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1、学习必备欢迎下载 初二第一学期期末复习建议（代数部分） 一. 代数部分考试范围 第十四章整式的乘法与因式分解 第十五章分式 第十六章二次根式 二. 复习目的 1. 通过复习使学生对已学过的数学知识系统化, 条理化 . 更有利于学生掌握基础知 识和基本方法 . 为进一步学习数学打下良好基础. 2. 巩固提高学生的计算能力、逐步培养学生, 分析问题和解决问题的能力. 提高学 生的数学素质 . 3. 使学生初步会运用数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想方法. 三.复习建议 1. 制定周密的复习计划 , 从横纵两个方向进行复习：站在本学期已经全学完的基础 上, 制定周密的复习计划 , 要有一定的基
2、础性和综合性, 最好落实到每一节的复习安排. 对重要内容但是有一定难度的知识及思想方法, 要贯穿在整个复习之中, 以提升复习 效果. 2. 对每一章的知识点进行总结, 画出知识结构图使知识系统化, 条理化 , 或填写总结 表：目的使学生掌握每一章的定义、公式. 同时, 注重复习方法的指导 , 学生不仅要整 理知识网络 , 同时还要对所学的主要方法进行认真的复习准备, 形成方法的使用意识 . 3. 注意夯实基础知识、掌握基本方法：要让每一个学生先弄清主要的概念、定理 有哪些 , 内容是什么 , 因、果关系是什么 . 每一章都有必须掌握的方法, 可将学生易错 题整理、归类 , 集中或分层纠错 ,
3、还可以上一些专题复习课, 目的落实基础 , 巩固提 学习必备欢迎下载 高。通过适量训练和落实, 使学生达到“五熟”: 常用数据要熟 , 常用结论要熟 , 常用 方法要熟 , 常用辅助线要熟 , 常见题型要熟 .以达到又快又准的目的 . 4. 提高计算能力、审题能力及将文字语言转化为数学语言的能力. 5. 注意培养学生灵活运用数学知识和方法：特别是方程思想分类讨论、转化与化 归等数学思想方法的渗透和应用, 逐步培养数学意识、发展思维. 6. 充分利用区里的教育资源：复习例题及习题的选用应有明确的目的, 精选例题及 习题, 例题的选择 , 要明确针对学生易出现的错误类型, 使知识的复习达到再现和纠
4、 错的目的 , 对再次出现的问题应重复训练巩固. 四. 各章内容举例说明 （一） 分式 1. 分式定义 ; 分式有无意义的条件 ; 分式的值为零（或其它特殊值）的条件. 2. 分式的基本性质、符号法则. 3. 通分、约分 . 4. 最简分式 . 5. 分式的乘、除、乘方及加减法法则; 整数指数幂 ; 运算结果要化为整式或最简分 式. 附 1. 分式加减的一些特殊方法 : （1）分组结合 : 2 1 1 2 1 2 2 1 xxxx 实 际 问 题 实际 问题 的 解 分式方程整式方程 分式方程的解整式方程的解 列方程 去分母 解整式方程 检验 目标 目标 学习必备欢迎下载 （2）逐步合并 :
5、42 1 4 1 2 1 1 1 1 xxxx （3）裂项合并 : 32 1 21 1 1 1 1 1 xxxxxxxx （4）分离常数法 : 23 162 65 21153 2 2 2 2 aa aa aa aa 附 2. 分式混合运算的一些特殊方法: （1）活用运算律 : yx y yx x yxy xyx yxy5 55 2 2 2 （2）活用通分、约分顺序 : yx yyxx yx yx 2 4 222 （3）活用乘法公式（正用与逆用）: 22 11 yx x yx x 6. 解分式方程的基本思路是把分式方程化为整式方程, 转化的途径是 “ 去分母 ” 一般步骤 : 去分母 , 把分式
6、方程化为整式方程; 解这个整式方程 ; 检验 ; 检验是解分式方程必要的步骤 （注意含字母系数的分式方程何时有解及何时无解的问题） 7. 列分式方程解实际问题的基本步骤: 审、设、列、解、验（先检验是否是方程的 根, 再验是否符合题意）、答 参考练习 : 1. 当 a 为何值时 , 分式 2 2 1 aa a 的值为 0 ( ) (A) a = 1 (B) a = 1 (C) a = 2 (D) a = 1 或 a = 2 2. 当 x 为何值时 , 分式 1 1 x x 与 2 1 x x 的值相等 ( ) (A) x 1 (B) x = 1 (C) x = 1 3 (D) x = 1 3
