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1、学习必备欢迎下载 第 1 页 第二章实数复习教案 教学目标 知识与技能 :1. 掌握平方根和立方根的概念, 并能求出某些数的平方根和立方 根.2. 掌握估算的方法 , 在解决实际问题中 , 能用计算器进行近似计算 , 并会按问 题的要求对结果取近似值.3. 掌握实数的概念和意义 , 理解实数的分类 , 并能运用 运算律进行实数的相关运算.4. 了解二次根式、最简二次根式的概念 , 了解二次根 式(根号下仅限于数 ) 加、减、乘、除运算法则, 会用它们进行有关的简单四则运 算. 过程与方法 :1. 体验从具体情境中抽象出数学符号的过程, 理解实数 . 2. 经历数系扩充、 探求实数性质及其运算规
2、律、 借助计算器探索数学规律等活动 过程.3. 了解无理数和实数的概念 , 知道实数与数轴上的点一一对应, 能求实数的 相反数与绝对值 .4. 了解近似数 , 在解决实际问题中 , 能用计算器进行近似计算 , 并会按问题的要求对结果取近似值. 情感态度与价值观 :1. 发展抽象概括能力 , 并在活动中进一步发展学生独立思考、 合作交流的意识和能力 .2. 能运用实数的运算解决简单的实际问题, 提高应用意 识, 发展解决问题的能力 , 从中体会数学的应用价值 . 教学重难点 【重点】1. 实数的概念和意义 .2. 会用计算器求平方根和立方根, 并能探索一 些有趣的数学规律 .3. 能对带根号的数
3、进行化简 , 并能利用化简进行有关实数的 简单四则运算 .4. 能运用实数的运算解决简单的实际问题. 【难点】 1. 无理数概念的理解及应用 .2. 解决与实数有关的实际问题时的思 维转化 .3. 运算性质的掌握与应用 . 知识总结 实数分为 : 专题讲座 : 专题一实数的相关概念、性质和运算 【专题分析】有理数和无理数统称为实数, 在有理数范围内的运算法则和运 算律, 以及倒数、绝对值、相反数等在实数范围内仍然成立, 明确平方根和立方根 的含义 . 无理数和有理数一样 , 是初中数学学习乃至今后进一步学习的基础. 实数是 中学数学的重要基础 , 很多数学问题都是借助实数解决的, 在中考中占有
4、重要的 地位. 下列各数中 , 哪些是有理数 ?哪些是无理数 ? ,3.14159265,-,- 1,3.1010010001 (相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1). 解析整数和分数统称为有理数 , 无限不循环小数是无理数 . 解:3.14159265,是有理数 .,-,- 1,3.1010010001 (相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1) 是无理数 . 知识总结 此题考查有理数和无理数的概念. 整数和分数统称为有理数 , 这是有理数的判断方法 . 无理数是无限不循环小数, 这是无理数的判断方法 . 而无 学习必备欢迎下载 第 2 页 限不循环小数主要有以下几种: 开方开不尽的
5、方根 ; 含 的数; 是无限小 数且不循环 . 易错提示 (-)2=5, 是有理数 , 不是无理数 . 【针对训练 1】下列各数 -, ,()2中, 是无理数的是. 解析根据无理数的定义判断 . 故填, . 解题策略 判断是不是无理数时 , 不要只看表面形式 , 如=-0.1,()2=2都 是有理数 . 计算. (1) -; (2) 5-9 . 解析本题主要考查实数的运算法则及二次根式的化简. 解:(1) -2=-. (2)5- 9=5-9=10- 9+2=10-3+2=9. 【针对训练 2】(1) 已知 a,b 满足+|b+3|=0, 求(a+b)2019 的值; (2) 已知 y=-2+3
6、, 求 xy 的值. 解:(1) 0,|b+3| 0, 且 +|b+3|=0, =0,|b+3|=0,a=2,b= - 3, (a+b)2019=(2 -3)2019=(-1)2019=-1. (2) 2x-40,4 - 2x0, 2x-4=4- 2x=0,x=2,y=0-0+3=3,xy=23=8. 解题策略 运用算术平方根的双重非负性解决此题, 这也是本章的难点之 一. 【针对训练 3】已知 ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高 AD=8,则边 BC的 长为多少 ? 解析分 ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况. 解: 如图(1) 所示, 当 ABC为锐角三角形时 , 易求 B
