误差理论与数据处理电子教案资料.pdf

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1、一、误差公理 误差：测量和实验所得的数据和被测量真值之差。 公理：一切测量存在误差，自始自终存在于一切科学实验中。 二、研究误差的意义 1、正确认识误差性质，分析产生误差原因，以减少或消除。 2、正确处理测量和实验数据，合理计算结果，以得到更接近真值的数据。 3、正确组织实验过程，合理设计、选用一起和测量方法，以在最经济条件下，得到最理想结果。 4、研究误差可促进理论发展。 （如雷莱研究：化学方法、空气分离方法。制氮气时，密度不同，导致 后人发现惰性气体。） 第二节 误差基本概念 一、误差定义及表示方法 （一）定义：被测量的值与真值差异在数值上的表现误差。误差=测得尺寸真实尺寸 例如：在长度测

2、量中，测量某一尺寸的误差公式可表示为：误差=测得值真值。 （二）误差表示方法（测量误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示） 1、绝对误差（测量误差）（absolute error ） ： 绝对误差 =测得值真值。方向（ + ） 、单位、大小。 真值：被测量的真实大小。常用实际值代替真值。（真值是一个理想的概念，一般是不知道的，通过 测量得到的是真值的近似值， 但在某些特定的情况下， 真值又是可知的。 如理论值三角形内角之和180 度；定义值（按定义人为规定的）国际千克基准的值可认为是1kg 等；实际值满足规定精确度的用 来代替真值的量值。 在实际工作中常用到修正值：为减少或消除系统误差一种处

3、理方法。 修正值（ correction）=真值测量值 =绝对误差 修正结果（ correction result）是将测得值加上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。 例 1-1。用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V 附近 的误差为 5V ，被测电压的修正值为 5V ，则修正后的测量结果为226+(5V )=221V。 （226V测得 值，220V真值， 5V绝对误差） 2、相对误差（ relative error） ： 绝对误差绝对误差 相对误差 真值测量值 相对误差：（1）有大小、方向（ + ） 、无单位。常用 %表示。 （2）对于相同

4、的被测量，可用绝对误差 评定精度。对于不同的被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。 例 1-1 用两种方法来测量 1 100Lmm的尺寸，其测量误差分别为 1 10 m， 2 8 m，根据绝对 误差大小，可知后者的测量精度高。 但若用第三种方法测量 2 80Lmm的尺寸，其测量误差为 3 7 m ， 此时用绝对误差就难以评定它与前两种方法精度的高低，必须采用相对误差来评定。 第一种方法的相对误差为： 1 1 1 01 0 0. 0 1 % 1 0 01 0 0 0 0 0 m Lm m 第二种方法的相对误差为： 2 2 88 0.008% 100100000 m Lmm 第三种方法的相对

5、误差为： 3 3 77 0.009% 8080000 m Lmm 由此可见，第一种方法精度最低，第二种方法精度最高。 例 1-2 绝对误差和相对误差的比较 用 1m 测长仪测量 0.01m 长的工件，其绝对误差(0.510 / m)0.0006mlm= 但用来测量 1m 长的工件，其绝对误差为0.0105m。 前者的相对误差为： 0 cxxx 0 xxx 64 1 /0.6 10/0.010.6 10rl 2 后者的相对误差为： 65 2 /10.5 10/11.1 10rl 用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。 3、引用误差：指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表

6、示值误差=示值真值 引用误差 =示值误差 /测量范围上限有大小，有方向，无单位，相对量程而言。 例 1-3 测量范围上限为19600N的工作测力计（拉力表） ，在标定示值为14700N处的实际作用力为 14778.4N，则此测力计在该刻度点的引用误差为： 1 4 7 0 01 4 7 7 8 . 47 8 . 4 0.4% 1960019600 NN N 4、基本误差：仪器仪表在规定的正常工作条件下的最大引用误差。 正常条件：如规定的电源电压波动：22010%V。 5 05H gH g 环温波动：205摄氏度 我国对电工仪表按基本误差分为7 个精度等级： 0.1 0.2 0.5 1.0 1.5

