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1、春天里教育 1 三角函数练习 1、在直角三角形中，各边都扩大2 倍，则锐角 A的正弦值与余弦值都（） A 、缩小 2 倍 B、扩大 2 倍 C、不变 D、不能确定 12、在 RtABC中， C=90 0，BC=4 ，sinA= 5 4 ，则 AC= （） A 、3 B、4 C、5 D、6 3、若 A是锐角，且 sinA= 3 1 ，则（） A 、0 0A300 B 、30 0A450 C 、45 0A600 D 、60 0A900 4、若 cosA=3 1 ，则 AA AA tan2sin4 tansin3 =（） A 、 7 4 B、3 1 C、 2 1 D、0 5、在 ABC 中， A：B
2、：C=1 ：1：2，则 a：b：c=（） A 、1：1：2 B、1：1： 2 C、1：1： 3 D、1：1： 2 2 6、在 RtABC中， C=90 0，则下列式子成立的是（ ） A 、sinA=sinB B、sinA=cosB C、tanA=tanB D、cosA=tanB 7已知 RtABC中， C=90 ，AC=2 ，BC=3 ，那么下列各式中，正确的是（） AsinB= 2 3 BcosB= 2 3 CtanB= 2 3 DtanB= 3 2 8点（ -sin60 ，cos60）关于 y 轴对称的点的坐标是（） A（ 3 2 ， 1 2 ） B（- 3 2 ， 1 2 ） C （-
3、3 2 ，- 1 2 ） D（- 1 2 ，- 3 2 ） 9每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣?某同学站在离 旗杆 12 米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30，?若这位同学的目高 春天里教育 2 1.6 米，则旗杆的高度约为（） A6.9 米 B8.5 米 C10.3 米 D12.0 米 10王英同学从 A地沿北偏西 60o 方向走 100m到 B地，再从 B地向正南方向走 200m到 C 地，此时王英同学离A地 （） （A） 350 m （B）100 m （C）150m （D ） 3100 m 11、如图 1，在高楼前 D点测得楼顶的仰角 为
4、30 ，向高楼前进 60 米到 C 点，又测得仰角为 45 ，则该高楼的高度大约为（） A.82 米 B.163米 C.52米 D.70米 12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西 40o 的方向行驶 40 海里到 达 B地，再由 B地向北偏西 10o 的方向行驶 40 海里到达 C地，则 A、C两地 相距（） （A）30 海里（B）40 海里（C）50 海里（D）60 海里 （二）填空 1在 RtABC中， C=90 ，AB=5 ，AC=3 ，则 sinB=_ 2在 ABC 中，若 BC= 2，AB=7 ，AC=3 ，则 cosA=_ 3在 ABC中，AB=2 ，AC= 2，B=30 ，则
5、BAC的度数是 _ 4如图，如果 APB绕点 B按逆时针方向旋转30后得到 APB，且 BP=2 ，那么 PP 的 长为_ ( 不取近似值 . 以下数据供解题使用： sin15 = 62 4 ， cos15= 62 4 ) 5如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48甲、 乙两地间同时开工， 若干天后，公路准确接通， 则乙地所修公路的走向是南偏西_度 图 1 45 30 B A DC 春天里教育 3 6如图，机器人从 A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达 B点后观察到原点O在它 的南偏东 60的方向上，则原来A的坐标为 _ 结果保留根号） 7求值： sin 2
6、60+cos260=_ 8在直角三角形 ABC中， A= 0 90 ，BC=13 ，AB=12 ，那么 tan B _ 9根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为 _m （结果精确的到 0.01m） （可 用计算器求， 也可用下列参考数据求： sin43 0.6802，sin40 0.6428，cos430.7341， cos400.7660，tan43 0.9325，tan400.8391） 10如图，自动扶梯AB段的长度为 20 米，倾斜角 A为，高度 BC为_米（结果用 含的三角比表示） (1) (2) 11如图 2 所示，太阳光线与地面成60角，一棵倾斜的大树与地面成30角， ?这时
7、测 得大树在地面上的影子约为10 米，则大树的高约为 _米 （?保留两个有效数字， 2 第 6 题图 x O A y B 北 甲 北 乙 第 5 题图 AC B 第 10 题图 A 40 52m C D 第 9 题图 B 43 第 4 题图 春天里教育 4 1.41 ， 31.73） 三、认真答一答 1，计算： sincoscottantan3060456030 分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算； 2 计算： 2 245904421 1 ( cossin)()() 分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。注意分母有理化， 3 如图 1，在 ABC中，AD是 BC边
8、上的高，tancosBDAC。 （1）求证： AC BD （2）若 sinCBC 12 13 12， ，求 AD的长。 图 1 分析：由于 AD是 BC边上的高，则有 Rt ADB和Rt ADC，这样可以充分利用锐角三角函 数的概念使问题求解。 4 如图 2，已知 ABC中CRt ， ACmBAC， ，求 ABC的面积（用 的三角 函数及 m表示） 春天里教育 5 图 2 分析：要求 ABC的面积，由图只需求出 BC 。 解应用题 , 要先看条件 , 将图形抽象出直角三角形来解. 5. 甲、乙两楼相距 45 米, 从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30, 观测乙楼的底部的俯角 为 45, 试求两楼