7、3. 下列从左到右的变形正确的是（） 学习必备欢迎下载 (A) 1 2 2 1 2 2 xy xy xy xy (B) 0.22 0.22 abab abab (C) 11xx xyxy (D) abab abab 4. 计算 : (1) )( 22 ab ab ba ; (2) a a 2 4 2; (3) a a a 2 ) 4 4 1( 2 ; (4) ) 2 4 2 ( 2 2 2 2 aa a aa a ; (5) 1 1 ) 1 2 1 1 ( 22 xx x x x ; (6) 232 2 13 )5(3 3 zxyzyx (7) x xx x xx x 3 6 )3( 44 6
8、2 2 2 ; (8) 2 7 8 8 7 _ 30 5 1 2 8 1 1 5. 解答题 （1）已知 : a=3, 2b, 求 22 2 ) 11 ( baba ab ba 的值 （2）先化简 xxx x xx x1 ) 12 1 ( 22 , 再选择一个适当的x值代入并求值 （3）已知（23)(2)0xx, 求 xx xx x x x x 3 6 ) 4 3 1 ( 2 2 的值 （4）已知 1 2xx, 求 22 xx的值 6 解下列分式方程 (1)1 4 1 2 2 x x x x (2) 14 13 42 3 12 1 2 x x xx 7. m 为何值时 , 关于 x的方程 36
9、1(1) xm xxx x 有解？ 8. 关于 x 的方程1 1 a x 的解是负数 , 则 a 的取值范围是（） (A) 1a (B) 1a且0a (C) 1a (D) 1a且0a 9. 已知关于 x 的方程2 33 xm xx 有正数解 , 则（） (A) 0m且3m (B) 6m且3m (C) 0m (D) 6m 10. 当 m为何值时 , 关于 x的方程 2 23 242 mx xxx 无解？ 学习必备欢迎下载 11. 应用题 (1) 点 A, B 在数轴上所对应的数分别是3和 x x 2 1 , 且点 A, B 到原点的距离相等, 求x的值 . (2) 某一工程 , 在招标时接到甲、
10、乙两个工程队的投标书, 施工一天 , 需付甲工程队工程款1.2万 元, 乙工程队工程款0.5 万元 , 工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算, 有如下方案 : 甲队单独完成这项工程刚好如期完成; 乙队单独完成这项工程比规定日期多用6 天; 若甲、乙合作3 天, 余下的工程由乙队单独做也正好如期完成, 试问 : 在不耽误工期的前提下, 你觉得哪一种施工方案, 最节省工程款？请说明理由 （三）二次根式 1. 二次根式概念和性质 二次根式的概念 : 形如)0(aa的式子叫做二次根式 二次根式 )0(aa 概念 性质 二次根式 最简二次根式 同类二次根式 )0(0 aa )0,0(babaab )0
11、, 0(ba b a b a 运算 )0()( 2 aaa ) 0( )0( 2 aa aa aa 乘法: )0,0(baabba 除法: )0,0(ba b a b a 加减法 : 合并同类二次根式 混 合 运 算 学习必备欢迎下载 二次根式的主要性质 : (1)0( ,0 aa; (2)0()( 2 aaa; (3) )0( )0( 2 aa aa aa; (4) 积的算术平方根的性质 : )0,0(babaab; (5) 商的算术平方根的性质 : )0,0(ba b a b a ; (6)若0ba, 则ba. 参考练习 : 1. 下列各式中15、3a、 2 1b、 22 ab、 2 20
12、m、144, 二次根式的个数是 （） (A) 4 ( B) 3 ( C) 2 (D) 1 2.（1）函数 2 x y x 的自变量x的取值范围是 ; （2）当x满足时, 25xx在实数范围内有意义; （3）当ba,满足時, 等式baba; 3. y x 是二次根式 , 则 x、y 应满足的条件是（） (A) 0x且0y (B) 0 y x (C) 0x且0y (D) 0 y x 4. 要使 12 1 3 x x有意义 , 则 x应满足（） (A) 2 1 x 3 (B) x3 且 x 2 1 (C) 2 1 x3 (D) 2 1 x3 5. 使式子 2 (5)x有意义的未知数x 有（）个 (A
13、) 0 (B) 1 (C) 2 (D)无数 6. 计算 2 ( 3)的结果是 ( ) (A) 3 (B) 3 (C) 3 (D) 9 7. a0 时, 2 a、 2 ()a、- 2 a, 比较它们的结果, 下面四个选项中正确的是（） 学习必备欢迎下载 (A) 2 a= 2 ()a - 2 a ( B) 2 a 2 ()a- 2 a (C) 2 a 2 a= 2 ()a 8. 化简11xx_ _ 9. 计算 （ 1）（9） 2 （2）-（3） 2 （3）（ 1 2 6） 2 （4）（ -3 2 3 ） 2 10. 等式111 2 xxx成立的条件是（） (A) x 1 (B) x -1 (C)
