行程问题公式讲解.pdf

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1、行程问题公 式 基本概念 行程问题是研究物体运动的，它研 究的是物体速度、 时间、行程三者之间 的关系。 基本公式 路程速度时间； 路程时间 =速度； 路程速度 =时间 关键问题 确定行程过程中的位置路程相 遇路程速度和 =相遇时间相遇路程 相遇时间 = 速度和 相遇问题（直线） 甲的路程 +乙的路程 =总路程 相遇问题（环形） 甲的路程 + 乙的路程 =环形周长 追及问题 追及时间路程差速度差 速度差路程差追及时间 路程差追及时间速度差 追及问题（直线） 距离差 =追者路程 - 被追者路程 =速 度差 X追及时间 追及问题（环形） 快的路程 - 慢的路程 =曲线的周长 流水问题 顺水行程（船

2、速水速）顺水 时间 逆水行程（船速水速）逆水 时间 顺水速度 =船速水速 逆水速度船速水速 静水速度 = （顺水速度逆水速度） 2 水速： （顺水速度逆水速度）2 解题关键 船在江河里航行时， 除了本身的前 进速度外，还受到流水的推送或顶逆， 在这种情况下计算船只的航行速度、时 间和所行的路程，叫做流水行船问题。 流水行船问题， 是行程问题中的一 种，因此行程问题中三个量（速度、时 间、 路程）的关系在这里将要反复用到. 此外，流水行船问题还有以下两个基本 公式： 顺水速度 =船速 +水速，（ 1） 逆水速度 =船速 - 水速. （2） 这里，船速是指船本身的速度，也 就是在静水中单位时间里所

3、走过的路 程. 水速，是指水在单位时间里流过的 路程 . 顺水速度和逆水速度分别指顺流 航行时和逆流航行时船在单位时间里 所行的路程。 根据加减法互为逆运算的关系，由 公式（ l ）可以得到： 水速 =顺水速度 - 船速， 船速 =顺水速度 - 水速。 由公式（ 2）可以得到： 水速 =船速- 逆水速度， 船速 =逆水速度 +水速。 这就是说，只要知道了船在静水中 的速度，船的实际速度和水速这三个量 中的任意两个，就可以求出第三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速 度，根据公式（ 1）和公式（ 2），相加 和相减就可以得到： 船速 =（顺水速度 +逆水速度） 2， 水速 =（顺水速度 - 逆

4、水速度） 2。 例：设后面一人速度为x，前面得为 y， 开始距离为 s，经时间 t 后相差 a 米。那 么 （x-y)t=s-a 解得 t=s-a/x-y. 追及路程除以速度差（快速- 慢速） =追及时间 v1t+s=v2t (v1+v2)t=s t=s/(v1+v2) （一）相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道 上作背向运动，随着时间的发展，必然 面对面地相遇， 这类问题叫做相遇问题。 它的特点是两个运动物体共同走完整个 路程。 小学数学教材中的行程问题，一般是指 相遇问题。 相遇问题根据数量关系可分成三种类 型：求路程，求相遇时间，求速度。 它们的基本关系式如下： 总路程 =（甲速

5、 +乙速）相遇时间 相遇时间 =总路程（甲速 +乙速） 另一个速度 =甲乙速度和 -已知的一个速 度 （二）追及问题 追及问题的地点可以相同（如环形跑道 上的追及问题），也可以不同，但方向 一般是相同的。由于速度不同，就发生 快的追及慢的问题。 根据速度差、距离差和追及时间三者之 间的关系，罕用下面的公式： 距离差 =速度差追及时间 追及时间 =距离差速度差 速度差 =距离差追及时间 速度差 =快速- 慢速 解题的关键是在互相关联、互相对应的 距离差、速度差、追及时间三者之中， 找出两者，然后运用公式求出第三者来 达到解题目的。 （三）二、相离问题 两个运动物体由于背向运动而相离，就 是相离问

6、题。解答相离问题的关键是求 出两个运动物体共同趋势的距离（速度 和）。 基本公式有： 两地距离 =速度和相离时间 相离时间 =两地距离速度和 速度和 =两地距离相离时间 流水问题 顺流而下与逆流而上问题通常称为流水 问题，流水问题属于行程问题，仍然利 用速度、时间、路程三者之间的关系进 行解答。解答时要注意各种速度的涵义 及它们之间的关系。 船在静水中行驶，单位时间内所走的距 离叫做划行速度或叫做划力；顺水行船 的速度叫顺流速度；逆水行船的速度叫 做逆流速度；船放中流，不靠动力顺水 而行，单位时间内走的距离叫做水流速 度。各种速度的关系如下： （1）划行速度 +水流速度 =顺流速度 （2）划行

