间存在如下等量关 系： BD 2 CE2DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决： 小颖的方法：将ABD 沿 AD 所在的直线对折得到ADF ，连接 EF(如图 2)； 小亮的方法：将ABD 绕点 A 逆时针旋转90o得到 ACG，连接 EG(如图 3) 请你从中任选一种方法进行证明； (3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45o 135 o且 90 o时，等量关系BD 2 CE 2DE2 仍然成立现请你继续探究：当135o 180o时(如图

36、4)，等量关系 BD 2CE2DE2 是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由 【答案】 解：（1）证明： BAC90o ， DAE DAM MAE45o ， BAD EAC 45o 。 又 AD 平分 MAB， BAD DAM。 MAE EAC。 AE 平分 MAC。 （2）证明小颖的方法： 将 ABD 沿 AD 所在的直线对折得到ADF ， AFAB， AFD B45o ， BAD FAD。 又 AC=AB， AFAC。 由（ 1）知， FAE CAE。 在AEF 和AEC 中， AF AC， FAE CAE， AEAE， AEF AEC（SAS ）。 CEFE， AFE C45

37、o 。 DFE AFD AFE90o。 15 在 Rt OCE 中， DE 2 FE2DE2， BD2CE2DE2。 （3）当 135o 180o时，等量关系BD 2CE2DE2 仍然成立。 证明如下： 如图，按小颖的方法作图，设AB 与 EF 相交于点 G。 将 ABD 沿 AD 所在的直线对折得到ADF ， AFAB， AFD ABC45o， BAD FAD 。 又 AC=AB， AFAC。 又 CAE90 0 BAE900（ 45o BAD ） 45o BAD 45o FAD FAE。 在AEF 和AEC 中， AF AC， FAE CAE， AEAE， AEF AEC（SAS ）。 C

38、EFE， AFE C45o 。 又在 AGF 和BGE 中， ABC AFE45o， AGF BGE， FAG BEG。 又 FDE DEF =FDE FAG 1 2 （ ADB DAB） 1 2 ABC90o 。 DFE 90o 。 在 Rt OCE 中， DE 2 FE2DE2， BD2CE2DE2。 【考点】 角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三 角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。 【分析】（1）由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。 （2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到 AEF AEC

39、，在 RtOCE 16 中应用勾股定理而证明。 小亮的方法是将ABD 绕点 A 逆时针旋转90o得到 ACG，根据旋转的性质 用 SAS得到 ACE ACG，从而在RtCEG 中应用勾股定理而证明。 （3）当 135o 180o时，等量关系BD 2CE2DE2 仍然成立。 仿（2）证明即可。 36（ 2008 恩施自治州）如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和 AFG 摆放在一起， A 为公共顶点，BAC =AGF=90 ，它们的斜边长为2，若 ?ABC 固定不 动，?AFG 绕点 A 旋转， AF、AG 与边 BC 的交点分别为D、E(点 D 不与点 B 重合 ,点 E 不与点 C 重合 ),设 BE=m，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求 m 与 n