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1、河北省衡水中学2014 年 4 月高三第一次模拟理科数学试题 一、选择题 （本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分） 1设全集为实数集R， 2 4Mx x，13Nxx，则图中阴影部分表示的集合是 ( ) A21xxB22xx C12xxD2x x 2设,aR i是虚数单位，则“ 1a ” 是“a i ai 为纯虚数 ” 的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3若 n a是等差数列，首项 1 0,a 20112012 0aa， 20112012 0aa，则使前n 项 和0 n S成立的最大正整数n 是（） A2011 B2012 C4022
2、D4023 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众 显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“ 连续7 天每天新增感染人数不超过5 人” ，根据连续7 天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（） 平均数3x；标准差2S；平均数3x且标准差2S； 平均数3x且极差小于或等于2；众数等于1 且极差小于或等于1。 A B C D 5. 在长方体ABCD A1B1C1D1中， 对角线 B1D 与平面 A1BC1相交于点 E， 则点 E 为 A1BC 1 的（） A垂心 B内心 C外心 D重心 6.设yx,满足约束条件 , 0, , 0
3、2 , 063 yx yx yx 若目标函数ybaxz)0,(ba的最大值是12，则 22 ab的最小值是（） A 6 13 B 36 5 C 6 5 D 36 13 7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 （） A 16B4C8D2 8已知函数2sin()fxx(0,)图像 的一部分（如图所示） ，则与的值分别为（） A 115 , 106 B 2 1, 3 C 7 , 106 D 4 , 53 9. 双 曲 线C的 左 右 焦 点 分 别 为 12 ,F F,且 2 F恰 为 抛 物 线 2 4yx的焦点 ,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若 12 AFF是以 1 AF
4、为底边的等腰三角形,则双曲线C的离心率为（） A2B12C13D23 10. 已知函数)(xf是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数 12 ,x x，不等式 )()()()( 12212211 xfxxfxxfxxfx恒成立，则不等式0)1 (xf的解集为 ( ) A. )0,(B. ,0C. )1 ,(D. , 1 11.已知圆的方程4 22 yx，若抛物线过点A(0， 1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛 物线的焦点轨迹方程是() 1 A.x 2 3 y 2 4 1(y0) B.x 2 4 y 2 3 1(y0) C.x 2 3 y 2 4 1(x0) D.x 2 4 y
5、2 3 1 (x0) 12. 设( )f x是定义在 R 上的函数，若(0)2008f，且对任意xR，满足 (2)( )3 2 x f xf x，(6)( )63 2 x f xf x，则)2008(f=（） A.20072 2006 B20062 2008 C20072 2008 D20082 2006 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13.在区间 6，6，内任取一个元素xO ，若抛物线 y=x 2 在 x=xo处的切线的倾角为，则 3 , 44 的概率为。 14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是 15. 在ABC中，P是BC边中点，角A，B，C的对边
6、分别是a ， b，c，若0cACaPAbPB ，则 ABC的形状为 。 16.在x轴的正方向上，从左向右依次取点列, 2, 1, jAj ，以及 在第一象限内的抛物线xy 2 3 2 上从左向右依次取点列 ,2, 1,kBk ，使 kkk ABA 1 （, 2, 1k）都是等边三角形，其 中 0 A是坐标原点，则第2005 个等边三角形的边长是。 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分） 17 （本小题满分12 分） 在 ABC中 ，cba,是 角CBA,对 应 的 边 ， 向 量),(cbam,cban,， 且 abnm)23(. （1）求角C； （2） 函数 ）（0 2 1 )2sin(
7、)cos()(cos)sin(2)( 2 xBAxBAxf的相邻两个极值的横 坐标分别为 2 0x 、 0 x，求)(xf的单调递减区间. 18. （本小题满分12 分） 已知四边形ABCD 满足 1 / /, 2 ADBC BAADDCBCa，E 是 BC 的中点， 将 BAE 沿 AE 翻折成 11 ,B AEB AEAECD使面面，F 为 1 B D的中点 . （1）求四棱锥 1 BAECD的体积； （2）证明： 1 / /B EACF面； （3）求面 11 ADBECB与面所成锐二面角的余弦值. 19. （本小题满分12 分） 现有4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参
8、加者选择，为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1 或 2 的人 去参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏. （1）求这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率； （2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用 X，Y 分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 |XY|，求随机变量 的 分布列与数学期望E . 20. （本小题满分12 分） 已知椭圆 C ： 22 22 1 xy ab （ 0ab ）过点 (20)， ，且椭圆 C 的离心率为 1 2 . （）求椭圆C的方程； （）若动点P在直线1x上
