行测数量关系的常用公式讲解.pdf

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1、第 1 页 共 10 页 行测常用数学公式 一、工程问题 工作量工作效率工作时间；工作效率工作量工作时间； 工作时间工作量工作效率；总工作量各分工作量之和； 注：在解决实际问题时，常设总工作量为1 或最小公倍数 二、几何边端问题 （ 1）方阵问题： 1. 实心方阵 ：方阵总人数（最外层每边人数） 2 =（外圈人数4+1） 2=N2 最外层人数（最外层每边人数1） 4 2. 空心方阵： 方阵总人数（最外层每边人数） 2 -（最外层每边人数-2层数） 2 （最外层每边人数- 层数）层数 4=中空方阵的人数。 无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8 人。 3.N 边行每边有a 人

2、，则一共有N(a-1) 人。 4. 实心长方阵：总人数=M N 外圈人数 =2M+2N-4 5. 方阵：总人数 =N 2 N 排 N列外圈人数 =4N-4 例：有一个3 层的中空方阵，最外层有10 人，问全阵有多少人？解： （103） 3 484（人） (2) 排队型： 假设队伍有N人， A排在第 M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人 (3) 爬楼型： 从地面爬到第N层楼要爬（ N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬 NM 层。 三、植树问题 线型棵数 =总长 / 间隔 +1 环型棵数 =总长 / 间隔楼间棵数 =总长 / 间隔 -1 （1）单边 线形植树 ：棵数总长间隔 1；总长 =

3、（棵数 -1 ） 间隔 （2）单边 环形植树 ：棵数总长间隔；总长 =棵数 间隔 （3）单边 楼间植树 ：棵数总长间隔 1；总长 =（棵数 +1） 间隔 （4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2 倍。 （5）剪绳问题 ：对折 N次，从中剪M刀，则被剪成了（2 NM 1） 段 四、行程问题 路程速度时间；平均速度总路程总时间 平均速度型 ：平均速度 21 21 2 vv vv （ 2）相遇追及型 ：相遇问题：相遇距离=（大速度 +小速度） 相遇时间 追及问题：追击距离=（大速度小速度） 追及时间 背离问题：背离距离=（大速度 +小速度） 背离时间 （ 3）流水行船型 ： 顺水速度船速水速；逆

4、水速度船速水速。 顺流行程 =顺流速度 顺流时间 =（船速 +水速） 顺流时间 逆流行程 =逆流速度 逆流时间 =（船速水速） 逆流时间 （ 4）火车过桥型 ： 列车在桥上的时间（桥长车长）列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度 列车速度 =（桥长 +车长）过桥时间 （ 5）环形运动型 ： 反向运动：环形周长=（大速度 +小速度） 相遇时间 同向运动：环形周长=（大速度小速度） 相遇时间 第 2 页 共 10 页 （ 6）扶梯上下型：扶梯总长 =人走的阶数 （1 人 梯 u u ） ， （顺行用加、逆行用减） 顺行：速度之和时间=扶梯总长 逆行：速度之差时间=扶梯总长

5、 （ 7）队伍行进型 ： 对头队尾：队伍长度=（u人+u队） 时间 队尾对头：队伍长度=（u人u队） 时间 （ 8）典型行程模型： 等距离平均速度： 21 21 2 uu uu u（U1、U2分别代表往、返速度） 等发车前后过车：核心公式： 21 21 2 tt tt T， 12 12 tt tt u u 人 车 等间距同向反向： 21 21 uu uu t t 反 同 不间歇多次相遇：单岸型 ： 2 3 21 ss s两岸型 ： 21 3sss（s 表示两岸距离） 无动力顺水漂流：漂流所需时间= 顺逆 顺逆 tt tt2 （其中 t顺和 t逆分别代表船顺溜所需时间和逆流所需时间） 五、溶液问

