解直角三角形及其应用(教师版)知识点详细答案资料.pdf

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1、让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 解直角三角形及其应用 【学习目标】 1了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解 直角三角形； 2会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题 【要点梳理】 要点一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素( 直角除外 ) 求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5 个元素，即三条边和两个锐角. 设在 RtABC中， C=90， A、 B、 C所对的边分别为a、b、c，则有： 三边之间的关系：a 2+b2=c2( 勾股定理 ). 锐角之间的关系：A+B=

2、90. 边角之间的关系： ， ，. ，h 为斜边上的高 . 要点诠释： (1) 直角三角形中有一个元素为定值( 直角为 90) ，是已知值 . (2) 这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系( 如不等关系 ). (3) 对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤 RtABC 两 边 两直角边 (a ，b) 由求 A， B=90 A， 斜边，一直角边( 如 c，a) 由求 A， B=90 A， 一 边 一 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 ( 如 A，b) B=90 A， ， 让 更 多的 孩 子 得 到更

3、 好 的 教 育 角 锐角、对边 ( 如 A，a) B=90 A， ， 斜边、锐角 ( 如 c， A) B=90 A， ， 要点诠释： 1在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元 素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件 为边 . 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数 量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过

4、程是： (1) 弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出 几何图形，建立数学模型. (2) 将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的 问题 . (3) 根据直角三角形( 或通过作垂线构造直角三角形) 元素 (边、角 ) 之间的关系解有关的直角三角形. (4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1) 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示 . 坡度 ( 坡比 ) ：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度， 用

5、字母表示，则，如图， 坡度通常写成=的形式 . (2) 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做 俯角，如图 . 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 (3) 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图中，目标方 向 PA ，PB ，PC的方位角分别为是40， 135， 245. (4) 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角，如图中的 目标方向线OA ，OB ，OC ，OD的方向角分别表示北偏东30，南偏东45，南偏西80，北偏西60. 特别如：东南方向指的是南偏东45，东北方向指

6、的是北偏东45，西南方向指的是南偏西45，西 北方向指的是北偏西45. 要点诠释： 1解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最 好画出它的示意图. 2非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形 来解 . 3解直角三角形的应用题时，首先弄清题意( 关键弄清其中名词术语的意义) ，然后正确画出示意 图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【典型例题】 类型一、解直角三角形 1在 RtABC中， C 90， a、b、c 分别是 A、 B、 C的对边，根据下列条件，解这个直 角三角形 (1) B=60， a4； (2)a1

7、，3b 【答案】 (1) A90 B 90 60 30 由tan b B a 知，tan4tan604 3baB 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 由cos a B c 知， 4 8 coscos60 a c B (2) 由tan3 b B a 得 B60，A90-60 30 222 abc， 22 42cab 2如图所示，在RtABC中， C90， B 30， b20，解这个直角三角形 【答案】 由 C90知， A+B90，而 B30， A90-30 60 又sin30 b c ， 120 2c c 40 由勾股定理知 222 acb 222 4020a，20 3a 举一反三：

8、 （1）已知 a=23， b=2 ，求 A、 B和 c； （2）已知 sinA= 2 3 , c=6 ，求 a 和 b； 【答案】（1）c=4； A=60、 B=30；（2）a=4；b=2 5 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用 3如图所示， BC是半圆 O的直径， D是AC的中点，四边形 ABCD的对角线AC 、BD交于点 E， (1) 求证： ABE DBC ； (2) 已知 BC 5 2 ，CD 5 2 ，求 sin AEB的值； (3) 在 (2) 的条件下，求弦AB的长 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 【答案】 (1) ADCD，1 2， 又 BC是

9、O的直径，BAC BDC 90 ABE DBC (2) 由 ABE DBC ，AEB DCB 在 RtBDC中， BC 5 2 ，CD 5 2 ， BD 22 5BCCD， sinAEB sin DCB 52 5 5 5 2 BD BC (3) 在 RtBDC中， BD5，又 1 2 3， ADE BDA ，AED BAD ADDE DBAD ， 2 ADDEDB 又 5 2 CDAD， CD 2(BD BE)BD， 即 2 5 ( 5)5 2 BE， 3 5 4 BE 在 RtABE中， AB BE sin AEB 323 55 452 举一反三： 如图，在 ABC中， AC=12cm ，A

10、B=16cm ， sinA= 1 3 （1）求 AB边上的高CD ； （2）求 ABC的面积 S； （3）求 tanB 【答案】（1）CD=4cm ； （2）S=32 cm 2； （3）tanB= +22 4 . 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用 4某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为1:3i（i 1:3是指 铅直高度DE与水平宽度CE的比 ) ，CD的长为 10 m，天桥另一斜面AB的坡角 ABC 45 (1)写出过街天桥斜面AB的坡度； (2)求 DE的长； (3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB

11、斜面的坡度变缓，将其45坡角改为30，方便过路群 众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长 (结果精确到 .0.01 m) 【答案】 (1)作 AG BC于 G ，DE BC于 E， 在 RtAGB中， ABG 45， AG BG AB 的坡度1 AG i BG (2) 在 RtDEC中， 3 tan 3 DE C EC ，C 30 又 CD 10 m 1 5m 2 DECD (3) 由(1) 知 AG BG 5 m，在 RtAFG中， AFG 30， tan AG AFG FG ，即 35 35FB ，解得 5 353.66(m)FB 答：改建后需占路面的宽度FB的长约为3.

12、66 m 5腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C， 利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30，底部 B点的俯角为45，小华在五楼找到一点D，利用三 角板测得A点的俯角为60( 如图所示 ) 若已知 CD为 10 米，请求出雕塑AB的高度 ( 结果精确到0.1 米，参考数据 31.73) 【答案】 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 过点 C作 CE AB于 E D90 60 30， ACD 90 30 60， CAD 180 30 60 90 CD 10， AC 1 2 CD 5 在 Rt ACE中， AE ACsin ACE 5sin 3

13、0 5 2 ， CE ACcos ACE 5cos 30 5 3 2 ， 在 RtBCE中， BCE 45， 555 3( 31) 222 ABAEBE6.8( 米) 雕塑 AB的高度约为6.8 米 【巩固练习】 一、选择题 1. 在 ABC中， C90， 4 sin 5 A，则 tan B ( ) A 4 3 B 3 4 C 3 5 D 4 5 2在 Rt ABC中， C90， B35， AB 7，则 BC的长为 ( ) A7sin 35 B 7 cos35 C7cos 35 D7tan 35 3河堤、横断面如图所示，堤高BC 5 米，迎水坡AB的坡比是1:3( 坡比是坡面的铅直高度BC与水

14、 平宽度 AC之比 ) ，则 AC的长是 ( ) A5 3米 B10 米 C15 米 D10 3米 4如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD交于点 O，点 M 、N分别为 OB 、OC的中点， 则 cosOMN 的值为 ( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 1 第 3 题第 4 题第 5 题 5如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长l为 ( ) A sin h B tan h C cos h Dsinh 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 6如图所示，在ABC中， C90， AC 16 cm，AB的垂直平分线MN 交 AC于 D，连接 B

15、D， 若 3 cos 5 BDC，则 BD的长是 ( ) A4 cm B6 cm C8 cm D10 cm 7如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40的方向行驶40 海里到达B地，再由 B地向北 偏西20的方向行驶40 海里到达C地，则 A、 C两地相距 ( ) A30 海里 B40 海里 C50 海里 D60 海里 第 6 题第 7 题第 8 题 8如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的 M和 N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置， P在 M的正北方向，在N的北偏西30的方向，则河的宽度是( ) A200 3m B 2003 3 m C100 3m D100m

16、 二、填空题 9 如图所示， 在 RtABC中，C 90，AM是 BC边上的中线， sin CAM 3 5 ， 则 tan B的值为 _ 10如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为 AB 、BC边上的点， AD BE，AE与 CD交于点 F，AG CD 于点 G，则 AG AF 的值为 _ 第 9 题第 10 题第 11 题 11如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40 2海里的 A处，它沿正南方向航行一段 时间后，到达位于灯塔P 的南偏东 30方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为_海里 ( 结果 保留根号 ) 12如图所示，直角梯形ABCD中， AB BC，AD BC ，BC

17、 AD ，AD 2，AB 4，点 E 在 AB上，将 CBE 沿 CE翻折，使B点与 D点重合，则 BCE的正切值是 _ 13如图所示线段AB 、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高AB BC ，DC BC ，两建筑物间距离 BC 30 米，若甲建筑物高AB 28 米，在 A 点测得 D 点的仰角 45，则乙建筑物高DC _ _ 米 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 第 12 题第 13 题第 14 题 14. 在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A 地的北偏东60方向的C处，他先沿正东方 向走了 200m到达 B地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地C(如图所示 ) ，

18、那么，由此可知，B、 C两地相距 _m 三、解答题 15如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树正前方一 座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处， 测 得树顶端D的仰角为 60 已知 A点的高度 AB为 2 米， 台阶 AC的坡度为 1:3( 即 AB:BC 1:3) ， 且 B、 C、E三点在同一条直线上请根据以上条件求出树DE的高度 ( 测倾器的高度忽略不计) 16. 如图所示，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD 的高度，他们先在A 处测得 古塔顶端点D的仰角为 45， 再沿着 BA的方向

