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1、开课学院、实验室：数统学院实验时间：2015 年 10 月 28日 课程 名称 数学实验 实验项目 名称 种群数量的状态转移 微分方程 实验项目类型 验证演示综合设计其他 指导 教师 肖剑成绩 实验目的 1 归纳和学习求解常微分方程( 组) 的基本原理和方法； 2 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； 3 熟悉 MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令； 4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 通过该实验的学习，使学生掌握微分方程( 组 ) 求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等）， 对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用
2、MATLAB 软件求解微分方程的基本命令，学会建 立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟 悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。 实验内容 1微分方程及方程组的解析求解法； 2微分方程及方程组的数值求解法欧拉、欧拉改进算法； 3直接使用 MATLAB 命令对微分方程( 组) 进行求解 ( 包括解析解、数值解) ； 4利用图形对解的特征作定性分析； 5建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。 基础实验 一、问题重述 1求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y= y + 2x, y(0) = 1, 0x1; 2用向前欧
3、拉公式和改进的欧拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0x1,h = 0.1) 的数值 解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？ 3Rossler微分方程组： 当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如a(0,0.65)而方程解的变化情况， 并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？ 4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制 二、实验过程 1编辑程序代码 Untitle1: s=dsolve(Dy=y+2*x, y(0)=1, x) ezplot(s,0,1) 运行结果如下： s =3*exp(x) - 2*x 2 图形为： 11
4、 33 12 1 33 12 1 2222 121 ()() 2, 2, 1/ 82.45,1, (),() (0)1.2, (0)0, (0)0, (0)1.04935751 xx xyx rr yy yxy rr rxyrxy xxyy )( cxzbz ayxy zyx 2编写程序代码 Untitle2： clc y=dsolve(Dy=y-2*x/y, y(0)=1, x) ezplot(y,0,1) hold on x=;x(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1; for n=1:10 x(n+1)=x(n)+0.1; y1(n+1)=1.1*y1(n)-0.2*x(n)/y1(
5、n); k1=y2(n)-2*x(n)/y2(n); k2=y2(n)+0.1*k1-2*x(n)/(y2(n)+0.1*k1); y2(n+1)=y2(n)+0.05*(k1+k2); end plot(x,y1,k:,x,y2,k-.) 运行得到 y =(2*x + 1)(1/2)，这是解析解。图像如下： 此题中向前欧拉公式更逼近解析解，其实，提高精度，即n 的取值，两种方式都可以无限逼近解析解。 3. 首先编辑函数m文件 rossler.m： function eq=rossler(t,x) global a b c b=2;c=4; eq=0 -1 -1;1 a 0;x(3) 0 -c
6、*x+0;0;b; 然后在命令行窗口输入全局变量，并对a 赋值，当 a=0.1 时： global a b c a=0.1; x0=0;0;0; t,x=ode45(rossler,0,1000,x0); plot(t,x(:,1),r,t,x(:,2),k,t,x(:,3),g) pause plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3) grid on 得到的图形为： 当 a=0.2 ，积分区间改为0,100时： 当当 a=0.6 ，积分区间改为0,50时： 由此一系列图可知此空间图线是混沌的。 4.编写函数 m文件 apollo.m: function ep=apollo(t,y)
7、 syms y1y2y3y4 u=1/82.45;u1=1-u; r1=(y(1)+u)2+y(3)2)(1/2); r2=(y(1)-u1)2+y(3)2)(1/2); ep(1)=y(2); ep(2)=2*y(4)+y(1)-u1*(y(1)+u)/r13-u*(y(1)-u1)/r23; ep(3)=y(4); ep(4)=-2*y(2)+y(3)-u1*y(3)/r13-u*y(3)/r23; ep=ep(1);ep(2);ep(3);ep(4); 运行程序代码 Untitle4： t,y=ode45(apollo,0,20,1.2 0 0 -1.04935751); y1=y(:,
8、1); y2=y(:,2); y3=y(:,3); y4=y(:,4); plot(t,y1,t,y3) grid on pause plot(y1,y3) grid on 得到 y1-t,y3-t的图像 y1-y3 （Apollo卫星的运动轨迹）的图像： 应用实验（或综合实验） 一、问题重述 盐水的混合问题 一个圆柱形的容器，内装350 升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14 升的速度从容器顶部流 入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5 升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7 千 克。求经过时间t 后容器内盐的含量。 二、问题分析 由题意可以知道，此题中容器内的盐含量以及
9、浓度随着时间在不停变化的，在流入到流出的过程 中，由于混合在水中的盐含量是不同的，所以溶解于水中的盐的量每一时刻都是不同的，流出的量随时间 也是不断变化的。可以选取一个无限小的时间微元进行讨论。 三、数学模型的建立与求解 假设在 t 时刻到 t+ t（ t 足够小） 时刻时， 由于时间变化非常微小，可以认为这个t 时间内， 容器内溶液浓度没有发生变化浓度c(t)=c(t+t)=m(t)/V(t),则这个过程中盐减少的质量为m=m(t+ t)-m(t)=-v2*c(t)*t，V(t)=V0+v1*t-v2*t。其中 c(t)表示 t 时刻容器内盐的浓度；m(t)表示 t 时刻容器内 盐的质量； V(t) 表示 t 时刻容器内水的体积；v1,v2 分别表示流入流出水的速度。 由于 t 足够小，得微分方程m (t)= -v2*m(t)/(V(0)+v1*t-v2*t)。带入数据得 dm/dt=3m/(100+t) 在 MA TLAB 中建立脚本Untitle.m m=dsolve (Dm=-3*m/(100+t), m(0)=7, t) ezplot(m,0,150) grid on 四、实验结果及分析 运行程序得到解析解m =7000000/(t + 100)3 ，以及它的图像 可以看出t 越大时 y 是接近于 0 的，但是不等于0，与真实情况相符。 教师签名 年月日