7、速度 - 水流速度 =逆流速度 （3）（顺流速度 + 逆流速度） 2=划行 速度 （4）（顺流速度 -逆流速度） 2=水流 速度 流水问题的数量关系仍然是速度、时间 与距离之间的关系。即：速度时间= 距离；距离速度 =时间；距离时间 = 速度。但是，河水是流动的，这就有顺 流、逆流的区别。在计算时，要把各种 速度之间的关系弄清楚是非常必要的。 1 每份数 份数总数 总数 每份数份数 总数 份数每份数 2 1 倍数 倍数几倍数 几倍数 1 倍数倍数 几倍数 倍数 1 倍数 3 速度 时间路程 路程 速度时间 路程 时间速度 4 单价 数量总价 总价 单价数量 总价 数量单价 5 工作效率 工作时

8、间工作总量 工作总量 工作效率工作时间 工作总量 工作时间工作效率 6 加数加数和 和一个加数另一个加数 7 被减数减数差 被减数差减数 差减数被减数 8 因数 因数积 积 一个因数另一个因数 9 被除数 除数商 被除数 商除数 商 除数被除数 小学数学图形计算公式 1 正方形 C 周长 S 面积 a 边长 周长边长 4 C=4a 面积=边长 边长 S=aa 2 正方体 V:体积 a:棱长 表面积 =棱长 棱长 6 S 表=a a 6 体积=棱长 棱长 棱长 V=aa a 3 长方形 C 周长 S 面积 a 边长 周长=(长+宽) 2 C=2(a+b) 面积=长 宽 S=ab 4 长方体 V:

9、体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长 宽+长 高+宽 高) 2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长 宽 高 V=abh 5 三角形 s 面积 a 底 h 高 面积=底 高 2 s=ah2 三角形高 =面积 2 底 三角形底 =面积 2 高 6 平行四边形 s 面积 a 底 h 高 面积=底 高 s=ah 7 梯形 s 面积 a 上底 b 下底 h 高 面积=(上底+下底) 高 2 s=(a+b) h 2 8 圆形 S 面积 C 周长 d=直径 r=半径 (1)周长=直径 =2半径 C=d=2r (2)面积=半径 半径 9 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:

10、底面半径c: 底面周长 (1)侧面积=底面周长 高 (2)表面积=侧面积 +底面积 2 (3)体积=底面积 高 （4）体积侧面积 2 半径 10 圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积 高 3 总数 总份数平均数 和差问题的公式 (和差 ) 2大数 (和差 ) 2小数 和倍问题 和 (倍数 1)小数 小数 倍数大数 (或者 和小数大数 ) 差倍问题 差 (倍数 1)小数 小数 倍数大数 (或 小数差大数 ) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为 以下三种情形 : 如果在非封闭线路的两端都要植树, 那么: 株数段数 1全长 株距 1 全长株距 (株数 1) 株

11、距全长 (株数 1) 如果在非封闭线路的一端要植树,另 一端不要植树 ,那么: 株数段数全长 株距 全长株距 株数 株距全长 株数 如果在非封闭线路的两端都不要植树, 那么: 株数段数 1全长 株距 1 全长株距 (株数 1) 株距全长 (株数 1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如 下 株数段数全长 株距 全长株距 株数 株距全长 株数 盈亏问题 (盈亏 ) 两次分配量之差参加分配的 份数 (大盈小盈 ) 两次分配量之差参加分 配的份数 (大亏小亏 ) 两次分配量之差参加分 配的份数 相遇问题 相遇路程速度和 相遇时间 相遇时间相遇路程 速度和 速度和相遇路程 相遇时间 追及问题 追及距

12、离速度差 追及时间 追及时间追及距离 速度差 速度差追及距离 追及时间 流水问题 顺流速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度 静水速度 (顺流速度逆流速度 ) 2 水流速度 (顺流速度逆流速度 ) 2 浓度问题 溶质的重量溶剂的重量溶液的重量 溶质的重量 溶液的重量 100%浓度 溶液的重量 浓度溶质的重量 溶质的重量 浓度溶液的重量 利润与折扣问题 利润售出价成本 利润率利润 成本 100%(售出价 成本 1) 100% 涨跌金额本金 涨跌百分比 折扣实际售价 原售价 100%(折扣 1) 利息本金 利率 时间 税后利息本金 利率 时间 (120%) 奥数行程问题的基本公式 时间：