19、后退20m至 C处， 测得古塔顶端点D的仰角为 30 求 该古塔 BD的高度 (31.732 ，结果保留一位小数) 17如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架 CD所在直线 相交于水箱横断面O的圆心，支架CD与水平面AE垂直， AB 150 厘米， BAC 30，另一根辅 助支架 DE 76 厘米， CED 60 (1) 求垂直支架CD的长度 ( 结果保留根号 ) (2) 求水箱半径OD的长度 ( 结果保留三个有效数字，参考数据：21.41 ，31.73) 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】 B； 【

20、解析】如图，sin A 4 5 BC AB ，设 BC 4x则 AB 5x 根据勾股定理可得AC 22 3ACABBCx， 33 tan 44 ACx B BCx 2. 【答案】 C； 【解析】在Rt ABC中，cos BC B AB BC ABcosB7cos 35 3. 【答案】 A； 【解析】由tan BC iA BC 1:3知，35 3ACBC( 米) 4. 【答案】 B； 【解析】由题意知MN BC ， OMN OBC 45， 2 cos 2 OMN 5. 【答案】 A； 【解析】由定义sin h l ， sin h l. 6. 【答案】 D； 【解析】 MN 是 AB的中垂线 ,

21、BD AD 又 3 cos 5 DC BDC BD ， 设 DC 3k，则 BD5k， AD 5k，AC 8k 8k 16，k2，BD 5210 7. 【答案】 B； 【解析】连接 AC ， AB BC 40 海里， ABC 40+20 60， ABC为等边三角形， AC AB 40 海里 8. 【答案】 A 【解析】依题意PM MN ， MPN N30， tan30 200 PM ，200 3PM 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 二、填空题 9 【答案】 2 3 ； 【解析】在Rt ACM 中， sin CAM 3 5 ，设 CM 3k，则 AM 5k，AC 4k 又 AM

22、是 BC边上的中线， BM 3k， tanB 42 63 ACk BCk 10 【答案】 3 2 ； 【解析】由已知条件可证ACE CBD 从而得出 CAE BCD AFG CAE+ ACD BCD+ ACD 60，在 RtAFG中， 3 sin 60 2 AG AF 11 【答案】4040 3； 【解析】在RtAPC中， PC AC AP sin APC 2 40240 2 在 Rt BPC中， BPC 90-30 60， BC PC tan BPC 40 3， 所以 ABAC+BC 4040 3 12 【答案】 1 2 ； 【解析】如图，连接BD ，作 DF BC于点 F，则 CE BD

23、， BCE BDF ，BF AD 2， DFAB4，所以 21 tantan 42 BF BCEBDF DF 13 【答案】 58； 【解析】 45， DE AE BC 30，EC AB 28，DE DE+EC 58 14 【答案】 200； 【解析】由已知BAC C30， BC AB 200. 三、解答题 15. 【答案与解析】 过点 A作 AF DE于 F，则四边形ABEF为矩形， AF BE ，EFAB 2设 DE x， 在 RtCDE中， 3 tantan603 DEDE CEx DCE 让 更 多的 孩 子 得 到更 好 的 教 育 在 RtABC中， 1 3 AB BC ，AB2，

24、2 3BC 在 RtAFD中， DFDE-EF x-2 2 3(2) tantan30 DFx AFx DAF AF BE BC+CE 3 3(2)2 3 3 xx，解得6x 答：树 DE的高度为6 米 16. 【答案与解析】 根据题意可知：BAD 45， BCD 30， AC 20m 在 Rt ABD中，由 BAD BDA 45，得 AB BD 在 Rt BDC中，由 tan BCD BD BC ，得3 tan30 BD BCBD 又 BC-AB AC 320BDBD， BD 20 31 27.3(m) 答：该古塔的高度约为27.3m 17. 【答案与解析】 (1) 在 RtDCE中， CED 60， DE 76， sinCED DC DE ， DC DEsin CED 38 3( 厘米 ) 答：垂直支架CD的长度为38 3厘米 (2) 设水箱半径OD x 厘米，则OC (38 3 )x 厘米， AO (150)x厘米， Rt OAC 中， BAC 30 AO 2OC ，即： 150+x2(38 3)x厘米， AO (150+x) 厘米， 解得：15076 3x18.52 18.5( 厘米 ) 答：水箱半径OD的长度约为18.5 厘米