6、题 溶液=溶质+溶剂浓度=溶质溶液溶质=溶液浓度溶液=溶质浓度 浓度分别为 a%、b%的溶液，质量分别为M、N，交换质量 L 后浓度都变成 c%，则 混合稀释型 等溶质增减溶质核心公式： 31 31 2 2 rr rr r（其中 r1、 r2、 r3分别代表连续变化的浓度） 六、利润问题 （ 1）利润销售价（卖出价）成本；利润率 成本 利润 成本 销售价成本 成本 销售价 1； （ 2）销售价成本（1利润率）；成本 利润率 销售价 1 。 第 3 页 共 10 页 （ 3）利息本金利率时期；本金本利和（1+利率时期） 。 本利和本金利息本金（1+利率时期）= 期限 利率）（本金1； 月利率 =

7、年利率 12；月利率 12=年利率。 例：某人存款2400 元，存期 3 年，月利率为102（即月利1 分零 2 毫） ，三年到期后， 本利和共是多少元？” 2400 （ 1+10 2 36） =2400 13672 =3281 28（元） 七、年龄问题 关键 是年龄差不变 ；几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄 几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差 八、容斥原理 两集合标准型： 满足条件I 的个数 +满足条件II 的个数两者都满足的个数=总个数两者都不满足的个数 三集合标准型：CBA=CBACACBBACBA 三集和图标标数型： 三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为ABC ，而至少满足三个

8、条件之一的元素的总量为W 。其 中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得以下 等式： W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z 九、牛吃草问题 核心公式： y=(Nx)T 原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为X 注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃 W亩草时”， N用 W M 代入，此时N代表单位面积上的牛数。 十、指数增长 如果有一个量，每个周期后变为原来的A 倍，那么N 个周期后就是最开始的A N 倍，一个周期前应该是当 时的 A 1 。 十一、调和平均数 调和平均数公式： 21 21 2 aa aa a 等价钱

9、平均价格核心公式： 21 21 2 pp pp p（P1、P2分别代表之前两种东西的价格 ） 等溶质增减溶质核心公式： 31 31 2 2 rr rr r（其中 r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度） 十二、减半调和平均数 核心公式： 21 21 aa aa a 十三、余数同余问题 核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期” 第 4 页 共 10 页 注意： n 的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。 十四、星期日期问题 闰年（被4 整除）的2 月有 29 日，平年（不能被4 整除）的2 月有 28 日，记口诀：一年就是1，润日再 加 1；一月就是2，多少再补算。 平年

10、与闰年 判断方法年共有天数2 月天数 平 年不能被 4 整除365 天28 天 闰 年可以被 4 整除366 天29 天 星期推断：一年加 1 天；闰年再加1 天。 大月与小月 包括月份月共有天数 大月1、 3、5、7、8、10、12 31 天 小月2、 4、6、9、11 30 天 注意： 星期每 7 天一循环；“隔 N天”指的是“每（N+1)天” 。 十五、不等式 （ 1）一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x2) 其中：x1= a acbb 2 4 2 ；x2= a acbb 2 4 2 （b 2-4ac 0） 根与系数的关系：x1+x2=- a b ，x1x2

11、= a c （ 2）abba2ab ba 2 ) 2 (abba2 22 abc cba 3 ) 3 ( （ 3）abccba3 222 abccba 3 3 推广： n n n xxxnxxxx 21321 （ 4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。 （ 5）两项分母列项公式： )(amm b =( m 1 am 1 ) a b （ 6）三项分母裂项公式： )2)(amamm b = )( 1 amm )2)( 1 amam a b 2 十六、排列组合 （ 1）排列公式 ：P m n n（ n1） （ n2）（ nm 1） ， （m n） 。567 3 7

12、 A （ 2）组合公式：Cm n Pm n Pm m （规定 0 n C1） 。 123 3453 5 c （ 3）错位排列（装错信封）问题：D10，D21，D32，D49，D544， D6 265， （ 4）N人排成一圈有 N N A/N 种；N枚珍珠串成一串有 N N A/2 种。 第 5 页 共 10 页 十七、等差数列 （ 1）sn 2 )( 1n aan na1+ 2 1 n(n-1)d ；（2）an a1（ n1） d；（3）项数n d aan 1 1； （ 4）若 a,A,b 成等差数列，则：2Aa+b；（5）若 m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ； （ 6）前 n 个

