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1、利用图形变换启发学生的数学思维 高中部数学组徐红 一、背景 钱学森曾经指出： “我建议把形象思维作为思维科学的突破口. 因为它一旦搞 清楚后，就把前科学的那部分，别人很难学到的那些科学以前的知识、即精神财 富，都可以挖掘出来了. 这将把我们的智力开发大大地向前推进一步.人们在交往 中，很多是用形象思维，而不是抽象思维的. ” 回顾过去的一个世纪，数学科学的巨大发展，比以往任何时代都更牢固地确 立了它作为整个科学技术的基础的地位. 同时，数学作为一种文化，已经成为人 类文明进步的标志。20 世纪数学思想的深刻变革，已将这门科学的核心部分引向 高度抽象化的道路。数学其实是人所创造出的最简单的系统的
2、学科，它只限于现 实的很有限的侧面。尽管拥有这种简单性，但它的词汇、符号让人费解，它的抽 象性更阻碍了学生的数学思维发展，加上它的曲折奥妙，确实造成学生认知上的 特殊难度。然而在大多数课堂教学中教师没有能够帮助学生摆脱这种由于数学学 习特点带来的困境，忽视对直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对 书本中一些抽象结论的理解。 许多数学概念脱离不开图形语言，数学图形语言具有直观形象的特点，许多 数学问题的解决都是借助图形形象靠被触发人的直觉来完成的，在某种意义上， 几何形象的直觉已渗透到一切数学中。引导学生发现图形变换中蕴含的数学本 质，可以有效地发展学生的数学思维，培养学生的创新能力。
3、二、设计图形变换的几种方法 （一）改变图形基本元素的数量 点、线、面这些基本图形元素的数量发生变化后，一些数学性质可能依然存 在 . 所以教师要引导学生深入挖掘经典 题目中的经典图形，大胆进行图形变换， 让学生进一步在变换后的新图形背景 下，与原图进行类比探究，经常会有突 破进展。学生在这种探索中不仅学习数 学的兴趣大增，他们还体验了数学家的 发现过程，体现数学发现的乐趣，数学 的创造性思维得以发展。 如 图1, CDE的 边CD在 ABC的边BC，连结ADBE、, 利用三角形全等和外角知识等很容易证明 EHD=60 ，与正三角形的内角相等。 如果正三角形变成正方形会怎样？ H E D CB
4、A 图 1 2010 年山西中考题第一问就是此题的变式： 如图2，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接 AE,GC.(1) 试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论。 问题不难解决，取AE、GC的交点H，先证明ADECDG，然 后利用角的的关系证出AEGC（如图 3） ，即AE与GC夹角与正方形内角相 等。 问题到这里不要停止，教师可以进一步问学生：如果是任意多边形也有这个 规律吗？结论是肯定的。 如图4 正多边形 12n B BB的边 n-1n BB在其相似正多边形 12n A AA 的 边 n - 2n - AA上 ， 线 段 n-2n-2 AB与 nn AB
5、所成角等于正多边形的内角（或 补角）度数 . 这个图形变换设计，改变了图形的边数，引导学生找出了图形在变化过程中 的不变性质。 ( 二）平移与旋转 通过研究图形平移的教学案例很多，通过图形旋转进行图形的变换在教学中 运用不够 .比如（一）中提到的2010 年山西中考题，它的第二问就是一个很好的 图形旋转变换的例子： 图 3 H G F E D CB A 图 2 G F E D C B A k H (Bn-1) B1 B2 Bn Bn-2 B3 A1 An An-1 An-2 A3 A2 图 4 将图 2 正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转，使点E落在BC上，如图 5.连接AE和GC，你认为（
6、 1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成 立，请说明理由。 我们在进行教学设计的时候应该在此题 的基础上作更深入地进行图形变换： 变换 1、 如果图 5 中E点没有落在BC边 上，正方形DEFG绕点D随意旋转，AE与GC 还有垂直关系吗？ 变换 2、正多边形中是否有类似的性质？ 结果都是是肯定的. 并可得到如下性质： 如图 6， 正多边形 12n A AA和 12n B BB是有 一个公共点（ n-1 A和 n-1 B重合）的相似多边形， 线段 n-2n-2 AB与 nn AB所成角等于正多 边形的内角（或补角）度数. 证 明 一 ： 延 长 线 段 n - 2n - 2 AB与 nn
7、 AB，交于点H, 延长线段 n-2n-1 AB 与 nn A B，交于J点。由三角形外角的 性质可得 n B HK= n-2 HAJ+J， n-2n-1n AAA= n-1n AA J+J. 通过证 n-2n-1n-2 AAB nn-1n B AA易得 n-2 HAJ= n-1n AA J. 所以 n B HK= n-2n-1n AAA. 而 n-2n-1n AAA即为正多边形内角，得证。 图 6 k J H (Bn-1) B1 B2 Bn Bn-2 B3 A1 An An-1 An-2 A3 A2 I 图 5 G F E D CB A 证明二：作两个正多边形的外接圆（图7） ，显然 n-1
8、 A是两圆的一个交点，设 两圆的另一个交点为H . 连结 H A n 、H Bn 、 2 H Bn , 2 H A n . 因为两个多边形相似， 所以 n-2n BB= n-2n AA. 所以 21 BH A nn 和 21 AH A nn 为 两个相等的圆周角. 所以 21 BH A nn = 21 AH A nn . 所以 22 HBA nn 、三点共线 . 同理 HAB nn 、三点共线 . 所以H 和 H重合，即 n-2n-2 AB与 nn AB交于两多边形外接圆的交点， n A HK为圆内接四边形 n-2n-1n HAAA的一个外角， 所以 n B HK= n-2n-1n AAA.