9、，过P作直线交椭圆C于MN，两点，且P为线段MN中 点，再过P作直线lMN.求直线l是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说 明理由。 21. （本小题满分12 分） 已知函数( )f x是定义在,00,ee上的奇函数 ,当0,xe时, ( )lnfxaxx(其中e 是自然界对数的底,aR) （1）求( )f x的解析式 ; （2）设 ln ( ),0 x g xxe x ，求证：当 1a 时，且 0 , ex ， 1 ( )( ) 2 f xg x恒成立； （3）是否存在实数a，使得当,0xe时，( )f x的最小值是3 ？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由。 请考生
10、在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. （本小题满分10 分）选修 41：几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点A，直线 PBC 交圆于 B、C 两点， D 是圆上一点， 且 ABCD ，DC 的延长线交PQ 于点 Q （1）求证：ABCQAC 2 （2）若 AQ=2AP ，AB=3,BP=2，求 QD. 23(本小题满分10 分) 选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 sin cos by ax （ab0，为参数），以 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系
11、，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知 曲线 C1上的点 M)3,2(对应的参数= 3 ， 4 与曲线 C2交于点 D) 4 ,2( （1）求曲线C1，C2的方程； （2） A（ 1， ）， （ 2，+ 2 ）是曲线C1上的两点，求 2 2 2 1 11 的 值 。 24(本小题满分l0 分) 选修 45：不等式选讲 已知关于x 的不等式axx 2 log|1|12|（其中0a） （1）当4a时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围 20132014 学年度第二学期高三年级一模考试 数学（理科）答案 一、选择题（A）卷 CACDD DBABC CC （B）CCADD
12、BDACB CC 二、填空题 13、 11 12 14、 2 1 15、等边三角形16. 2005 三、解答题 17、解:（1）因为abnmcbancbam)23(),(),(，所以abcba3 222 ， 故 2 3 cosC, 6 ,0CC. -5 分 （2） 2 1 )2sin()cos()(cos)sin(2)( 2 xBAxBAxf = 2 1 )2sin(cos)(cossin2 2 xCxC = 2 1 )2sin( 2 3 )(cos 2 xx =) 6 2sin(x-8 分 因为相邻两个极值的横坐标分别为 2 0 x、 0 x，所以)(xf的最小正周期为T,1 所以) 6 2
13、sin()(xxf-10 分 由Zkkxk, 2 3 2 6 2 2 2 所以)(xf的单调递减区间为Zkkk, 3 2 , 6 . -12 分 18、解 :（1）取 AE 的中点 M ，连结 B1M ，因为 BA=AD=DC= 2 1 BC=a， ABE 为等边三角 形，则 B1M= a 2 3 ，又因为面B1AE面 AECD ，所以 B1M 面 AECD ， 所以 43 sin 2 3 3 1 3 a aaaV-4 分 （2）连结 ED 交 AC 于 O，连结 OF，因为 AECD 为菱形， OE=OD 所以 FO B1E， 所以 1 / /B EACF面。-7 分 (3)连结MD ，则
14、AMD= 0 90，分别以ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴建系，则)0,0, 2 (aE,)0, 2 3 ,(aaC )0,0, 2 ( a A,)0, 2 3 ,0(aD,) 2 3 ,0, 0( 1 aB,所 以1， ) 2 3 , 0, 2 ( 1 aa EB， )0, 2 3 , 2 ( aa AD,) 2 3 , 0, 2 ( 1 aa AB, 设面ECB1 的 法向 量为),(zyxu， 0 2 3 2 0 2 3 2 azx a ayx a ， 令 x=1, ) 3 3 , 3 3 , 1(u，同理面ADB1的法向量为 ) 3 3 , 3 3 , 1(v，所以 5 3 3
15、1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 1 ,cosvu， 故面 11 ADBECB与面所成锐二面角的余弦值为 5 3 .-12 分 19.解：依题意， 这 4 个人中， 每个人去参加甲游戏的概率为 1 3，去参加乙游戏的概率为 2 3.设 “ 这 4 个人中恰有i 人去参加甲游戏” 为事件 i A(i0,1,2,3,4)，则 iii i CAP 4 4 ) 3 2 () 3 1 ()( （1）这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率 27 8 ) 3 2 () 3 1 ()( 222 42 CAP3 分 （ 2）设 “ 这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数” 为
16、事件B，则 43 AAB， 由于 3 A与 4 A互斥，故 9 1 ) 3 1 () 3 2 () 3 1 ()()()( 44 4 33 443 CCAPAPBP 所以，这4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 9. 7 分 （3） 的所有可能取值为0,2,4. 由于 1 A与 3 A互斥， 0 A与 4 A互斥，故 27 8 )()0(2APP， 81 40 )()()2(31APAPP 81 17 )()()4( 40 APAPP 。 所以 的分布列是 024 P 8 27 40 81 17 81 随机变量 的数学期望 81 148 81 17 4 81 40 2