13、奇数： 1，3，5，7，9，（ 2n1）之和为 n 2 （其中： n 为项数， a1为首项， an为末项， d 为公 差， sn为等差数列前n 项的和） 十八、等比数列 （ 1）ana1q n 1； （2）sn q qa n 1 1 1 ）（ （q1）（3）若 a,G,b 成等比数列，则：G 2ab； （ 4）若 m+n=k+i，则：aman=akai ；（5）am-an=(m-n)d （ 6） n m a a q (m-n) （其中： n 为项数， a1为首项， an为末项， q 为公比， sn为等比数列前n 项的和） 十九、典型数列前N项和 4.2 4.3 4.7 平方 数 底数1 2 3

14、 4 5 6 7 8 9 10 11 平方1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 底数12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 平方144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 底数23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 平方529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 立方 数 底数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 立方1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 1331 多次 次方1 2 3

15、 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 3 3 9 27 81 243 729 第 6 页 共 10 页 方数4 4 16 64 256 1024 5 5 25 125 625 3125 6 6 36 216 1296 7776 次方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 底数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 4 4 6 4 6 4 6 4 6 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7

16、 9 3 1 7 9 3 1 7 8 8 4 2 6 8 4 2 6 8 9 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 既不是质数也不是合数 1.200 以内质数2 3 5 7 101 103 109 11 13 17 19 23 29 113 127 131 137 31 37 41 43 47 53 59 139 149 151 157 163 167 61 67 71 73 79 83 89 97 173 179 181 191 193 197 199 2. 典型形似 质数分解 91=713 111=337 119=717 133=7 19 117=913 143=1133 147=721

17、 153=713 161=723 171=919 187=1117 209=1911 1001=71113 3. 常用“非唯一”变换 数字 0 的变换 :)0(00N N 数字 1 的变换：)0()1(11 20 aa NN 特殊数字变换： 24 4216 236 84264 24 9381 28 1642256 39 82512 623 3279729 2510 32421024 个位幂次数字： 12 424 13 828 12 939 二十、基础几何公式 1. 勾股定理： a 2+b2=c2( 其中： a、b 为直角边， c 为斜边 ) 常用勾 股数 直角边3 6 9 12 15 5 10

18、 7 8 直角边4 8 12 16 20 12 24 24 15 斜边5 10 15 20 25 13 26 25 17 2. 面积公式： 正方形 2 a长方形ba三角形cabahsin 2 1 2 1 梯形hba)( 2 1 圆形R 2 平行四边形 ah 扇形 0 360 n R 2 第 7 页 共 10 页 3. 表面积： 正方体 6 2 a长方体)(2acbcab圆柱体 2r 22 rh 球的表面积4R 2 4. 体积公式 正方体 3 a长方体abc圆柱体 Shr 2h 圆锥 3 1 r 2h 球 3 3 4 R 5. 若圆锥的底面半径为r ，母线长为l，则它的侧面积：S侧rl； 6.

19、图形等比缩放型： 一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则： 1.所有对应角度不发生变化； 2.所有对应 长度 变为 原来的 m倍； 3.所有对应 面积 变为 原来的 m 2 倍 ； 4.所有对应 体积 变为 原来的 m 3 倍。 7. 几何最值型： 1. 平面图形中，若周长一定 ，越接近与圆 ，面积越大 。 2. 平面图形中，若面积一定 ，越接近于圆 ，周长越小 。 3.立体图形中，若表面积一定 ，越接近于球 ，体积越大 。 4.立体图形中，若体积一定 ，越接近于球 ，表面积越大 。 数量关系归纳分析 一、等差数列：两项之差、商成等差数列 1. 60 ， 30 ， 20 ， 15 ， 12