13、2010 年 02 月 02 日作者：来源： 互联网点击量： 244 基本公式： 路程速度时间； 路程时间 速度；路程速度时间 基本概念： 行程问题是研究物体运动的，它 研究的是物体速度、 时间、 行程三者之间的关系。 关键问题：确定行程过程中的位置 相遇问题：速度和相遇时间相遇路程 （请写出其他公式） 追击问题： 追击时间路程差速度差 （写 出其他公式） 流水问题：顺水行程（船速水速）顺 水时间 逆水行程（船速水速）逆水时间 顺水速度船速水速逆水速度船速 水速 静水速度 （顺水速度逆水速度） 2 水 速（顺水速度逆水速度）2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度， 参照以上公式。 过桥问题：

14、关键是确定物体所运动的路程， 参照以上公式。 仅供参考： 【和差问题公式】 （和+差） 2=较大数； （和- 差） 2=较小数。 【和倍问题公式】 和（倍数 +1）=一倍数； 一倍数倍数 =另一数， 或 和- 一倍数 =另一数。 【差倍问题公式】 差（倍数 -1 ）=较小数； 较小数倍数 =较大数， 或 较小数 +差=较大数。 【平均数问题公式】 总数量总份数 =平均数。 【一般行程问题公式】 平均速度时间 =路程； 路程时间 =平均速度； 路程平均速度 =时间。 【反向行程问题公式】 反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人 从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人 背向而行）两种。这两种题

15、，都可用下面的公式 解答： （速度和）相遇（离）时间=相遇（离） 路程； 相遇（离）路程（速度和）=相遇（离） 时间； 相遇（离）路程相遇（离）时间=速度和。 【同向行程问题公式】 追及（拉开）路程（速度差）=追及（拉 开）时间； 追及（拉开）路程追及（拉开）时间=速 度差； （速度差）追及（拉开）时间=追及（拉 开）路程。 【列车过桥问题公式】 （桥长 +列车长）速度 =过桥时间； （桥长 +列车长）过桥时间 =速度； 速度过桥时间 =桥、车长度之和。 【行船问题公式】 （1）一般公式： 静水速度（船速） +水流速度（水速） =顺水 速度； 船速- 水速=逆水速度； （顺水速度 +逆水速度）

16、 2=船速； （顺水速度 - 逆水速度） 2=水速。 （2）两船相向航行的公式： 甲船顺水速度 +乙船逆水速度 =甲船静水速 度+乙船静水速度 （3）两船同向航行的公式： 后（前）船静水速度 - 前（后）船静水速度 = 两船距离缩小（拉大）速度。 （求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上 面有关的公式去解答题目）。 思维调查卷 时间： 30 分钟总分： 100分（基分 20） 姓名： _ 得分： _ 试卷说明： 本卷共 6 题，要求简单明了写出 解答过程，最后的结果请填在试题的横线上。 1. 甲、乙两人同时同地同向出发， 沿环行跑道匀 速跑步，如果出发时乙的速度是甲的2.5 倍， 当乙第一次追上

17、甲时，甲的速度立即提高 1 4 ， 而乙的速度立即减少 1 5 ，并且乙第一次追上甲 的地点与第二次追上甲的地点相距（较短距 离） 100米， 那么这条环行跑道的周长是_ 米； 解：设甲原来的速度是1 个单位，则乙原来的速 度是 2.5 个单位，甲后来的速度是1.25 个 单位，乙后来的速度是2 个单位。设第一 次甲跑了 x 圈时被乙追上，则此时乙跑了 (x+1)圈；被追上后甲又跑了y 圈再次被乙 追上，则乙又跑了 (y+1)圈。利用两次甲乙跑的时 间相等列方程： 5.2 1 1 xx 2 1 25.1 yy A C B 解得： 3 2 1, 3 2 yx 如图，若两人从 A 出发逆时针跑，

18、则第一次乙在 B 点追上甲，第二次在C 点追上甲（ A、B、C 是圆周的三等分点）。因为 B、C 相距 100 米， 所以环形跑道的周长为 3003100米。 2. 两块手表走时一快一慢， 快表每 9 小时比标准 表快 3 分钟， 慢表每 7 小时比标准表慢 3分钟。 现在把快表指示时间调成是8:15， 慢表指示时 间调成 8:31， 那么两表第一次指示的相同时刻 是_:_； 答案： 5：22 3. 一艘船在一条河里5 个小时往返 2 次， 第一小 时比第二小时多行4 千米，水速为 2 千米小 时，那么第三小时船行了_千米； 解：首先判断出开始是顺流。在第1 小时和第 2 小时这两个相等的时间