9、的高 . 6. 从 A处观测铁塔顶部的仰角是30, 向前走 100米到达 B处, 观测铁塔的顶部的仰角是 45, 求铁塔高 . 3045 D C B A 30 450 A r E D B C 春天里教育 6 分析: 求 CD,可解 RtBCD 或 RtACD. 但由条件 RtBCD和 RtACD 不可解 , 但 AB=100 若设 CD为 x, 我们将 AC和 BC都用含 x 的代数式表示再解方程即可. 7、 如图， 一铁路路基横断面为等腰梯形 ABCD ， 斜坡 BC 的坡度为 3:2 ， 路基高 AE 为3m ， 底 CD 宽12m ，求路基顶 AB的宽 BA D C E 8. 九年级（1
10、）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆 的高度，已知标杆高度 3mCD ，标杆与旗杆的水平 距离 15mBD ，人的眼睛与地面的高度 1.6mEF ， 人与标杆 CD 的水平距离 2mDF ，求旗杆 AB的高 度 9. 如图 3，沿 AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC 上的一点 B，取 ABDBD145500， 米， D55 。要使 A、C、E成一直 S线，那么开挖 点 E离点 D的距离是多少？ 图 3 E FD C A H B 春天里教育 7 分析：在 Rt BED中可用三角函数求得 DE长。 10 如图 8-5，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔 B、 C(灯塔
11、 B距离 A处较近 )，两个灯塔恰好在北偏东6545 的方向上，渔船向正东方向航行l 小时 45 分钟之后到达 D 点，观测到灯塔 B恰好在正北方向上， 已知两个灯塔之间的 距离是 12海里，渔船的速度是 16 海里时， 又知在灯塔 C 周围 18.6 海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航 行，有没有触礁的危险 ? 分析：本题考查解直角三角形在航海问题中的运用， 解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题 11、如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方 300千米处，以每小时 10 7 千米的速 度向北偏东 60o 的 BF方向移动，距台风中心 200千米的范围内是受 这次台风
12、影响的区域。 问 A城是否会受到这次台风的影响？为什么？ 若 A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时 间有多长？ 图 8-4 EA C B D 北 东 春天里教育 8 12. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整地 带，该建筑物顶端宽度AD和高度 DC都可直接测得，从 A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用 的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将 应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用
13、 m表示；如果测 D、C间距离，用 n 表示；如 果测角，用 、表示） 。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示，测倾器高度忽 略不计） 。 13. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向 10 海里处的 A点有一涉嫌走私船只正以24 海里/ 小时的速度向正东方向航行。 为迅速实验检查， 巡逻艇调整好航向，以26 海里/ 小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问 （1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到 01 . ） （如图 4） 图 4 参考数据： 春天里教育 9 sinc
14、os sincos sincos sincos 6680 91916680 3939 67 40 92316740 3846 6840 92986840 3681 7060943270603322 ， ， ， ， 分析： （1）由图可知ABO 是直角三角形，于是由勾股定理可求。 （2）利用三角函数的概念即求。 14. 公路 MN 和公路 PQ在点 P处交汇，且 QPN30 ，点 A处有一所中学， AP=160m ，一 辆拖拉机以 3.6km/h 的速度在公路 MN上沿 PN方向行驶，假设拖拉机行驶时， 周围 100m以内会 受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如
15、果受影响，会 受影响几分钟？ N P A Q M . 15、如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC ，小明站在点 F处，看条 幅顶端 B，测的仰角为 30 ，再往条幅方向前行20米到达点 E处， 看到条幅顶端 B，测的仰角为 60 ，求宣传条幅 BC的长， （小明的身 高不计，结果精确到0.1 米） 16、一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北 21.3 方向有一座小岛C ，继续向东航行 60海 里到达 B处，测得小岛 C此时在轮船的东偏北63.5 方向上之后，轮船继续向东航行多少海 里，距离小岛 C最近？ 春天里教育 10 （参考数据： sin21.3 9 25 ，tan21
16、.3 2 5 ， sin63.5 9 10 ，tan63.5 2） 17、如图，一条小船从港口 A出发，沿北偏东40 方向航行 20海里后到达B 处，然后又沿 北偏西 30 方向航行 10海里后到达C处问此时小船距港口A多少海里？（结果精确到 1 海里） 友情提示：以下数据可以选用： sin400.6428 ，cos40 0.7660 ， tan400.8391 ， 31.732 18、如图 10，一枚运载火箭从地面 O处发射，当火箭到达A点时，从地面C 处的雷达站测 得 AC 的距离是 6km ，仰角是 43 1s后，火箭到达 B点，此时测得 BC 的距离是 6.13km ，仰角 为 45.