20、， （ ） 2. 23， 423 ， 823 ， （ ） 3. 1， 10 ， 31 ， 70 ， 123 （ ） 二、 “两项之和（差） 、积（商）等于第三项”型 基本类型： 两项之和（差） 、积（商）第3 项； 两项之和（差） 、积（商）某数第3 项。 4. -1，1， （ ） ， 1，1，2 5. ， （ ） ， 0， 6. 1944， 108 ， 18 ， 6 ， （ ） 7. 2，4，2， （） ， 三、平方数、立方数 1)平方数列 。1， 4，9，16，25， 36，49，64，81，100， 121。 。 。 2)立方数列 。 1 ，8，27，64，125，216，343。 。

21、。 8. 1， 2 ， 3 ， 7 ， 46 ， （） 9. -1， 0 ， -1 ， （） ， -2 ， -5 ，-33 四、升、降幂型 10. 24， 72 ， 216 ， 648 ， （ ） A. 1296 B.1944 C. 2552 D. 3240 11. ， 1 ， 2 ， （） ， 24 A. 3 B.5 C. 7 D. 10 八、跳跃变化数列及其变式 13. 9， 15 ， 22 ， 28 ， 33 ， 39 ，55， （） A. 60 B.61 C. 66 D. 58 九、分数数列（分子、分母各成不相关的数列或分子、分母交叉看） 16. ， （） A. B. C. 1 D.

22、17. ， （） ， A. B. C. D. 十、阶乘数列 18. 1， 2 ， 6 ， 24 ， （） ， 720 A. 109 B. 120 C. 125 D. 169 十一、余数数列 19. 15， 18 ， 54 ， （） ， 210 A. 106 B. 107 C. 123 D. 112 第 8 页 共 10 页 技巧方法： ( 一) 观察数列的变化趋势。 1、单调上升或下降的数列。 “先减加，再除乘，平方立方增减项” 2、波动性的数列。“隔项相关 ” 3、先升后降的数列。 “底数上升，指数下降的幂数列” “最后一项为分子为1 的分数，倒数第二项为1” 1、16,25,34,43,5

23、2,61,70,8-1,即 1 ，32，81，64，25， 6，1，1/8 ； 整除判定基本法则 1. 能被 2、4、 8、5、25、125 整除的数的数字特性 能被2( 或5) 整除的数（余数） ，末一位 数字能被2( 或 5、 0) 整除（余数） ; 能被4( 或25) 整除的数（余数） ，末两位数字能被4(或 25) 整除（余数） ; 能被8( 或125) 整除的数（余数） ，末三位数字能被8(或 125) 整除（余数） ; 2. 能被 3、9 整除的数的数字特性 能被3( 或9) 整除的数（余数） ，各位数字和能被 3(或 9) 整除（余数） 。 3. 能被 11 整除的数的数字特性

24、能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被 11 整除。 4. 能被 6：能被 2 和 3 整除； 能被 10：末位是 0；能被 12：能被 3 和 4 整除 数量关系公式 1. 两次相遇公式：单岸型S=(3S1+S2)/2 两岸型S=3S1-S2 例题： 两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开 往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客 上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？ A. 1120 米B. 1280 米C. 1520

25、 米D. 1760 米 典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸 720 米处相遇、距离乙岸 400 米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760 选 D 如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取 决于参照的是一边岸还是两边岸 2. 漂流瓶公式： T= （2t 逆*t 顺） / （t 逆-t 顺） 例题 ：AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，AB，从A城到 B城需行 3 天时间，而从B城到 A城需行 4 天，从 A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？ A、3 天 B、21 天 C、24 天 D、木筏无法自己漂到B城 解：

26、公式代入直接求得24 3. 沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/ （t1+t2 ）车速 / 人速 =(t1+t2)/ (t2-t1) 例题： 小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6 分 钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑 车速度的（）倍？ A. 3 B.4 C. 5 D.6 解：车速 / 人速=（10+6）/ （10-6）=4 选 B 4. 往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2) 例题： 一辆汽车从A地到 B地的速度为每小时30 千米，返回时速度为每小