19、内，速差是4，路程差也 是 4，那么得到第 1 小时正好是走一个顺流的长 度。由于第1 个小时在顺水时走的才是一个全 长，那么第 4 小时肯定是逆水。 具体行驶情况如 图。 再者，第 2 小时和第 3 小时逆行的路程都是 4，那么它们顺行的路程也必须相等，故第3 小 时的最终时刻到全长的中点。 最后， 比较第 3 小时和第 3 小时行 驶的情况：设全长为2a 千米，船在静 水中的速度为每小时x 千米。 4242 2222 aaa xxxx ， 解得 a10 千米。 4. 小明早上从家步行到学校，走完一半路程时， 爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车 去给小明送书，追上时，小明还有 3 10

20、 的路程未 走完，小明随即上了爸爸的车， 由爸爸送往学 校。这样，小明就比独自步行提早了5 分钟到 学校，小明从家到学校全部步行需要_ 分钟； 解： 小明走 712 10210 ，与小明的爸爸走 7 10 的时间相 同，所以他们的速度比是 7 10 ： 2 10 7：2，接下来 如果小明步行，爸爸骑车都走 3 10 的路程，那么小 明 就 多 用 5 分 钟 ， 设 速 度 的 一 份为 x， 则 4 4 333 275, 1010140 xxx，所以小明的速度是 33 2 14070 ，从 家到学校的路程是1，所用时间是 31 123 703 分钟。 行程问题下 【老师寄语】：解行程问题要会

21、读题，一遍 快速归类浏览； 二遍逐句解读整理； 三遍回头寻 找误解。最终要学会“纸上谈兵” 。 陈拓 一、环行运动： 1. 男、女两名运动员同时同向从环形跑道上A 点出发跑步，每人每跑完一圈后到达A 点会 立即调头跑下一圈。 跑第一圈时， 男运动员平 均每秒跑 5 米，女运动员平均每秒跑3 米。此 后男运动员平均每秒跑3 米， 女运动员平均每 秒跑 2 米。已知二人前两次相遇点相距88 米 （ 按 跑 道 上 最 短 距 离 ） ， 那 么 这条 跑 道 长 _米； 解： 因为第一圈时男运动员的速度是女运动员的 5 3 倍，所以男运动员跑完第一圈后，女运动员刚 刚跑到 3 5 全长的位置。这时

22、男运动员调头和女运 动员以相同的速度相向而行， 所以第一次相遇点 在距 A 点 1 5 全长处。 下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇 前，男运动员已经跑完第二圈， 男运动员跑第二 圈的速度与女运动员第一圈的速度相同，所以在 男运动员跑完第二圈时， 女运动员跑第二圈的时 间恰好等于男运动员跑第一圈的时间，而女运动 员跑第二圈的速度是男运动员跑第一圈速度的 2 5 ，所以女运动员刚好跑到距A 点 2 5 的位置，此 时男女运动员相向运动，男运动员的速度为 3m/s，女运动员的速度为2m/s。这样第二次相 遇点距 A 点 9 25 。 两次相遇点间的距离为总全长的 1914 52525 。所以

23、两点在跑道上的最短距离为全长的 1114 1 2525 。而这段距离又为 88 米。所以 88 11 25 200 米。 2. 在一圈 300 米的跑道上， 甲、乙、丙 3 人同时 从起跑线出发， 按同一方向跑步， 甲的速度是 6 千米/小时，乙的速度是 30 7 千米/小时，丙的速 度是 3.6 千米/小时， _分钟后 3 人跑到一 起，_小时后三人同时回到出发点； 分析： 我们注意到， 3 人跑到一起的意思是快者 比慢者跑的路程差应是300 的整数倍；如果都同 时回到出发点， 那么每人跑的路程都是300 的整 数倍。同时注意到本题的单位不统一，首先换算 单位，然后利用求两个分数的最小公倍数

24、的方法 可以解决问题。 解： （1）先换算单位： 甲的速度是 6000 100 60 米/分钟； 乙的速度是 30000500 7607 米/分钟；丙的速度是 18000 60 560 米 /分钟。 （2）设 t 分钟 3 人第一次跑到一起，那么3 人 跑的路程分别是 100t米、 500 7 t米、60t米。路程差 20080 40 , 77 ttt都是 300的整数倍。而 300 3007 300715 37 157105 , 40200802242 t， 所以第一次 3 人跑到 一起的时间是 105 2 分钟。 （3）设 k 分钟 3 人同时回到起点，那么3 人跑 的路程分别是 100t