14、-1 x 1 ( D) x1或 x -1 11. 下列运算错误的是( ) (A) 235 (B) 236 (C) 623 (D) 2 (2)2 12. 下列各式计算正确的是（） (A) m 2 m3 = m6 (B) 3 3 4 3 1 16 3 1 16 (C) 53232 333 (D) a a a a a1 1 1 )1( 1 1 )1( 2 （a1） 13. 在根式6.1, zyx 2 )(, ba2, x 1 , 2 x , x y , 22 yx, ab8, 3 x中, 最简二 次根式的个数为 _ 14. 若最简二次根式14 5 2 x与最简二次根式164x可以合并 , 则x的取值
15、为 _ _. 15. 已知最简二次根式43ab与 1 26 b ab是同类二次根式, 则ab的值的 _ 16. 满足275yx的整数对有（） (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D)多于 3 个 17. 化简 : 15 20 5 ; 2 211xxx = ; 332 |mmm0m; 1 a a 18. （1）实数a在数轴上的位置如图所示: 化简 : 2 1(2)_aa 1 012 a 学习必备欢迎下载 （2）若23x, 那么 22 (2)(3)xx的值为 19. 若-3 x2 时 , 试化简 x-2+ 2 (3)x+ 2 1025xx. 20. （1）已知 : , x y为实数
16、, 且113yxx, 化简 : 2 3816yyy （2）若 2 (2006)2007mmm, 则代数式 2 2006m的值是 （3）若mmmm213)2)(13(成立 , 化简21694 2 mmmm 2. 二次根式的运算 二次根式的乘法 : )0,0(baabba 二次根式的除法 : )0, 0(ba b a b a 二次根式的加减法 : 将每个二次根式化为最简二次根式; 合并同类二次根式 相关练习 : 1. 下列计算正确的是（） (A) 2122423 (B) 6 3 2 )3( 3 2 3 2 (C) 15)5()3(259)25()9( (D) 525)1213)(1213(1213
17、 22 2. 计算 : 27 23 =_; 2330=_; )23(30=_; ba a 2 8 6 =_; 3. 先将 23 22 2 xx x x x 化简 , 然后自选一个合适的x 值, 代入化简后的式子求值 4. 计算 （1）82（2）32 4 1 18 2 1 82 学习必备欢迎下载 （3）483 27 1 4122（4）)272( 4 3 )32( 2 1 （5） 0 ( 1)123（6） 0 28 1851 22 （7）6 8 1 3 2 2 2 1 24（8） 32 812 2 （9） 2 )1812(; （10） 5 3 3103 （11） 3 2 2 2 3 5 1 345
18、（12） 1920 )625()625( （13）) 4 3 2 3 ( 48 1 9（14） 231 (23) (74 3) 31 5. 计算 （ 1） 22 2xx x x（2） a b baab b3 1 ) 2 3 ( 235 （3） 3 ( 33 27) 3 a aa（4）)93() 2 4( 3 ab a b aba ab a b 3. 二次根式的化简求值 相关练习 : 1. 已知:3x, 求 xx x x 2 2 12 的值. 2. 已知 :a 23, b23, 试求 ab ba 的值 3. 先化简 , 再求值 :（6x y x + 33 xy y ）（ 4x x y +36xy
19、） , 其中 x= 3 2 , y=27 4. 在实数范围内分解因式: （1）4 4 x（2）332 2 xx 5. 下面不等关系正确的是（） 学习必备欢迎下载 (A) 4 3 28 .2 (B) 3223(C)3223 (D) 6382 6. 已知25的整数部分为 a , 小数部分为b, 求 22 22 44 4 baba ba 的值 7. 已知)57( 2 1 x, )57( 2 1 y, 求 22 yxyx 的值 . 8. 已知 : 10 1 a a, 求: (1) 2 2 1 a a的值 ; (2) a a 1 的值 9.（1）已知 2 310xx, 求 2 2 1 2x x 的值 .
