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1、精心整理 页脚内容 一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了 【高等数学 - 极限（计算）知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息， 2017 考研时间及各科目复习备考指导、复习经验， 为 2017考研学子提供一站式考研 辅导服务。 模块一极限（计算） 经典习题 一四则运算 1、 2 2 0 coscos1 lim_ sin() x xxx x 2、 12 limarctan_ 1 x x x x 3、已知 0 11 lim()1 x x a e xx ，则 a. 4、 2 0 0 1 arctan 11 lim cossin x t x edt
2、x xxxx 5、 2 0 1 3sinsin lim 1cosln 1 x xx x xx 6、已知 2 lim0 1 x x axb x ，其中,a b是常数，则（） (A)1,1ab(B)1,1ab(C)1,1ab(D)1,1ab 7、 2 2 411 lim sin x xxx xx 8、 2 110 18 2sin ln lim 225 x xx x xxx x 精心整理 页脚内容 9、 12 1 limarctan (1)(2) x x x xx e xx 10、 2 1 1000 0 1 lim x x e x 11、 0 lim( )( ) xx f xg x存在， 0 lim
3、( )( ) xx f xg x不存在，则正确的是（） （A） 0 lim( ) xx fx 不一定存在 (B） 0 lim( ) xx g x 不一定存在 （C ） 0 22 lim( )( ) xx fxgx必不存在（ D ） 0 lim( ) xx f x不存在 12、假设( )f x可导，( )g x有不可导点，则下列函数中一定有不可导点的有个。 （1） fx eg x （2） fx g x （3） sin fxg x （4） 2 1fxg x 二洛必达法则 13、求下列极限 （1） 2 2 0 0 arctan 1 lim ln cossin x x tdt xx （2） 4 tan
4、2sin lim cosln tanx xx xx （3） 0 0 arcsintan lim 1cos ln 2 x x tt dt x x （4） tan 2 0 0 ln 1sin lim 1cosarctan4 x x t dt xx （5） 1 ln cos1 lim 1sin 2 x x x （6） 2 2 2 2 0 0 2 3 lim x t xt x e dt edt 14、设函数( )fx在点0x处有(0)0f，(0)2f，则 0 20 ln cos() lim 12( )1 x x xt dt fx _. 15、 设函数( )f x在点0x处具有连续的二阶导数， 01f试
5、求极限 2 0 2230 lim x fxfxf x . 16、设函数( )fx在点0x处二阶可导，00, 0 01fff. 试求极限 2 0 ln 1 lim 12 x x fxx ex . 17、设函数( )f x在点0x处可导，00, 02ff. 试求极限 精心整理 页脚内容 （1） 0 2 0 lim x x ft dt x ； （2） 0 02 0 lim x x x xtft dt ft dt . 三泰勒公式 18、求下列极限 （1） 2 0 arcsin22sin lim 1cos1 x x xx xe （2） 2 2 2 0 cos sin 1 lim x x x x （3）
6、2 3 lim 3ln 1 x xx x （4） 2 2 0 112 ln cos lim 1 x x xxx ex （5） 0 arctan3sin2 lim ln 1 x xxx xxx （6） 3 0 sincos lim. sin x xxx x （7） 0 sin tantan lim tansinsin x xx xx （8） 2 0 ln 12cos2 lim tanln 1 x xx xxx 19、当0x时， 2 (1)1 x eBxCxAx是比 3 x高阶无穷小，则（） （A） 21 1, 36 ABC(B) 121 , 336 ABC (C) 21 1, 36 ABC(D)
7、 121 , 336 ABC 20、设 2 0 ( )ln(12 ) lim4, x xfxx x 则 0 ( )2 lim x f x x （） (A)2(B)4(C)6(D)8 21、设fx点0x处二阶可导，求 2 0 220 lim x fxfxf x . 22、设 fx 三阶可导，且 3 0 lim1 x fx x ，则下列说法错误的是（） (A)00f(B) 00f(C) 00f(D) 00f 23、设fx二阶可导， 0 0fx，证明：当0h时， 000 334fxhfxhfx是 2 h的高 阶无穷小 . 24、设 0 arctan lim1 1 ln cos bx x xax ex
8、 ，求,a b. 四幂指函数的处理 25、求下列极限 精心整理 页脚内容 （1） 2 1 limtan n n n n （2） 1 11 limsin n n n n nn （3） 21 limsincos x x xx （4） 1 ln 1 0 1 cos lim 2 xx x x （5） 2 1 0 arcsin lim arctan x x x x （6） 1 2 lim1 x x xx （7） 1 1 0 1 lim x x xe x （8） 0 lim1 x x x e （9） 1 1 limln 2 x x x x（10） 3 0 1 limcos1 x x x x 26、设函数(