7、 2.5 5 。 这里的精度等 级是基本误差去掉百分号后的绝对值。记为如基本误差为0.5%。则精度为 0.5 级。如仪表基本误差为 0.9%，则该仪表精度为1。 例 某待测电压 90V，变化5V左右，现有 0.5 级 0300V 和 1.0 级 100V 电压表各一块，问选用哪块表 测得精度高？ 解：选 0.5 级测 90V 时最大相对误差： 0.5%300 100%1.67% 90 选 1.0 级测 90V 时最大相对误差： 1 %1 0 0 1 . 1 % 90 可见用 1.0 级好。 说明： （1）量程相同的表，精度等级高，测量精度高。 量程不同的表，精度等级高，测量精度不见得高。 （2

8、）仪表量程选用最好测量值在量程2/3 左右为好，能充分发挥仪表精度等级作用。 重复性：相同条件下（装置环境、人员、方法）教短时间内对同一量做多次测量其结果的一致性。 5、不确定度：是误差大小的测量度，怎样理解以后介绍。 二、误差来源 在测量过程中，按误差产生的原因可归纳为： （一）测量装置误差 1、标准量具误差：以固定形式复现标准量具的器具，如氪86 灯管、标准量块、标准电池、标准电阻、 标准砝码等，它们本身体现的量值，不可避免地都含有误差。 2、仪器误差：直接或间接将被测量和已知量进行比较的器具设备，如天平、压力计、温度计等本身都 具有误差。 3、附件误差：仪器的附件及附属工具，如千分尺的调

9、整量棒等的误差，也会引起测量误差。 （二）环境误差 测量时各种环境因数与规定的标准状态不一致造成的误差，如温度、湿度、气压、振动、照明、g、 电磁场等仪器在规定条件下的误差为基本误差，超出规定条件所增加的误差为附加误差。 （三） 、方法误差 由于测量方法不完善所引起的误差。如测轴周长s，再由 s d求直径，取值不同，将会引起误差。 （四） 、人员误差 分辨能力、视觉器官的生理变化、习惯、疏忽等引起的误差。 三、误差分类 按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差（也称偶然误差）和粗大误差三类。 （一）系统误差（ systematic error ） ： 在相同条件下，多次测量同一量值时，

10、该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确 定规律变化的误差系统误差。如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。 系统误差又可按下列分类： 3 1、按对误差掌握的程度分 （1）已定系统误差：指误差的绝对值和符号已确定 （2）未定系统误差：指误差的绝对值和符号未确定，但可的出误差范围。 2、按误差出现规律分 （1）不变系统误差：（指绝对值和符号一定）相当于以定系统误差。 （2）变化系统误差：（指绝对值和符号为变化）相当于未定系统误差，但变化规律可知，如线性、周期 性等。 （二）随机误差（ random error） 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变

11、化的误差随机误差。如 仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接部件的弹性变形等引起的示值不稳定。 （三）粗大误差 指明显超出统计规律预期值的误差粗大误差。又称为疏忽误差、 过失误差、寄生误差或简称粗差。如 测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）。 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大， 明显歪曲了测量结果。 故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据 （称为坏值或异常值） 予以剔除。 上述三种误差在一定条件下可以相互转换，特别是系统误差与随机误差之间并没有完全界限。系统误 差是一种可

12、知的误差， 因而可以修正； 随机误差是一种未知的误差， 但可以用数据统计处理方法去减小。 第三节 精 度 定义：反映测量结果与真值接近程度的量。与误差的大小相对应，因此可用误差大小来表示精度的高 低，误差小则精度高，误差大则精度低。 精度可分为： （1）准确度：系统误差 （2）精密度：随机误差 （3）精确度：系统误差和随机。其定量特征可用测量的不确定度（极限误差）来表示。 精度在数量上可用相对误差表示，如相对误差为0.0.%，可以说精度为 4 10。 准确度、正确度和精密度三者之间的关系： 对于具体测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的而精密度也不一定高，但精确度高，则 精密度和准确度都