20、 （2）已知 a+b=-3, ab=1, 求 a b b a 的值 . 10. （1）已知2|2 | 0xyy, 求)( 2 22 22 yx yx y yx xyyx 的值 . （2）已知 2320xx, 求 xx xx x x x x 3 64 3 1 2 2 的值 . 五. 关于代数、几何综合问题的几点想法 1. 应用方程思想解决几何问题 举例 : 如图 ABC 面积为 1, 点 D、E 为 BC 的三等分点 , 点 F、G 为 AC 的三等分点 , 请求出多个三角形和四边形的面积. 2. 应用因式分解的方法解决几何问题 举例 : 若一个三角形的三边长分别为a, b, c, 且满足022
21、2 222 bcabcba, 试判断三角形 的形状 , 并加以证明 . 3. 坐标系中的几何图形问题 举例 : （1）（ 2012 四川成都）如图, 在平面直角坐标系xOy 中，点 P(3， 5)关于 y 轴的对称点 的坐标为（） A(3，5) B(3， 5) C(3，5) D(5，3) G F E D C B A P Q M N 学习必备欢迎下载 （2）（ 2012 深圳市）已知点(,)Paa21 23关于x轴的对称点在第一象限, 则a的取值范围 是（） A. a1B. a 3 1 2 C a 3 1 2 D. a 3 2 （3）每个小方格都是边长为1 个单位长度的小正方形, 梯形 ABCD
22、 在平面直角坐标系中的位置如图所示. 在平面直角坐标系中画出梯形ABCD 关于直线AD 的 轴对称图形AB1C1D; 求出图形ABCC1 B1A 的面积 ; 点 P是 y 轴上一个动点 , 请直接写出所有满足POA 是等腰三角形的动点P 的个数 . （4） 如图 , 在直角坐标系xOy 中 , A、B 两点的坐标分别 为(4,0)A, (0,3)B, 若一个直角三角形与Rt OAB仅有一条 公共边 , 并且这两个三角形全等. (1) 符合题意的直角三角形共有_个 ; (2) 请写出符合题意的直角三角形中, 未知顶点的坐标: _ ( 写出 4 个即可 ) 整式的乘法与因式分解部分 y x -1
23、1 D A B C -1 O1 A B O x y 学习必备欢迎下载 1. 在同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方公式的复习过程中，要注意： （1）关于幂的运算中一些记忆的方法: 同底数幂相乘 指数相加（ “ 乘” 变“ 加” ，降一级运算）；同底数幂相除指数相减 （“ 除” 变“ 减” ，降一级运算）；幂的乘方指数相乘（ “ 乘方” 变“ 乘” ，降一级运 算）；最后积的乘方单记. （2）公式中的底数、指数都可以是数，也可以是单项式或者是多项式; 指数可以是 正整数 , 也可以是负整数 . （3）一些同底数幂的表面形式可能不相同，但其本质是同底数幂，要善于应用相关 法则进行转化 . 注意对 “
24、为整数）naaaa nnnn .(, 221212 ” 的应用：借助它可以将底数互 为相反数的问题化成同底数幂的形式来解决；在乘方运算中，底数是负数时，可以 通过它来确定乘方的符号，例如：计算 63 aa. （4）强调在计算过程中，应该先进行符号的运算; 同时强调要有简算的意识 . （5）公式的逆用： nmnm aaa； m n n mmn aaa； nnn abba. 2. 在乘法公式的复习过程中，抓住公式中的几个变化形式有利于对公式的理解： （1）对于平方差公式 : 位置变化：如abba ; 系数变化：如yxyx5353； 指数变化：如 2323 nmnm； 符号变化：如baba； 数字变
25、化：如 98 102； 学习必备欢迎下载 增项变化：如pnmpnm； 增因式变化：如 4422 babababa；等等 . （2）完全平方公式与平方差公式的综合应用：如cbacba22； （3）利用完全平方公式变形、求值： abbabaabbaba4;4 2222 ； 4 22 baba ab； abbaabbaba22 2222 等等. （4）可以根据学生情况，补充一些公式： 3322 )(babababa; 32233 33)(babbaaba; bcacabcbacba222)( 2222 ; 等等 . 3. 在因式分解的复习过程中, 注意强调 : （1）因式分解与整式乘法的关系 : p