25、米、 500 7 t米、60t米。每个路程都 是 300 的整数倍。而 300 3007 30021 ,3,5105 100500605 t，所以 3 人同时回到起点的时间是105分钟。 评注：求几个分数的最小公倍数的方法是：所有 分子的最小公倍数作分子， 所有分母的最大公约 数作分母得到的分数。 3. 某体育馆有两条周长分 A C B B A 别为 150米和 250 米的圆形跑道 如图 ，甲、 乙俩个运动员分别从两条跑道相距最远的两 个端点 A、B 两点同时出发，当跑到两圆的交 汇点 C 时，就会转入到另一个圆形跑道，且 在小跑道上必须顺时针跑， 在大跑道上必须逆 时针跑。甲每秒跑 4 米

26、，乙每秒跑 5 米，当乙 第 5 次与甲相遇时，所用时间是_秒。 分析：本题如果按原来的图形思考，会是非常麻 烦的事，需要分段计算，然后找到周期，这样没 有细心的计算是很难解决问题的。现在我们注意 到在小圆上是顺时针， 在大圆上是逆时针， 如果 这两个圆能 “ 拧开 ” 就是一个在周长400 米的大 圆上的不同起点同时的追及问题，题目一下子变 得非常简单了。 解：根据分析，甲在 A 处，乙在 B 处，相距 200 米同时同向而行， 乙速较快， 第一次追上甲要多 跑 200 米，以后每追上一次乙都要比甲多跑400 米 ， 那 么 第 五 次 乙 追 上 甲 时 ， 比 甲 多 跑 400 4+2

27、001800 米，需要的时间是1800 （5 4）1800 秒。 评注： 当一个问题按试题指引的方向比较 复杂时，有时可以换一个角度得以使试题 A B C D N P M 8 6 12 9 简化，而题目本身并没有实质上的变化，这是解 决数学问题经常用到的 “ 转化” 的数学思想。 4. 如图，正方形ABCD 是一条环行公路。已知 汽车在 AB 上时速是 90 千米，在 BC 上的时 速是 120 千米，在 CD 上的时速是 60 千米， 在 DA 上的时速是 80 千米。从 CD 上一点 P， 同时反向各发出一辆汽车， 它们将在 AB 中点 相遇。如果从 PC 的中点 M，同时反向各发出 一辆

28、汽车，它们将在 AB 上一点 N 相遇。那么 AN NB _； 分析：对于正方形的路线，每边长是相同的，由 于反向开出的两辆车， 不管走什么样的路况， 到 相遇的时候走的时间相同， 故可以把每边设成速 度的倍数，转化成时间来解题。 解：设正方形的边长为720千米，那么 AB 上行 驶的时间是 72090 8 小时， BC 上行驶的时间 是 720120 6 小时，CD 上行驶的时间是720 60 12 小时， DA 上行驶的时间是72080 9 小 时。那么行驶一周的总时间是8+6+12+9 35 小 时。 从 CD 上一点 P，同时反向各发出一辆汽车， 它们将在 AB 中点相遇，相当于从AB

29、 中点同时 反向各发出一辆汽车， 它们在 CD 上一点 P相遇， 每辆车都行驶35217.5 小时， DP 上的时间 为 17.5 4 9 4.5 小时，PM 上的时间为（12 4.5） 2 3.75 小 时 。 同 样 得 到AN 上 的 时 间 为 17.5 3.75 4.5 9 0.25小时，NB 上的时间为 8 0.257.75 小时。 AN、NB 上的速度相同，故路 程比就等于时间比。即 0.251 7.7531 AN NB 。 评注：本题要把握住从起点到终点的时间和从终 点到起点的时间相同， 很容易求得 DP 上的时间。 同时注意到把边长设成速度的最小公倍数解题 可以简化计算。 二

30、、时钟问题： 5. 早上 8 点多的时候上课铃响了， 这时小明看了 一下手表。过了大约 1 小时下课铃响了， 这时 小明又看了一下手表， 发觉此时时针和分针的 位置正好与上课铃响时对调， 那么上课时间是 _时_分。 分析： 8 点多上课，下课是9 点多，两次的时针 应是在 89 与 910 之间，这样可以初步判断 出上课时间是 8：点 45 分到 8：50，下课时间是 9：40 到 9：45 之间。再利用分针与时针速度的 关系即可转化成环形上的行程问题。 解：有分析可以知道， 分针和时针走的总路程是 整个圆周， 设分针速度为 1，那么时针速度为 1 12 ， 分针每小时走 60 个小格，设 8