9、在解析几何中旋转变换很多，比如把椭圆长轴和短轴交换等等。在立体几何 中如果能巧妙地将已知图形进行旋转，可以将一道题多次利用，对培养学生的空 间想象能力有很好的作用。 如 图8 ，P、Q分 别 是 三 棱 柱 1 AB中 1 A B和 1 CC中 点 ， ACB=90, 1 AA =2AB=22,欲证PQ平面 111 A B C. 教师在上课时可以提供多角度的图形，充分锻炼学生的空间想象力。 H k H (Bn-1) B1 B2 Bn Bn-2 B3 A1 An An-1 An-2 A3 A2 I 图 7 k H Bn-1 O2 O1 B1 B2 Bn Bn-2 B3 An K (H)Bn-1
10、O2 (O1) B1 B2 Bn Bn-2 B3 （An） O2 O1 k H (Bn-1) B1 B2 Bn Bn-2 B3 A1 An An-1 An-2 A3 A2 I B C P Q B1 C1 A1 A P Q B1 C1 A1 C B A （三）膨胀与收缩 一个点可以膨胀为一个圆或多边形，一个多边形或圆也可以收缩为一个点， 引导学生注意发现运动变化中的不变性质，学生的数学视野会豁然开朗。比如图 6 的性质也完全可以从膨胀收缩的角度来分析（图9）, 当圆 1 O收缩为一个点时， n B HK与多边形的一个内角重合。如果能看到 这一点，能看到图9的变化过程，那么证法二也就呼之欲出了。
11、（四）升降维度 初学立体几何，学生往往发生认知障碍，必须培养学生的几何直观能力。教 师要跨越空间维数，让学生在与平面几何的类比中逾越这个障碍。点动成线、线 动成面、矩形对角线公式到长方体体对角线公式（图10）等等，让学生发现平面 图形与立体图形之间精妙的相关关系。 图 9 图 8 另外，在教学中要抓住教学契机，创造这种跨越空间维数进行数学研究的 机会。比如，学习数列时，不能忽视图形数列的教学，如自然数平方和的公式推 导就可以放在图形数列的背景中。下面是我的一个课堂实录 片段。 例：观察图11 中正方形（由内到外）内的点数构成什 么数列？并写出通项公式 n a及前n项和公式 n S. 学生会发
12、现正方形（由内到外） 内的点数依次是 2 1， 2 2， 2 3 ， 2 4， ， 通 项 公 式 是 2 nan 。 然 后 教 师 用 传 统 方 法 引 导 他 们 推 到 出 6 )12)(1(nnn Sn. 之后教师引申： 通过这个数列我们可以对自然数的平方和 公式进行证明。我们知道 )12)(1( 6 1 4321 22222 nnnn， 最 高次项是3 次，我们可以联想到正方体的体积 3 n. 我们可以 把每个点看成一个边长为一个单位长度的小正方体，把图 10 升维成立体图形 （图 12） ，问题就转化为研究再加多少小 正方体可以组成一个体积为 3 n的正方体。 三、让计算机或图
13、形计算器在图形探究中发挥巨大作用 计算机辅助教学可以形象准确地表现图形的变化，不仅可以让学生在运动变 化中发现不变量等数学本质，教师还可以通过演示课件化解学生的冲突。以上题 为例，从平面图形升维成立体图形时会给学生震撼感，让他们被数学美折服的同 时，对几何直观的认识会更加深刻. 另外如何用体积法证明结论？教师也可以通 过计算机动画形象地突破难点。图13 就是我制作的一个课件截图。把点阵图中 的点升维成小正方形，在把小正方形组成的大正方形看做一个空间图形的俯视图. 我设计一些如图的小正方体，然后用指针拖拽，一层一层地堆砌，从第一层到第 n 层，非常形象生动，学生在拖拽中发现数量关系，大大降低了运
14、算难度. 图 11 图 12 图 10 解 折线 体 点阵 下 上 正方形 图 13 第一层从前面加2 个小正方体后面加1 个， 共加一层，算式体现为211（）， 第二层前面加3 个后面加2 个，共加两层，算式体现为322（），以此类推， 第 n 层前面加n 个后面加n-1 个，共加(1)(1)nnn层，有了这样形象的 理解，学生就可以得出下面的解题过程了。 解： 3 n 2222 321n3)34(2)23(1)12( )1)(1(nnn 2222 321n ) 1() 1(334223112 22223 nnnn )1(321 )1(342312 22223 nnnn )1(321 )1()1(2211 22222223 nnnn )1(3212)1(321 22223 nnn ， 232222 2 2 )1)(1(1 )321(3n nn nn 。 6 )12)(1( 623 321 23 2222nnnnnn n 。 四、小结 在教学中积极利用图形变换教导学生主动运用数形结合思想观察问题，不仅 能培养学生的形象思维，更能发挥抽象思维与形象思维的协同作用。在教学中应 加强对形象思维与逻辑思维的同时培养，全面提高学生数学思维水平, 有助于学 生加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象和概 括，拓展他们的思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性。