13、高。 图 1-1 a：弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，正确度高。 b：弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，正确度低。 c：弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、正确度都高，从而准确度亦高。 第四节 有效数字与数据运算 测量结果还有误差，测量结果的数据位数应以测量精度为依据。位数超出精度，即费时间又无意义， 低于精度，则损失精度。 一、有效数字 含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第 一个非 0 的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到列最末一位

14、数字止的所有数字，无论0 或非 0，都是有效数字。 例如：3.14 第一位有效数字为3，共有 3 位有效数字。 4 0.0027 第一位有效数字为2，共有 2 位有效数字。 0.00270 第一位有效数字为2，共有 3 位有效数字。 若近似数右边有若干个0，写成10 n a11 0a 则 a有几个有效数字反映近似数的有效位数。 例如： 3 2.400104 位有效数字 3 2. 4 01 03 位有效数字 3 2.4 102 位有效数字 测量结果最末一位有效数字应与测量精度同一量级。 例 千分尺精度为0.01mm，若测出 L=20.531mm，小数点后第2 位已不可靠，第三位更不可靠，则 L=

15、20.53mm。 测量结果应保留的位数原则：最末一位不可靠，倒数第2 位应可靠。测量误差取12 位有效数字。 所以2 0. 5 30. 0 1Lmm 。重要测量时。测量结果和测量误差多取一位参考数字，如15.2140.042。 二、数字舍入规则（凑整） （1）若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位加1。 （2）若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位不变。 （3）若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位 不变，当末位为奇数时末位加1。 例 按舍入规则，将下列数据保留4 位有效数据进行凑整。 原有数据舍入后数据根据规则 3.1

16、4159 3.142 （1） 2.71729 2.717 （2） 4.51050 4.510 （3）前 3.21550 3.216 （3）后 7.691499 7.691 （2） 按上述规定，一次舍入得结果。归纳为： “四舍六六逢五取偶”。数字舍入造成误差，因为（ 3）从 而使舍入误差成为随机误差，避免4 舍 5 入产生的系统误差。 三、数据运算规则 在有效数据后多保留一位参考（安全）数字。 （1）近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数相同。 例如2643.0+987.7+4.187+0.2354= ？ 2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.13 3635.1 （2

17、）近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一位，结果位数相同。 例如15.13 4.12=62.3356 62.3 （3）近似平方或开方运算。按乘除运算处理。 （4）对数运算。n 位有效数字的数据该用n 位对数表，或（ n+1）位对数表。 （5）三角函数。角度误差 10 1 0.1 0.01 函数值位数5 6 7 8 第二章误差的基本性质与处理 第一节 随机误差 在测量误差分类中， 已提到系统误差和随机误差是不同性质的误差，因此对它们的处理方法也不同。 这一节是在假设粗大误差和系统误差已被排除的前提下来讨论随机误差的。本节介绍随机误差产生的原 因，随机误差的本质特征以及减少随机误差的技术途

18、径。 本节的重点和难点： 随机误差产生的原因 随机误差的本质特征 算术平均值 贝塞尔公式 试验标准差 测量结果的最佳估计 定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的方式变化的（但具有统计规律的）测量误 5 差随机误差。（在等精度测量条件下） 一、随机误差产生的原因 1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形，零件表面油膜不均匀，摩擦等。 2、环境方面：温度、气压、 ，光照强度、灰尘及电磁场变化。 3、人员方面：瞄准方向的不稳定，读数的不稳定。 二、随机误差的统计特性正态分布 多数随机误差服从正态分布，有以下四个特征； 1、对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等。

19、2、单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。 3、有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。 4、抵偿性：随着测量次数增多，随机误差的算术平均值趋于零。 服从正态分布的随机误差具有上面四条特征。由于多数随机误差都服从正态分布，所以正态分布在 误差理论中占有较重要的地位。 随机误差的正态分布规律： 设被测量的真值为 0 L ，一系列测得值为 il 。则测量列中的随机误差i为 0iil L（2-1） 式中1,2,in。 正态分布密度 f和分布函数 F为 2 2 2 1 2 fe（2-2） 记为 2 0,N 2 2 2 1 2 Fed（2-3） （一般 X F xp

