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1、第 1 页 全等三角形在实际生活中的应用 三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离 时，可根据三角形全等进行转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想. 一、测量中的全等三角形 例 1 图 1 为人民公园中的荷花池 ,现要测量此荷花池两 旁 A、B 两棵树间的距离 (我们不能直接量得 ).请你根据所学 知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案. 要求:(1)画出你设计的测量平面图； (2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用,cba 表示；角度用,表示)；(3)根据你测量的数据 , 计算 A、B 两棵树间的距离 . 分析：此题的测量方法很多， 这里用全等知识来解
2、决， 方案如图 2，步骤为： （1）在地上找可以直接到达的一点O， （2）在 OA 的延长线上取一点C，使 OC=OA；在 BO 的延长线 上取一点 D，使 OD=OB； （3）测得 DC=a，则 AB=a 点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多， 可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识， 本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“ 学有用的数学 ” ，更激发学生的学 习热情和创新热情以及求知欲望 例 2如图 3所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡 隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军 碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测
3、量工具的情况 下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调 整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一 个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点 上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距 离。你能解释其中的道理吗？ 解：这个战士实际上是运用了三角形全等的知识. 要说明其中的道理，首 B A C D O 图 2 ? ? ? 图 1 图 3 第 2 页 先要根据实际情景建立数学模型， 将情景中示意图抽象为几何图形。 如图 4 所示， 我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC 不可测量，但线段FD 的长度 可以测得，又战士与地面是
4、垂直的，也就是BAC EFD90 0 ，另外战士的身高与姿态是不变的， 所以 BCEF，ABCFED . 依据“SAS ” 可知 ABCDEF，所以 ACFD . 所以只要测得 FD 的距离，就可得到AC 的距离 . 二、修路中的全等三角形 例 3如图 5，有一块不规则土地ABCD ，分别被甲、 乙二人承包，一条公路 GEFH 穿过这块土地， EF 左边是甲， 右边是乙， ABCD.为方便通行，决定将这条公路尽量修 直，但要求甲、乙二人的土地面积不变 .请你设计一种方案， 解决这个问题，并说明方案正确的理由. 分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙二 人的土地面积不变 .这里，我们应注意
5、充分利用ABCD 这 一条件来构造全等三角形. 解：取 EF 的中点 O，连接 GO 并延长交 FH 于点 M，GM 就是修直后的公 路. 理由是： 设 GM 分别交 AB、 CD 于点 P、 Q， 由 ABCD， 可得 PEOQFO， 又因为 EOFO，EOPFOQ，故EOPFOQ，所以这个方案能保持甲、 乙二人的土地面积不变 . 三、其他问题中的全等三角形 例 4如图 6，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要去玻璃店 配一块完全一样的玻璃， 请你设计一个最省事的配玻璃方案， 并说明理由 . 解：最省事的配玻璃方案是带着碎玻璃块去玻璃店. 理由是：玻璃块含有一条完整的边BC 和夹 B
6、C 的两个 完整的角，根据 ASA，只需将 B 和C 的不完整的边延长 相交即可，得到的三角形与原三角形全等. 图 5 图 4 图 6 第 3 页 例 5如图 7，点 C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发以相同的速度分 别沿两条直线行走，并同时到达D，E 两地，DAAB，EBAB，D，E 与路段 AB 的距离相等吗？为什么？ 分析：因为两人是从点C 同时出发，且同时到达D，E 两点，所以 CD=CE. 要说明 DA 与 EB 是否相等，则只需说明ADC 和BEC 是否全等 . 解：D，E 与路段 AB 的距离相等 . 理由：因为点 C 是 AB 的中点，所以 CA=CB， 又 CD=
7、CE， DAAB， EBAB， 所以 RtADC RtBEC （Hl） . 所以 DA=EB. 即 D，E 与路段 AB 的距离相等 . 例 6如图 8是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根 拉线的长 AB=AC ，BD 和 DC 的长相等吗？为什么？ 分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两 个直角三角形，所以通过全等三角形的知识解决. 解:BD 和 DC 相等. 因为 ADBC,所以 ADB= ADC=90 , 又 AB=AC,AD=AD, 所以 RtABD RtACD(HL). 所以 BD=DC. 例 7如图 9，海岛上有 A，B 两个观测点，点 B 在点 A 的正东方，海
8、岛C 在观测点 A 的正北方，海岛D 在观测点 B 的正北方，从观测点A 看海岛 C、D 的视角 CAD 与从观测点 B 看海岛 C、D 的视角 CBD 相等，那么海岛 C、D 到观测点 A、B 所在海岸的距离相等吗？为什么？ 分析：本题是一道和三角形全等有关的实际问题，要看海岛C、D 到海岸 AB 的距离是否相等，则要看ABC 与BAD 是否全等 . 解：海岛 C、D 到观测点 A、B 所在海岸的距离相等 . 理由：由已知得 CAB=DBA=90 ，又 CAD=CBD， 所以 DAB=CBA， 在 RtABC 和 RtBAD 中， CAB=DBA ，AB=BA ，CBA=DAB ， 图 7 图 8 第 4 页 所以 ABCBAD （ASA） ， 所以 CA=DB，即海岛 C、D 到观测点 A、B 所在海岸的距离相等 .