26、 2 q 2 (p + q )(pq) （2） 方法: 提公因式法 公式法 (平方差 , 完全平方 ) 十字相乘法 * 分组分解法 （3）注意事项 : 因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式; 因式分解要进行到不能再分解为止; 最终分解结果仅相差一个数字因数的，可看作分解结果相同; 并不是所有多项式都能分解因式. 4. 数学思想方法 : 转化思想 ; 整体思想 ; 数学方法 : 换元法 , 配方法 . 参考练习 : 1 . 分解因式（利用公式 : a 2 b 2 = (a + b)(a b)） (1) (2x) 2 9 (2) 81 m 4 n 4 (3) ( x +1) 2 (y3)
27、2 (4) 21 23 4 x (5) 4 (x + y) 2 16 (ab) 2 (6) ( x2 + y2)2 4x 2y2 因式分解 整式乘法 学习必备欢迎下载 (7) 64m 2n2 (m 2 + 16n 2)2 (8) ( x 2 +3x) 2 (2x +6) 2 (9) a 6 b 6 (10) x2n 1 (n 为正整数 ) (11) a 4 (a4 1) a 4 +1 2. 分解因式（利用公式: a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 ） (1) 21 4 xx (2) x 4 2x 2 + 1 (3) x 4 2x 2y2 + y4 (4) 223 42 93 m n
28、mn n (5) ( m +2) 2 2 (m +2) + 1 (6) x (x +3)(x +2)(x +1) + 1 (7) ( a1)(a +1)(a +3)(a + 5) + 16 (8) 9x 2 mxy + 16y 2 是一个完全平方式, 则 m 的值为 _ (9) x 2 + bxy + ay2 = (x 3y) 2 , 则 a = _ , b = _ 3. 分解因式（利用公式: x 2 (a +b)x + ab = (xa)(xb) ） (1) x 2 + 5x + 6 (2) x2 5x + 6 (3) x 2 + 5x 6 (4) x 2 5x 6 (5) x 2 + 7x
29、 + 6 (6) x2 + x 6 (7) x 2 7x + 6 (8) x 2 x 6 (9) x 2y2 + xy 2 (10) a 2 4ab + 3b 2 (11) x 4 7x 2 18 (12) 16 x 2 31xy 2y 2 (13) 213 1 84 mm (14) ( x + y) 2 + 4 (x + y) 21 (15) (x 2 3x) 2 2 (x 2 3x) 8 4. 分解因式 (1) 3 ax 4by 4ay + 3bx (2) 3 a 3 + 6a2b 3a 2c 6abc (3) a 2 b 2 + a b (4) x 2 a 2 + 2ab b 2 5.
30、分解因式 (1) mnmxmnx 22 )2( (2) 3)32( 2 kxkkx (3) 12)13( 2 kxkkx 6. 计算题 学习必备欢迎下载 (1) ) 9 2 )( 2 3 ( 2332 cbaba (2) xxx 2332 )()( (3) )24)2( 22 yxyxyx（ (4) )(5) 2 1 (2 2222 abbaababa (5) 422222222 44)2()()2(babbabaab (6) ) 4 1 ()6() 3 2 ( 44223332 yxyxyx (7) 2243 )102()105()108( (8) 20002000 ) 3 1 3() 10 3 ( (9) 24 165.2 (10) 0.25 2004 4 2005 8 100 0.5 300 (11) )1(322 44816 mnmnm 7. 解答题 (1) 求值 : abbaabaaba3)129(9)2( 24322 , 其中.2, 1 ba (2) 若)(1(6116 223 nmxxxxxx，求nm,的值 (3) 已知 : x = 5, y = 5 1 , 求 2 122nn yxx的值 (4) 已知 n 是正整数 , 且9 2n x, 求 nn xx 2223 )(3) 3 1 (的值 . (5) 若01 2 mm，求32 23 mm的值 .