20、xXfx dx） ，在,内概率1pfd。 ） 标准差（方均根误差）e自然对数的底 =2.7182。 。 。 它的数学期望为0Efd（2-4） 它的方差为 22 fd（2-5） 其平均误差为 4 0 . 7 9 7 9 5 fd（2-6） 此外由 2 1 2 fd 可解得或然误差为 2 0 . 6 7 4 5 3 （2-7） 正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。 曲线上拐点 A 的横坐标曲线右半部面积重心B 的横坐标 右半部面积的平分线的横坐标。 三、算术平均值 1、公理：一系列等精度测量，则 0ii lL 。 0 L 真值 随机误差的代数和： 00 111 nnn iii iii lLln

21、L（2-8） 11 0 nn ii ii l L n 根据正态分布随机误差的对称性，当n，0 i n 6 所以 1 0 n i i l xL n 即无限多次测量的算术平均值即为真值。 2、残差：但有限次测量的算术平均值真值是有误差的，只能近似真值。 残余误差 =测量值平均值即 ii Vlx i V il 的残余误差 （2-9） 残余误差的代数和： 11111 0 nnnnn iiiii iiiii Vlxln xll 即残余误差的代数和等于零，即 1 n i i V与次数无关，而 1 0 n i i 必须 n，即与测量次数有关。 3、算术平均值的简便算法： 任选一个接近所有测得值的数 0 l

22、。计算 0ii lll 0 111 0 nnn iii iii llll xl nnn 令 1 0 n i i l x n ，则 0 xlx（2-10） 例 2-1测量某物理量 10 次，结果见表，求x 序号 i l 0ii lll ii Vlx 1 1879.64 -0.01 0 2 1879.69 0.04 +0.05 3 1879.60 +0.05 -0.04 10 1879.65 0 +0.01 任选参考值 0 l =1879.65，计算 i l 和 0 x 列于表中，很容易求得算术平均值x=1879.64 4、算术平均值的校核方法： 因为 1 0 n i i V，所以可以根据残差代数

23、和的性质来校核 x和 i V 。但是根据有效数字，数据运算和 数字舍入规则，在计算x时，在小数位数较多或除不尽的情况下，对x进行凑整，所以实得的x可能 为经过凑整的非准确数，存在舍入误差。 1 n i i l x n ，而 1 11 0 n inn i ii ii l Vlnn n 。 校核规则为： （1） 1 n i i V应符合： 当 1 n i i lnx， 求得的 x为非凑整的准确数时， 1 0 n i i V；（2-11） 当 1 n i i lnx，求得的 x为凑整的非准确数时，0，则 1 0 n i i V； 当 1 n i i lnx，求得的 x为凑整的非准确数时，0，则 1

24、0 n i i V。否则有误； （2） 1 n i i V 应符合： 7 当 n 为偶数时，则 12 n i i n VA； 当 n 为奇数时，则 1 0.5 2 n i i n VA； A 为x末位数的一个单位。 多数情况下用规则（ 2）来校核。 例 2-2 用例 2-1 数据，对计算结果进行校核。 因为 n为偶数， 10 5 22 n A=0.01 由上页表可知 1 00.05 2 n i i n VA，故计算结果正确。 例 2-3 测量某直径 11次，结果如下，求x并进行校核。 序号 i lmm i Vmm 1 2000.07 +0.003 2 2000.05 -0.017 3 2000

25、.09 +0.023 11 2000.07 +0.003 11 1 22000.74 i i l 1 0. 0 0 3 n i i V 解：算术平均值 1 22000.74 2000.0673 11 n i i l x n ，取2000.067xmm。 用（1）校核则有： 11 1 22000.74112000.06722000.737 i i lmmnx 11 11 1122000.7422000.7370.003 n ii ii Vlxmm 说明结果正确。 用（2）校核则有： 11 0.50.55 22 n ，A=0.001mm。 11 1 0.0030.50.005 2 i i n Vm