17、54 ，解答下列问题： （1）火箭到达 B点时距离发射点有多远（精确到 0.01km）？ （2）火箭从 A点到B点的平均速度是多少（精确到 0.1km/s ）？ 19、经过江汉平原的沪蓉 ( 上海成都 ) 高速铁路即将动工 . 工程需要测量汉江某一段的宽度. 如 图，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开 始沿岸边向正东方向前进100 米到达点 C处，测得 68ACB . AB C 北 东 C Q B A P 北 40 30 图 10 A B O C 春天里教育 11 （1）求所测之处江的宽度（ .48. 268tan,37. 068cos,93.068s
18、in ） ； （2）除(1) 的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图中画出图形. 20 某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶已知看台高为 l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与 FG垂直且长为 l 米的不锈钢架杆 AD和 BC(杆子 的底端分别为 D ，C)，且 DAB=66. 5 (1) 求点 D与点 C的高度差 DH ； (2) 求所用不锈钢材料的总长度 l (即 AD+AB+BC， 结果精 确到 0.1 米) ( 参考数据： sin66.5 0.92， cos66.5 0.40，tan66.5 2.30) 答案 一、选择题 15、CAADB
19、 6 12、BCABDAB 二、填空题 1， 3 5 2 ， 7 3 3 ，30（点拨：过点 C作 AB的垂线 CE ，构造直角三角形，利用勾股 定理 CE ） 4 62 （点拨：连结 PP ，过点 B作 BD PP ，因为 PBP =30，所以 PBD=15 ， 图图 春天里教育 12 利用 sin15 = 62 4 ，先求出 PD ，乘以 2 即得 PP ） 548（点拨：根据两直线平行，内错角相等判断） 6(0， 4 43 3 )（点拨：过点 B作 BC AO ，利用勾股定理或三角函数可分别求得AC与 OC 的长） 71（点拨：根据公式sin 2 +cos 2 =1） 812 5 （点拨
20、：先根据勾股定理求得AC=5 ，再根据 tan AC B AB 求出结果） 94.86 （点拨：利用正切函数分别求了BD ，BC的长） 10 20sin （点拨：根据 sin BC AB ，求得 sinBCAB ） 1135 三，解答题可求得 11； 2 4 3解：（ 1）在Rt ABD中，有 tanB AD BD ，Rt ADC中，有 cosDAC AD AC tancosBDAC AD BD AD AC ACBD，故 （2）由 sinC AD AC 12 13 ；可设 ADxACBDx1213， 由勾股定理求得DCx5，BCBDDCx121812 即 x 2 3 AD12 2 3 8 春天
21、里教育 13 4解：由 tanBAC BC AC BCACBAC ACmBAC BCm SAC BCm mm ABC tan tan tantan ， 1 2 1 2 1 2 2 5 解过 D做 DE AB于 E MAC=45 ACB=45 BC=45 在 RtACB 中, BC AB tgACB )(4545米tgBCAB 在 RtADE 中, ADE=30 DE AE tgADE315 3 3 4530tgDEAE )(31545米AEABCD 答: 甲楼高 45 米, 乙楼高31545米. 6 解: 设 CD=x 在 RtBCD 中， CD BC ctgDBCBC=x(用 x 表示 BC
22、) 在 RtACD 中, CD AC ctgDACxctgDACCDAC3 AC-BC=100 1003xx100) 13(x ) 13(50x 30 450 A r E D B C 春天里教育 14 答: 铁塔高) 13(50米. 7、解：过 B作 BFCD ，垂足为 F BFAE 在等腰梯形 ABCD 中 AD=BC DC 3:2iBC AE=3m DE=4.5m AD=BC ，DC,90DEACFB BCFADE CF=DE=4.5m EF=3m 90AEFBFE BF/CD 四边形 ABFE为平行四边形 AB=EF=3m 8 解：CDFB，ABFB，CDAB CGEAHE CGEG A
23、HEH ，即： CDEFFD AHFDBD 31.62 215AH ，11.9AH E FD C A H B 春天里教育 15 11.91.613.5(m)ABAHHBAHEF 9 解：A、C 、E成一直线 ABDDBED1455590， 在 Rt BED 中，coscosD DE BD DEBDD， BD500米，D55 55cos500DE米， 所以 E离点 D的距离是 500cos55 o 10 解：在 RtABD中， 7 1628 4 AD（海里）， BAD=90 - 6545=2415. cos2415= AD AB ， 28 30.71 cos24 150.9118 AD AB(海