31、 与时针的夹角为 x 格，9 与分针的夹角为y 格，根据时间相同列 方程组： 45 1 1 8 12 ,4 40 143 1 1 12 xy x yx 。所以上课的时间为40+ 8 4 143 8 44 143 分 钟。 6. 一只旧钟的分针和时针每65分钟(标准时间的 65 分钟）重合一次 ,这只钟在标准时间的1 天 （快或慢） _分钟； 分析：我们标准钟每 65 11 5 标准分钟时针、 分针重 合一次。旧钟每 65 分钟重合一次。 显然旧钟快。 本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65 标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度(每 标准分钟旋转多少格 )进而推算出旧钟的针24标 准小时旋

32、转多少格，它与标准钟的针用24 标准 小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比 标准钟快的时间读数。 解：设旧钟分针每标准分钟走x 格。那么，每走 1 格用 x 1 标准分钟。如用复合单位表示：旧钟分 针速度为 x (格/标准分 )。旧钟分针走 60 格时针 走 5 格，时针速度总是分针的 12 1 ，所以旧钟时针 速度为 12 1 x (格/标准分 )。 每次重合耗用 65 标准分 钟，而且两次重合之间分针赶超了时针60 格， 列方程： 112 12 (1)6560, 1213 11 xx. 标准时间一天有60 241440标准分，一天 内旧钟分针走的格数为： 1113 1212 60 24

33、。但是我们 只须求出旧钟分针比标准钟分针多走了多少格， 即减去 1440 个(标准钟的 )格， 所以有 1113 1212 60 24 60 24 ( 1113 1212 1) 60 24 1113 143144 60 24 1113 2460 10143 10 (旧钟格 ) 这里一定要明白， 这 10143 10 只是旧钟上显示的 多走的格数， 也是旧钟的非标准分钟数， 并非标 准的分钟数。 答： 这只旧钟在标准时间一天内快10143 10 分钟。 (按 旧钟上的时间 ) 7. 一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒 转动的角度为成差数列递增。 现在可以设定指 针第一秒转动的角度a （a

34、为整数） ，以及相邻 两秒转动的角度差1 度， 如果指针在第一圈内 曾经指向过 180 度的位置，那么 a 最小可以被 设成_，这种情况下指针第一次恰好回 到出发点是从开始起第 _秒。 解： 对于满足条件的a，即存在 1 个自然数 n， 使 得a+(a+1)+(a+2)+(a+n 1)=180 ， 即 (2a+n 1)n=360。显然 a 越小时， 2a+n 1 与 n 的差越小。 又 2a+n 1 与 n 的奇偶性不同， 于是 可推出 n=15，a=5。故 a 最小可以被设成5。在 这种情况下指针第一次恰好回到出发点时，即 5+6+7+ n=360k（k 是整数， n 5） ，所以 n+5

35、(n 4) 能 被720整 除 。 注 意 到 n 4 n+5(mod3)，所以 n 4 和 n+5 是 3 的倍数。 又 n+5 与 n 4 的奇偶性不同，故有一个是16 的倍数。且 n+5 与 n 4 中有 1 个是 5 的倍数。 于是得出满足条件的最小的n 是 100。时间为 96 秒。 三、流水行船问题： 8. 某人乘坐观光游船沿河流方向从A 港到 B 港 前行。发现每隔40 分钟就有一艘货船从后面 追上游船 ,每隔 20分钟就会有一艘货船迎面开 过。已知 A、B 两港之间货船发出的间隔时间 相同，且船在静水中的速度相同， 均是水速的 7 倍。那么货船的发出间隔是_分钟； 分析：对于直

36、线上汽车与行人的迎面相遇和背后 追及这个类型的问题是多见的， 这里要注意顺水 与逆水的不同。 解：设货车在静水中的速度为6，那么水速为 1， 游船的速度为x，时间间隔为t，那么在追及的 情况下的间隔为30 (6+1) (x+1) (6+1) t， 迎面 相遇情况下的间隔为20 (6 1)+(x+1) (6 1) t， 解得 t720/29 分钟。 评注：这里要注意与路面上的情况不同的是发车 的时间间隔相同时候， 在顺水与逆水的间隔路程 就不同了，就是这样出错的。 9. 有一地区，从 A 到 B 为河流，从 B 到 C 为湖。 正常情况下， A 到 B 有水流， B 到 C 为静水。 有一人游泳