26、mAmm 也说明正确。 四、测量的标准差（方均根误差） （一）测量列中单次测量的标准差 1、方差： 定义：等精度测量列无穷多个随机误差平方的平均值。 22 ax fdVD 2、标准差： 定义：方差的正方根称为标准差。 2 D 3、方差与标准差的意义： 若 一 列 等 精 度 测 量 符 合 正 态 分 布 ， 即 密 度 函 数 。 2 2 2 1 2 fe 因为越小，则e的指数的绝对值 则钟形曲线越尖瘦，即可能产生的随机 测得值对x的分散度就小，测量精度高 的精度低，如（3） 8 因此是表征同一被测量 n 次测量的测得值分散度的参数。可作为单次测量不可靠性的评定标准， 是说明随机误差的主要特

27、征的量。 2 222 121 n i ni nn （2-12） n测量次数 0ii lL （真值） 0 L（真值） 未知时， 可用残余误差 ii Vlx 代替真值误差 i。 从而得到标准差的估计值。 由0ii lL 得： （推导贝塞尔公式） 1101x lxxLV 2202x lxxLV（2-13） x为算术平均值的误差。0x xL 。 0nnnx lxxLV （2-13）式相加 11 nn iix ii Vn 111 nnn iii iii x V nnn （2-15）见（ 2-11） （2-13）式平方后相加 22222 1111 2 nnnn iixxiix iiii VnVVn（2-1

28、6） 将（2-15）式平方 2 2 12 11 22 2 n nn ij ii ij ii x nnn 当 n 适当大时，可认为 1 n ij i 趋近于零，并将 2 x 代入（ 2-16）得 2 221 11 n inn i ii ii V n （2-17） 由式（ 2-12）可知 22 1 n i i n 代入式（ 2-17）得 222 1 n i i nV 2 1 1 n i i V n （2-18）贝塞尔（ Bessel ）公式 2 1 1 1 n i i sxx n 2 s是方差 2 的无偏估计，但 s 并不是标准差的无偏估计。 ii vxx。为残余误差，简称残差。 式（2-18）称

29、为贝塞尔（ Bessel）公式，根据此式可由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。 评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差和平均误差，用残余误差表示： 9 2 1 2 31 n i i V n （2-19） 2 1 4 51 n i i V n （2-20） （二）测量列算术平均值的标准差 x 如在相同条件下对同一量值做多组重复的系列测量，每一列测量都有一个算术平均值，由于随机误 差，各列的算术平均值也不相同。围绕真值有一定的分散，算术平均值的标准差 x 则表征各列x分散性 的参数。 已知： 12n lll x n 取方差： 12 2 1 n D xD lD lD l n 参考（ 2-12）

30、因为 12n D lD lD lD l 故有 2 11 D xnD lD l nn 所以 2 2 x n （ 2 见（2-5）式） x n （2-21） 结论：在 n 次等精度测量列中， x 为单次测量标准差的 1 n 。 x 与n的关系：一定时，当10n， x减少缓慢。另外，当 n愈大 时，测量条件越难以恒定，从而带来新的误差。所以取10n较为合适。 或然误差： 22 0.6745 33 xx R nn （2-22） 平均误差： 44 0.7979 55 xx T nn （2-23） 用残差 i V 表示： 2 1 2 31 n i i V R n n （2-24） 2 1 4 51 n i

31、 i V n n （2-25） 例 2-4 略 （三）标准差的其他算法 1、别捷尔斯法（ Peters ） 由 Beseel公式 22 11 1 nn ii ii V nn 22 11 1 nn ii ii n V n 111 nn ii ii n V n 10 则平均误差为： 1 1 1 1 n i n i i i V n n n 由式（ 2-6）得 1 1.253 0.7979 Peters公式： 1 1. 2 5 3 1 n i i V n n （2-26） 算术平均值的标准差 1 1. 2 5 3 1 n i i x V nnn （2-27） 例 2-5 略 2、极差法（简便） Bes