27、时20 千米，则它的平均速度为多 少千米 / 小时？（） A.24 B.24.5 C.25 D.25.5 解：代入公式得2*30*20/(30+20)=24选 A 5. 电梯问题：能看到级数=（人速 +电梯速度） *顺行运动所需时间（顺） 能看到级数 =（人速 - 电梯速度） *逆行运动所需时间（逆） 6. 什锦糖问题公式：均价A=n / （ 1/a1 ）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an) 例题： 商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖 每千克费用分别为4.4 元， 6 元， 6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦 第 9 页 共 10 页 糖，那么这种

28、什锦糖每千克成本多少元？ A4.8 元 B5 元 C5.3 元 D5.5 元 7. 十字交叉法： A/B=(r-b)/(a-r) 例：某班男生比女生人数多80% ， 一次考试后， 全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ， 则此班女生的平均分是： 析：男生平均分X，女生 1.2X 1.2X 75-X 1 75 = X 1.2X-75 1.8 得 X=70 女生为 84 9. 一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2 的 N次方 *M+1）段 10. 方阵问题：方阵人数=（最外层人数/4+1 ）的 2 次方 N 排 N列最外层有4N-4 人 例 ：某校的学生刚好排成一个

29、方阵，最外层的人数是96 人，问这个学校共有学生？ 析：最外层每边的人数是96/4+125，则共有学生25*25=625 11. 过河问题： M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A）/ (N-A)次 例题( 广东 05) 有 37 名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（ ） A.7 B. 8 C.9 D.10 解：（37-1 ）/ （5-1）=9 15. 植树问题：线型棵数=总长 / 间隔 +1 环型棵数 =总长 / 间隔楼间棵数 =总长 / 间隔 -1 例题： 一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156M 186M 234M，树与树之

30、间距离为6M ，三个角上必 须栽一棵树，共需多少树？ A 93 B 95 C 96 D 99 12. 星期日期问题：闰年（被4 整除）的2 月有 29 日，平年（不能被4 整除）的2 月有 28 日，记口诀：一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算 例： 2002 年 9 月 1 号是星期日2008 年 9 月 1 号是星期几？ 因为从 2002 到 2008 一共有 6 年，其中有 4 个平年， 2 个闰年，求星期，则：4X1+2X2=8 ，此即在星期日的基础上加8，即加 1，第二天。 例： 2004 年 2 月 28 日是星期六 , 那么 2008 年 2 月 28 日是星期几？ 4

31、+15，即是过 5 天，为星期四。（ 08 年 2 月 29 日没到） 13. 复利计算公式：本息=本金 * （ 1+利率）的N次方， N为相差年数 例题：某人将10 万远存入银行，银行利息2%/年，2 年后他从银行取钱，需缴纳利息税，税率为20%,则税后他 能实际提取出的本金合计约为多少万元？（） A.10.32 B.10.44 C.10.50 D10.61 两年利息为（ 1+2% ）的平方 *10-10=0.404 税后的利息为0.404* （1-20%）约等于 0.323 ，则提取出的本金合计约为10.32 万元 14. 牛吃草问题：草场原有草量=（牛数 - 每天长草量） * 天数 例题

32、：有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10 台抽水机需抽8 小时， 8 台抽水机需抽12 小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？ A、16 B 、20 C、24 D、28 解：（ 10-X）*8=（8-X）*12 求得 X=4 （10-4）*8=（6-4）*Y 求得答案 Y=24 公式熟练以后可以不设方程直接求出来 16：比赛场次问题：淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1 淘汰赛需决前四名场次=N 单循环赛场次为组合N人中取 2 双循环赛场次为排列N人中排 2 比赛赛制比赛场次 循环赛 单循环赛参赛选手数（参赛选手数1 ）/2 双循环赛参赛选手数（参赛选手数1 ） 淘汰赛 只决出冠（亚）军参赛选手数1 要求决出前三（四）名参赛选手数 8.N 人传接球M次公式：次数=（N-1）的 M次方 /N 最接近的整数为末次传他人次数，第 二接近的整数为末次传给自己的次数 例题：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五 次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。 第 10 页 共 10 页 A. 60 种 B. 65种 C. 70种 D. 75种 公式解题： (4-1)的 5 次方 / 4=60.75 最接近的是61 为最后传到别人次数，第二接近的是60 为最后传给自己的次数