37、，他从A 游到 B，再从 B 游到 C 用 3 小时；回来时，从 C 游到 B，再从 B 到 A 用 6 小时。特殊情况下， 从 A 到 B、从 B 到 C 水速一样，他从A 到 B，再到 C 用 2.5 小时， 在在这种情况下，从C 到 B 再到 A 用_ 小时； 解：设 BC 为 1 份，AB 为 x 份，则 AB 占总体 的 1 x x ，BC 占总体的 1 1x ，根据特殊情况下，从A 到 B、从 B 到 C 水速一样，他从 A 到 B，再到 C 用 2.5 小时，速度相同，时间的比等于路程的比， 得到关于时间的等式 2.52.5 2.5 11 x xx . 这 样 得 到 其 它 两

38、 个 条 件 的 等 式 ： 2.50.535.530.53 3,6, 1111 xxxx xxxx 而要求的算式是 5.53 5.53 ? 11 x x x xx 这样知道在 BC 上逆水时的时间为 5.53 1 x x x ，静 水时所用时间为 0.53 1 x x ，顺水时所用时间为 2.5 1x ，所 以在 BC 上逆水、静水、顺水时的速度比为 5.53 x x ： 1 0.53x ： 1 2.5 ，由于三者是公差为水速的等差数列， 所以得到等式： 2 0.53x5.53 x x 1 2.5 ， 3 2 x. 所以 5.53 5.53 4.537.5 11 x x x xx . 答：在

39、特殊情况下， 从 C 到 B 再到 A 用 7.5 小时。 评注：本题的关系十分复杂， 把四个条件都用时 间表示出来， 然后寻找在 BC 上的三种速度是一 个等差数列。 10.A 地位于河流的上游， B地位于河流的下游， 每天早上，甲船从 A地、乙船从B地同时出发 相向而行。从 12 月 1 号开始，两船都装上了 新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5 倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1 千米。由于天气的原因，今天（12 月 6 号） 的水速变为平时的2 倍， 那么今天两船的相遇 地点与 12 月 2 号相比，将变化 _千米； 分析：对于流水行船问题，注意水速的影响，水 中相遇时，速

40、度的和不变； 解：设开始甲船在静水中中速度为V甲，乙船在 静水中速度为 V乙，水速为 V水，相遇时间为 t。 （1）开始时相遇时间为t，而速度均增加1.5 倍 时，行驶路程不变，故时间缩小1.5 倍时间即为 t 1.5= 2 3 t，根据两次相遇点相距1 千米，甲两次 的路程差为 1 千米， 列方程，2 2 (1.521.5 33 tVVtVV 甲甲 水水 ）（）=1， tV 水=3，从而 2222 (1.521.532 3333 tVVtVVtV 甲甲水水水 ）（）（千米） ； 评注： 从题目结论可以看出，路程的变化与甲、 乙速度无关，只与水速的变化有关； 四、综合行程： 11.司机每天按规

41、定时间开车从工厂到厂长家 接厂长。一天厂长提前了1 小时出门，沿路先 步行， 而司机晚出发了4 分钟， 途中接到厂长， 结果厂长早到厂 8 分钟，那么开车速度与厂长 步行速度的比是 _； 分析：本题给的是时间的关系。要知道，相同的 路程下，路程比等于时间的反比。 解：司机晚出发 4 分钟，又早到 8 分钟，那么相 当于少用 4 8 12 分钟时间接厂长到厂，又知道 司机来回的时间是相等的， 故司机去的时候少用 12 26 分钟。而司机这 6 分钟走的路程是厂长 步行的路程，厂长走这段路的时间应该是早出发 的 1 小时加上司机遇到厂长时少用的6 分钟，共 66 分钟。根据分析，相同的路程情况下，

42、司机 的速度与厂长步行的速度比是66：611：1。 评注：不要认为司机 6 分钟的路程是厂长1 小时 的路程，而是要加上司机去的时候少用的6 分 钟，想一想，为什么？ 12.某路公交线共有30 站（含始发站和终点 站） ，车站间隔 2.5 千米，某人骑摩托车以300 米/分的速度从始发站沿公交线出发，差100 米到下一站时， 公交总站开始发车， 每 2 分钟 一辆，公交速度 500米/分，每站停靠 3 分钟， 那么一路上摩托车会被公共汽车从后追上并 超过_次； （摩托车从始至终不停， 公交 车到终点即停） 解：摩托车与总站相距2400 米的时候，第一辆 车开始发车， 它与摩托车超过9 次，第二