32、eel、Peters公式均需先求x，再求 i V ，后求。复杂。 maxminn xx（2-28） （两者从服从正态分布的 1n x x 中选出。 ） 根据极差的分布函数， 可求出极差的数学期望 nn Ed（2-29） 因为 n n E d ，故可得的无偏估计值 n n d （2-30） 式中 n d 的数值见表 2-4（略） （见 18） 例 2-6略 3、最大误差法 真值已知，选取随机误差 max i ，当服从正态分布。 max i n K （ max i =|真值测量值 | ）（2-31） 真值未知，选取残余误差 max i V，当服从正态分布。 max i n V K （ max ii

33、 Vxx）（2-32） 1 n K 和 1 n K 见表 19 表 2-5 例 2-7、2-8略以上四种方法 Beseel最佳。 例 对某量测得数据 7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9 ，试分别用贝塞尔公式、极差法、最大 误差法估计其测量标准差及其标准差的相对标准差。 解：(1) 用贝塞尔公式估算 1 7 . 7 2 i xx n 2 2 1 0 . 1 3 6 1 i sxx n 0. 1 3 60. 3 7s ( )1 0. 2 3 2 (1) s sn 查表，并插值计算， ( )1 0 . 2 6( 0 . 2 60 . 1 7 )0

34、. 2 5 10 s s (2) 用极差法估算 m a xm i n1 1 7. 9,7. 5,1 1,7. 97. 50. 4xxn 查表，得 11 3.17d 11 0.25c 11 故 11 11 0.4 0.13 3.17 s d 11 ( ) 0.25 s c s （3）用最大误差法估算 真值 0 x 未知，计算最大残差 3 max 0.22 i 查表，插值计算得 11 1 10.57(0.570.51)0.56 5 k 故 m a x 11 1 0.560.220.13 i s k ()1 0 . 2 7( 0 . 2 70 . 2 3 )0 . 2 6 6 10 s s 五、测量

35、的极限误差 测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的x）的误差不超过该极限误差的概率 为 P，并使 1P 可予忽略。 （一）单次测量的极限误差 lim x 随机误差正态分布曲线下的面积相当于全部误差出现的概率。即 2 2 2 1 1 2 ed 而随机误差在至范围内的概率密度为 22 22 22 0 12 22 Peded（2-33） 引入新的变量 t t，t 经变换，上式成为 2 2 0 2 2 2 t t Ped tt 2 2 0 1 2 t t ted t（2-34） 式（2-34）为概率积分，不同t 的t 值可由附录表 1 查出。 （二）算术平均值的极限误差 limx 算术

36、平均值误差： 0x xL 当多个测量列的算术平均值误差 i x 1,2iN 为正态分布，同样可得算术平均值的极限误差 lim x的 表达式： l i mx xt（2-37） 式中，3t，为置信系数； x为算术平均值的标准差。lim 3 x x（2-38） 当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称t 分布计算。即 l i max xt（2-39） 式中 a t 置信系数， 由给定的置信概率1Pa和自由度1Vn来确定，具体数值将附表3 （t 分布表） ， a为超出误差的概率（称显著度或显著水平）常取0.01,0.02,0.05a。n 为测量次数。 对同一测量列，按正态分布和t 分布分别计算

37、，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不同，求出 的 lim x 也不同。 例 2-9 对某量进行 6 次测量，测得数据如下： 802.40 802.50 802.38 802.48 802.42 802.46 求x和 limx 解： 6 1 802.44 6 i i l x 6 2 1 0 . 0 4 7 6 1 i i V 0. 0 4 7 0. 0 1 9 6 x n 因测量次数较少，应按t 分布求 limx ，已知 15Vn，取 a =0.01，由附表 3 查出4.03 a t。 所以 lim 4.03 0.0190.076 ax xt 若按正态分布计算，0.01，相应10.99P，

38、由附录表 1 查得2.60t，则算术平均值的极限误 12 差为 l i m 2. 6 00. 0 1 90. 0 4 9 x xt 由此可见，当测量次数较少时，两种分布计算的结果显然不同。 第二节系统误差 教学重点和难点： 系统误差产生的原因 系统误差的特征 系统误差的发现 系统误差的统计检验 系统误差减少和消除的方法 一、系统误差产生的原因 系统误差是由固定不变的或按确定规律变换的因数所造成，这些误差因数是可以掌握的。 （1）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不成比例的误差； 仪器制造和安装的不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器导轨的误差；计