9、 )fx在0| 1x有定义，且满足 2 1 2 0 ( ) limcos x x f x xe x ，求 3 0 ( ) lim x f x x . 五夹逼定理与定积分定义 27、设, nn xay且 lim()0, nn n yx则, nn xy（） （A）都收敛于a(B) 都收敛，但不一定收敛于a （C）可能收敛，也可能发散(D) 都发散 28、求下列极限 （1） 100 20 3 limsincos 5 x x x x xx x （2） 1 1 2 1 1 sin2 1 lim 11 x x x xe 29、设0ab，则 1 lim() nn n n ab（） （A）a(B) 1 a(C
10、) b (D) 1 b 30、设0(1,2,., ), kakr则12 lim_ nnn n r n aaa 31、求下列极限 （1） 222 111 lim 12 n nnnn （2） 222222 111 lim 12 n nnnn 精心整理 页脚内容 （3） 2 3333 23 lim. 123 n nnnn nnnnn （4） 23 222 1111 2222 lim. 1231 coscoscoscos n n nnnn （5） 22222 111 lim 12 n n nnnn （6） 22212 lim ln(1) (1)(1) n n n nnn 六单调有界收敛定理 32、设
11、0 0a， 1 ln 1 nn aa，求 lim n n a . 33、设 0 03a， 1 3 nnn aaa，求 lim n n a . 34、 11 3(1) 0(1,2.),lim_ 3 n nn n n a aana a 设，求 精心整理 页脚内容 参考答案 一四则运算 1、 【答案】 ： 3 2 【解析】 ：原式 2 22 000 coscos1cos113 limlimlim cos1 22 xxx xxxx x xx 2、 【答案】 ： 【解析】 ： ， 3、 【答案】 ：. 【解析】：，. 4、 【答案】 ：. 【解析】 ： 5、 【答案】 ：. 【解析】 ： 6、 【答案】
12、 ：(C) 【解析】 ：由得：，所以此时必有：， ，故 7、原式 8、 【答案】 ：. 精心整理 页脚内容 【解析】 ： 9、 【答案】 ：. 【解析】 ： 10、 【答案】 ：. 【解析】 ：. 11、 【答案】 ： （D） 【解析】：若存在，必得存在， 从而应得存在，这与已知矛盾，故A、B不正确 . 对于（ C） ，只需取反例说明即可 例 存在， 不存在 但是存在的，故（ C）必不正确 . 12、 【答案】 ：. 【解析】 ： （1） （3） （4）有不可导点 . 二洛必达法则 13、 （1） 【解析】 ： （2） 【解析】 ： （3） 【解析】 ： （4） 【解析】 ： 精心整理 页脚内
13、容 （5） 【解析】 ：原式 （6） 【解析】 ：原式 14、 【答案】 ：0 【解析】 ：由，知，于是当时，. 故 . 15、 【解析】： 16、 【解析】 ： 17、 （1） 【解析】 ： （2） 【解析】：. 三泰勒公式 18、 （1） 【解析】： （2） 【解析】 ：原式 （3） 【解析】 ： 精心整理 页脚内容 （4） 【解析】 ： （5） 【解析】 ： （6） 【解析】 ：故 （7） 【解析】 ： （8） 【解析】： 19、 【答案】 ：(B) 【解析】 ：利用泰勒公式 由题设 20、 【答案】 ：(C) 【解析】：利用泰勒公式 代入可得，也即 从而有，可知，故选 (C). 21、
14、 【解析】 ：由泰勒公式得 代入可得 . 22、 【答案】 ：(D) 【解析】 ：利用泰勒公式 精心整理 页脚内容 从而有，可知 ，故选 (D). 23、 【解析】 ：由泰勒公式得 从而 24、 【解析】 ： 可知. 四幂指函数的处理 25、 （1） 【解析】 ：原式，在此数列的极限可以转化为函数的极 限问题，考虑极限 ，所以原式 = （2） 【解析】 ： （3） 【解析】 ：令，则 . 故. （4） 【解析】 ： （5） 【解析】 ： （6） 【解析】 ：， 精心整理 页脚内容 故， （7） 【解析】 ： （8） 【解析】 ： （9） 【解析】 ： （10） 【解析】：. 26、 【解析】
15、：. 由极限存在与无穷小量的关系知，上式可改写为 ， 其中满足. 由此解出. 从而 . 五夹逼定理 27、 【答案】 ： （A） 【解析】 ：由得又由及夹逼定理得 ，因此，由此得，故应选（ A） 28、 （1） 【解析】 ：，有界，故 . 精心整理 页脚内容 （2） 【解析】 ：，有界，故. 29、 【答案】：(B) 【解析】 ：，由于且，按 极限的夹逼定理得 30、 【答案】 ： 【解析】：令，则 故当，利用夹逼定理可得 31、 （1） 【解析】 ：由于 再由，则原式 （2） 【解析】： （3） 【解析】 ：， 。 ，。 可知。 （4） 【解析】 ：，。 ，。 精心整理 页脚内容 可知。 （5） 【解析】 ： （6） 【解析】 ： 六单调有界收敛定理 32、 【解析】 ：易证，同时，可知单调有界。 令，可得，从而有。 33、 【解析】 ：易证，同时 ，可知单调有界。 令，可得，从而有。 34、 【解析】 ：， 在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以 恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。