43、辆超过 8 次，第三辆超过2 次，共计 19 次； 13.甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发， 4 小时后在某处相遇；如果甲每小时多走1.5 千 米，而乙比甲提前24 分钟出发，则相遇时仍 在此处。如果甲比乙晚48 分钟出发，乙每小 时少走 2.5 千米，也能在此相遇，那么A、B 两地之间的相距 _千米； 分析：本题的关键是三次相遇的地点相同，然后 考虑各自的时间和速度的变化。 解：假设甲乙 4 小时相遇在 C 处，当甲每小时多 行 1.5 千米时，要走相同的路程，则时间就少用 24 0.4 60 小时，实际所用时间是40.43.6 小时， 那么甲原来的速度是 1.53.6 13.5 0.4

44、 千米 /小时；当乙每 小时少走 2.5 千米，则走相同的路程要多用 48 0.8 60 小时，实际所用的时间是4+0.84.8 小时，那么 乙原来的速度是 2.54.8 15 0.8 千米/小时。所以 A、B 两 地的距离是（ 13.5+15） 4114千米。 解法二： 设甲的速度是 x 千米/小时，乙的速度是 y 千米/小时，则甲乙的路程分别是4x 千米、 4y 千米。那么 44249 13.51.560 1.510 6 448415 52.5602.5 xyx xxy x y xyy yxy 所以 A、B 两地的距离是（ 13.5+15） 4114千 米。 评注： 这里注意到乙多走的24

45、 分钟，相当于甲 少走了 24 分钟，速度增加，时间减少，路程不 变的情况。 14.有轿车、货车、公共汽车各一辆在一条公路 上行驶，公共汽车在最前面，轿车在最后面， 公共汽车与货车的车距是货车与轿车车距的2 倍。轿车追上货车的时间为10 分钟，再过 20 分钟追上公共汽车，又过20 分钟，货车也追 上公共汽车，其中公共汽车每走5 分钟就停靠 车站一次，每次停留 2 分钟，那么轿车、货车、 公共汽车行驶速度比为 _:_:_； 解：如图设轿车、货车、公共汽车的速度分别为 123 ,v v v轿车和货车的距离为a，那么轿车追上货车 时，各自行驶了 10 分钟，轿车追上公共汽车时， 轿车行驶了 30

46、分钟，而公共汽车只行驶了22 分 钟（30 742，4 5222） ，当货车追上公 共汽车时，货车行驶了50 分钟，公共汽车行驶 了 36 分钟（50 771，5 5136） ，可以得 到方程组： 12 13 23 1010(1) 30223(2) 50362(3) vva vva vva （3）（1） 2 得：213 3 51 01 8vvv （1） 3（2） 轿车 货车 公共汽车 a 2a 得：23:22:30vv 从而得到 123 :23: 22:30vvv 评注：本题涉及到三个对象的运动，要弄清各自 的运动情况是理清解题思路的关键，同时注意到 公共汽车是有间歇的行驶，虽然时间有那么多，

47、 而实际行驶的需要换算。 15.A、B、C 三地依次分布在由西向东的同一 条道路上，甲、乙、丙分别从A、B、C 同时 出发，甲、乙向东，丙向西；乙，丙在距离B 地 18 千米处相遇，甲，丙在B 地相遇，而当 甲在 C 地追上乙时，丙已经走过 B 地 32千米， 那么， AC 间的路程是 _千米； 思路：三人有时间相同的路程，使用比例，路程 比等于速度比； 解：如图设 a、b； （1）V乙：V丙=18：b； （2）V甲：V丙=（32+a） ： （18+b） ； （3） V甲： V乙： V丙= （50+a+b） ： （18+b） ： （50+b） ； 由、可知V甲：V乙：V丙=（ 32+a） ABC 18 b 丙 丙 C B A A B C 丙 32 a 甲 乙 b: 18(18+b): b(18+b), 从而 V甲：V乙：V丙=18（50+a+b） ：18(18+b)： 18（50+b） 3218 50 1818 50 a bab bbb 40 30 a b ， 所以 AC 间距离为 40+32+18+30=120 （千 米行程问题上练习题 1. 甲、乙二人分别从圆形跑道的直径两端 点同时出发以匀速反向绕此圆形路线运 动，当乙走了100 米后，二人第一次相 遇，在甲差 60 米走完一周时又第二次相 遇，如果两个人同向出发， 那么甲第一次追上 乙时距离他的出发点有 _米；