39、量 校准后发现的偏差，如标准环规的直径偏差。 （2）测量环境的因素：测量时的实际温度对标准温度的偏差，对测量结果可以按确定规律修正的误 差等等 （3）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等所引起的误差； （4）测量人员的因素：由于测量者固有的测量习性，如读出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方 向，记录动态测量数据时总有一个滞后的倾向等。 二、系统误差的特征 系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或在条件改 变时，误差按一定的规律变化。 (a) 无补偿性：影响算术平均值的估计 (b) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计 （1）不变系统误差：在整

40、个测量过程中，误差大小和符号均固 定不变的。 （2）线性变化的系统误差：在整个测量过程中，随着测量位置 或时间的变化，误差值成比例地增大或减小。 （3）周期性变化的系统误差：在整个测量过程中，随着测量位 置或时间的变化，误差按周期性规律变化的。 （4）复杂规律变化的系统误差：在整个测量过程中，随着测量 位置或时间的变化，误差按确定的更为复杂的规律变化。 a：不变系统误差 b：线性变化的系统误差 c：非线性变化的系统误差 d：周期性变化的系统误差 e：复杂规律变化的系统误差 三、系统误差的发现 （一）实验对比法（适用于不变的系统误差）： 改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量。 （二）残差观察

41、法（适用于发现有规律变化的系统误差）： 根据测量列的各个残差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统 误差。若有测量列 12 , n l ll ，它们的系统误差 12 , n lll ，它们不含系统误差的值为 12 , n lll 。 则有 111 lll ， 222 lll， nnn lll 。 它们的算术平均值为 xxx。 因为 ii lxV ， ii lxVx为系统误差的算术平均值。 故有： iii VVlx（2-82） 13 若系统误差随机误差， i V 可忽略，则 ii Vlx（2-83） 结论；任一测量值的残差为系统误差与测量列系统系统误差平均值之差 （三）

42、残差校核法： 1、用于发现线性系统误差。 （马利科夫准则） 根据式（ 2-82） ，将测量列中前 K 个残差相加，后 n-K 个残差相加（当 n 为偶数，取；2Kn。 n 为奇数，1 2Kn） 。然后两者相减得差值。 111111 KnKnKn ijijij ijKijKijK VVVVlxlx 当测量次数足够多时： 11 0 Kn ij iiK VV 得 1111 KnKn ijij ijKijK VVlxlx（2-84） 若显著不为 0，则认为测量列存在线性系统误差。所以这种方法能有效地发现系统误差。=0时， 仍有可能存在系统误差，如含定值系统误差，其均值为0，则=0。 2、用于发现周期性

43、系统误差。 （阿卑赫梅特准则） 若有一等精度测量列，按测量先后顺序将排列为 12 , n v vv 。如存在周期性系统误差，则相邻两残差 的差值 1ii vv，符号也将出现周期性的正负号变化。用统计准则。令 图（ a）说明各残差大体正负相间， 无显著变化规律， 故无根据怀疑有可 变系统误差。 图（ b）的残差数值有规律地递增， 且在测量开始与结束时误差符号相 反，则说明存在线性递增的系统误 图（ c）的残差符号由正变负，再由 负变正， 循环交替地变化，则说明存 在周期性系统误差 图（ d）的残差值变化既有线性递增 又有周期性变化， 则说明存在复杂规 律的系统误差 14 1 112231 1 n

44、 iinn i uVVv vv vvv（2-85） 若 2 1un，则认为该测量列中含有周期性系统误差。 （四）不同公式计算标准差比较法： 按 Bessel公式 2 1 1 1 n i i V n 按 Peters公式 1 2 1.253 1 n i i V n n 令 2 1 1u，若 2 1 u n ，则怀疑测量列中存在系统误差。（2-86） （五）计算数据比较法： 对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果 应满足随机误差条案件，否则可以认为存在系统误差。 若对同一量独立测量m 组结果，并知它们的x和 i为1122 , mm xxx。而任意两组