17、27 8 0E12 分 20.解： （）因为点(20)，在椭圆C上，所以 22 40 1 ab ， 所以 2 4a，- 1 分 因为椭圆C的离心率为 1 2 ，所以 1 2 c a ，即 22 2 1 4 ab a ， - 2 分 解得 2 3b，所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy . - 4 分 （）设 0 ( 1)Py， 0 33 () 22 y， 当 直 线MN的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线MN的 方 程 为 0 (1)yyk x， 11 ()M xy， 22 ()N xy， 由 22 0 3412 (1) xy yyk x ， ， 得 22222 000 (34)(88)
18、(48412)0kxkykxykyk， 所以 2 0 12 2 88 + 34 kyk xx k ，因为P为MN中点， 所以 12 =1 2 xx ，即 2 0 2 88 =2 34 kyk k . 所以 0 0 3 (0) 4 MN ky y ，- 8 分 因为直线lMN，所以 0 4 3 l y k，所以直线l的方程为 0 0 4 (1) 3 y yyx， 即 0 41 () 34 y yx，显然直线l恒过定点 1 (0) 4 ，. - 10 分 当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为1x，此时直线l为x轴，也过点 1 (0) 4 ，. 综上所述直线l恒过定点 1 (0) 4 ，.-
19、12 分 21.解： （1）设,0)xe，则(0, xe，所以()ln()fxaxx又因为( )f x是定义在 ,0)(0, ee上的奇函数，所以( )()ln()f xfxaxx 故函数( )f x的解析式为 ln(),0) ( ) ln ,(0, axxxe f x axx xe 2 分 （2）证明：当,0)xe且1a时， ln() ( )ln(),( ) x f xxxg x x ，设 ln()1 ( ) 2 x h x x 因为 11 ( )1 x fx xx ，所以当1ex时，( )0fx，此时( )f x单调递减；当 10x时，( )0fx，此时( )f x单调递增，所以 min
20、( )( 1)10f xf 又因为 2 ln()1 ( ) x h x x ，所以当0ex时，( )0h x，此时( )h x单调递减，所以 maxmin 1111 ( )()1( ) 222 h xhef x e 所以当,0)xe时，( )( ),f xh x即 1 ( )( ) 2 fxg x6分 （3）解：假设存在实数a，使得当,0)xe时，( )ln()f xaxx有最小值是3， 则 11 ( ) ax fxa xx （）当0a，,0)xe时， 1 ( )0fx x ( )f x在区间,0)e上单调递增， min ( )()1f xfe，不满足最小值是 （）当0a，,0)xe时，( )
21、0fx，( )f x在区间,0)e上单调递增， min ( )()10f xfeae，也不满足最小值是 （） 当 1 0a e ，由于,0)xe，则 1 ( )0fxa x ，故函数( )ln()f xaxx是 ,0)e上的增函数所以min( )()13f xfeae，解得 41 a ee （舍去） （）当 1 a e 时，则当 1 ex a 时， 1 ( )0fxa x ，此时函数( )ln()f xaxx是 减函数；当 1 0x a 时， 1 ( )0fxa x ，此时函数( )ln()fxaxx是增函数 所以 min 11 ( )()1ln()3f xf aa ，解得 2 ae 综上可知
22、，存在实数 2 ae，使得当,0)xe时，( )f x有最小值12分 22. （）因为 ABCD， 所以 PAB=AQC, 又 PQ 与圆 O 相切于点 A， 所以 PAB=ACB, 因为 AQ 为切线，所以QAC= CBA,所以 ACB CQA, 所以 AC AB CQ AC , 所以ABCQAC 2 5 分 （ ） 因 为ABCD ， AQ=2AP ， 所 以 3 1 QC AB PQ AP PC BP , 由AB=3,BP=2得 33QC,PC=6 AP为圆 O 的切线 2 124 3APPB PCQA 又因为AQ为圆 O 的切线 216 3 3 AQQC QDQD 10分 23.解：
23、（1） 将 M)3, 2(及对应的参数= 3 ， 4 ； 代入 sin cos by ax 得 3 sin3 3 cos2 b a ， 所 以 2 4 b a ， 所 以 C1的方程为1 416 22 yx ， 设圆 C2的半径R，则圆 C2的方程为： =2Rcos （或（ x-R） 2+y2 =R 2），将点 D) 4 ,2( 代 入得： R=1 圆 C2的方程为： =2cos（或（ x-1） 2+y2=1）-5 分 （2）曲线 C1的极坐标方程为：1 4 sin 16 cos 2222 ，将 A（ 1， ）， （ 2，+ 2 ） 代入得：1 4 sin 16 cos 2 2 1 2 2 1
24、 ，1 4 ) 2 (sin 16 ) 2 (cos 22 2 22 2 所以 16 5 4 1 16 1 ) 4 cos 16 sin () 4 sin 16 cos ( 11 2222 2 2 2 1 即 2 2 2 1 11 的 值 为 16 5 。-10 分 24.解：（）当 a=4 时，不等式即 |2x+1|-|x-1| 2，当 x - 2 1 时，不等式为 -x-22 ，解得 -4 x - 2 1 ； 当- 2 1 x1时，不等式为3x2 ， 解得 - 2 1 x 3 2 ； 当 x1 时， 不等式为x+22 ， 此时 x 不存在 综上，不等式的解集为 x|-4 x 3 2 -5 分 （）设f（x）=|2x+1|-|x-1|= 2 3 2 x x x 1 1 2 1 2 1 x x x 故 f（x）的最小值为- 2 3 ， 所以，当 f（x）log 2a 有解，则有 2 3 log 2a ， 解得 a 4 2 ， 即 a 的取值范围是), 4 2 。-10 分