24、里). AC=AB+BC=30.71+12=42.71( 海里). 在 RtACE中，sin24 15= CE AC ， CE=AC sin24 15=42.710.4107=17.54( 海里 ). 17.5418.6，有触礁危险。 【答案】有触礁危险，不能继续航行。 11、 （1）过 A作 AC BF ，垂足为 C 30 601 ABC 在 RT ABC中 AB=300km 60o F B A 春天里教育 16 响城会受到这次台风的影A kmAC ABC 150 30 (2) h h km km t hkmv kmDE kmCD kmadkmAC ADAEE，BF kmADD，BF 10
25、710 7100 710 7100 750 200,150 200 使上取在 使上取在 答：A城遭遇这次台风影响10 个小时。 12 解： （1）在 A处放置测倾器，测得点H的仰角为 在 B处放置测倾器，测得点H的仰角为 （ ）在中，2Rt HAIAI HI DI HI AIDIm tantan HI mtantan tantan HGHIIG m n tantan tantan 13 解：设需要 t 小时才能追上。 则 ABtOBt2426， （1）在Rt AOB中，OBOAAB 222 ，()()261024 222 tt 则t1（负值舍去）故需要1 小时才能追上。 春天里教育 17 （2
26、）在Rt AOB中 sin.AOB AB OB t t 24 26 09231AOB67 4 . 即巡逻艇沿北偏东 674 .方向追赶。 14 解：1008030sin1APAPAPBRt中，）在（ 会影响 N B D P A Q M 100 30 o 160 （ ）在中 （米） 2 1008060 22 Rt ABD BD 602 36 1000 60 2 2 . （分钟） 分钟 15 解： BFC =30，BEC =60，BCF =90 EBF =EBC =30 BE = EF = 20 在 RtBCE中， )(3.17 2 3 2060sinmBEBC 答：宣传条幅 BC的长是 17.3
27、 米。 16 解：过 C作 AB的垂线，交直线 AB于点 D ，得到 RtACD与 RtBCD 设 BD x 海里， B C D A 春天里教育 18 在 RtBCD 中，tanCBD CD BD ， CD x tan63.5 在 RtACD 中，AD AB BD (60x) 海里，tanA CD AD ， CD ( 60 x ) tan21. 3 xtan63.5 (60x) tan21. 3，即 2 260 5 xx 解得， x15 答：轮船继续向东航行15 海里，距离小岛 C最近 17 解：过B点作BEAP，垂足为点E；过C点分别作CDAP， CFBE，垂足分别为点DF，则四边形CDEF
28、为矩形 CDEFDECF，,3 分 30QBC， 60CBF 2040ABBAD， cos40200.766015.3AEAB； sin 40200.642812.85612.9BEAB 1060BCCBF， sin 60100.8668.668.7CFBC； cos60100.55BFBC 12.957.9CDEFBEBF C Q B F A E D P 北 40 30 春天里教育 19 8.7DECF ， 15.38.724.0ADDEAE 由勾股定理，得 2222 24.07.9638.4125ACADCD 即此时小船距港口A约 25 海里 18 解（1）在RtOCB中，sin 45.5
29、4 OB CB 1 分 6.13sin 45.544.375OB （km ）3 分 火箭到达B点时距发射点约4.38km4 分 （2）在RtOCA中，sin43 OA CA 1 分 6 sin434.09(km)OA3 分 ()(4.384.09)10.3(km/ s)vOBOAt5 分 答：火箭从A点到B点的平均速度约为0.3km /s 19 解：（ 1）在BACRt中，68ACB， 24848.210068tanACAB（米） 答：所测之处江的宽度约为248米,（3 分） （2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识 来解决问题的，只要正确即可得分 20 解：(1)DH=1.6 3 4 =l.2( 米) (2) 过 B作 BM AH于 M ，则四边 形 BCHM 是矩形 MH=BC=1 AM=AH -MH=1+1.2一 l=l.2 在 RtAMB 中， A=66.5 春天里教育 20 AB= 1.2 3.0 cos66.50.40 AM (米) S=AD+AB+BC1+3.0+1=5.0( 米) 答：点 D与点 C的高度差 DH为 l.2 米；所用不锈钢材料的总长度约为5.0 米