45、结果之差为 ij xx ，其标准差为 22 ij 。则任意两组结果 i x 和 j x 间不存在系统误差的标志是： 22 2 ijij xx（2-87） 例 2-15略 （六）秩和检验法 若独立测得两组数据为： i x1,2, x in j y1,2, y jn 将它们混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测量值在混合后的次 序 9（秩）再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。 当两组测量次数 12 ,10n n，可根据次数较少组的次数 1 n 和较多的组的次序 2 n ，由秩和检验表2-10 （P14）查得 T 和 T （显著度为 0.05） ，若 TTT ，则无根据怀疑

46、两组间存在系统误差。（2-88） 例 2-16略 （七）t 检验法（利用 t 分布进行的检验） 是一个判断组间是否存在系统误差的方法。 若独立测得两组数据（服从正态分布）为 i x1,2, x in j y1,2, y jn 令变量 22 2 xyxy xyxxyy n nnn txy nnnn （2-89） 式中： 1 i x xx n 1 i y yy n 2 1 xi x xx n 2 1 yi y yy n 取显著度，由 t 分布表（附录表3）查得Ptt中 t 。若实测数列中算出之tt ，则无根 据怀疑两组间有系统误差。 例 2-17略 上面介绍的七种方法分为两类，第一类（前四种）用于

47、发现测量列组内的系统误差；第二类（后3 种）用于发现各组测量之间的系统误差。 四、系统误差的减小和消除 （一）从产生根源上消除系统误差 最理想的方法。它要求对产生系统误差的因素有全面而细致的了解，并在测试前就将它们消除或减 弱到可忽略的程度。视具体条件不同，有： （1）所用基、标准件（如量块、刻尺、光波波长等）是否准确可靠。 15 （2）所用仪器是否经过检定，并有有效周期的检定证书。 （3）仪器调整、测件安装定位和支承装卡是否正确合理。 （4） 所用测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差。 （5） 测量场所的环境条件是否符合规定要求，如温度变化等 （6） 测量人员主观误差，如视差习惯等。 （

48、二）用修正的方法消除系统误差 预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小 相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量 结果。这种方法不可能将全部系统误差修正掉，残留的可按随机误差处理。 （三）不变系统误差消除法 1、代替法： 其实质是在测量装置上测量被测量后不改变测量条件，立即用相应的标准量代替被测量，放到测 量装置上再次进行测量，从而得到该标准量测量结果与已知标准量的差值，即系统误差，取其负值即可 作为被测量测量结果的修正量。即被测量=标准量 +差值 例 等臂天平称重 ,先将被测量 x 放于天平一侧，

49、标准砝码放于另 一 侧，调至天平平衡，则有 2 1 l xP l 由于 12 ll（存在恒定统误差的缘故） 移去被测量 x，用标准砝码Q代替，若该砝码不能使天平重新平衡， 如能读出使天平平衡的差值Q，则有xQQ。消除了天平两臂 不等造成的系统误差。 2、抵消法： 该方法实质是进行两次测量，以使两次读数的系统误差大小相等， 符号相反，取两次测值的平均值作为测量结果，从而消除系统误差。 3、交换法： 根据误差产生的原因将某些条件交换以消除误差。 例如：等臂天平称重 ,先将被测量放于天平一侧， 标准砝码放于另一 侧，调至天平平衡，则有 2 1 l xP l 。 若将 x与P交换位置，由于 12 ll （在恒定统误差的缘 故） ，天平将失去平衡。原砝码 P 调整为砝码PPP，才使天平 再次平衡。于是有 2 1 l Px l 。则有 2 PP xP P。 即可消除了天平两臂不等造成的系统误差。 （四）线性系统误差消除法对称法 随着时间 t 的变化，被测量做线性增加，若选择某时刻为中点， 则 对 称 此 点 的 系 统 误 差 算 术 平 均 值 皆 相