7、D=15,DC=6, 从而求得 BC=15+6=21. 如图(2) 所示, 当 ABC 为钝角三角形时 , 易求 BD=15,DC=6, 从而求得 BC=15-6=9. 知识总结 此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题. 其易错点是 ABC的形状有两种情况 , 学生容易忽略钝角三角形的情况. 通过此 题意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力. 专题二与二次根式有关的规律探究题 【专题分析】 二次根式在形式上有自己的特殊性, 由于这种规律性 , 出题往往根据它来设 计题目 . 在近年的中考中 , 逐渐关注此类的规律探索题. 在解决此类题目时 , 通过已知条件 , 找准式子
8、和序号之间的关系, 从而确定二 次根式的规律 . 1, 按如图所示的方式排列 . 学习必备欢迎下载 第 3 页 若规定 (m,n) 表示第 m排从左到右第 n 个数, 则(4,2) 与(21,2) 表示的两数 之积是 ( ) A.1 B.2 C.2 D.6 解析若将上述数阵从左到右 , 从上到下排成一排 , 得到由 1, 这四个 数循环排列的数列 , 那么(m, n) 是第+n=+n个数, 即 (4, 2) 是第 +2=8 个 数,8 4=2,故 (4, 2)表示的数是 .(21, 2) 是第+2=212 个数,2124=53,所以 (21, 2)表示的数是 , 所以 (4,2)与(21,2)
9、 表示的两数之积是6. 故选 D. 【针对训练 4】观察下列各式及其验证过程, 然后回答后面的问题 . =2,验证:=2; =3,验证:=3 . (1) 按照上述两个等式及其验证过程, 猜想的变形结果并进行验证; (2) 针对上述各式反映的规律 , 写出用 a(a 为任意自然数 , 且 a2)表示的等 式, 并给出验证 . 解析(1) 通过观察 , 不难发现 : 等式左边的被开方数是两个数相加, 两个 加数分别是右边根号外的数和根号内的数.(2) 根据上述变形过程的规律 , 即可推 广到一般 . 表示等式时 , 注意等式右边根号外的数和根号内的分子相同, 根号内的 分母是分子的平方减去1. 解
10、:(1) =4 . 验证如下 : = = = 4 . (2) =n . 验证如下 : =n . 阅读材料 : 小明在学习二次根式后 , 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方, 如 3+2=(1+)2, 善于思考的小明进行了以下探索: 设 a+b=(m+n)2(其中 a,b,m,n 均为正整数 ), 则有 a+b=m2+2n2+2mn, a=m2+2n2,b=2mn. 这样小明就找到了一种把部分形如a+b 的 式子化为平方式的方法 . 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题: (1) 当 a,b,m,n 均为正整数时 , 若 a+b=(m+n)2, 用含 m,n的式子分别表示 a,b, 则
11、 a= ,b= ; (2) 利用所探索的结论 , 找一组正整数 a,b,m,n 填空: + =( + )2; (3) 已知 a+4=(m+n)2,且 a,m,n 均为正整数 , 求 a 的值. 解析(1) 根据完全平方公式运算法则, 即可得出 a,b 的表达 式. a+b,a+b=m2+3n2+2mn, a=m2+3n2,b=2mn.(2)首先确定好m,n 的正整数 值, 然后根据 (1) 的结论即可求出 a,b 的值. 设 m=1,n=1,则 a=m2+3n2=4,b=2mn=2.(3)根据题意 ,4=2mn,首先确定 m,n 的值, 通过分析得 m=2,n=1或 m=1,n=2,然后即可确
12、定 a 的值. 解:(1)m2+3n2 2mn (2)4 2 1 1 (3) 由题意 , 得 a=m2+3n2,b=2mn, 4=2mn,且 m,n 为正整数 , 学习必备欢迎下载 第 4 页 m=2,n=1或 m=1,n=2, a=22+3 12=7或 a=12+3 22=13. 【针对训练 5】研究下列算式 , 你发现有什么规律 ? =2;=3;=4;=5 请你找出规律 , 并用含字母的等式表示出来. 解:=n+1(n 为正整数 ). 【针对训练 6】先观察下列等式 , 再回答下列问题 : =1+-=1; =1+-=1; =1+-=1. (1) 请你根据上面三个等式提供的信息, 猜想的结果
13、 , 并验证 ; (2) 请你按照上面各等式反映的规律, 试写出用含 n 的式子表示上面规律的 等式(n 为正整数 ). 解:(1) =1+-=1. 验证:= =1. (2) =1+-=1+(n为正整数 ). 方法归纳 找准式子和序号之间的关系特别重要, 关于二次根式的规律探 究, 可以从式子本身的特征出发, 根据每个式子与式子序号之间的关系来确定. 专题三实数与数轴 【专题分析】 数轴上的点和实数是一一对应的, 当然通过数轴还能比较数的大小. 数轴上的点可以表示实数 , 每一个实数都能在数轴上找到一个点和它对应. 如图所示 , 直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周( 不 滑动), 圆上的一点由原点到达点O, 点 O所对应的数值是. 解析圆的周长为 2r, 将 r=0.5 代入, 得周长为 . 故填 . 【针对训练 7】若=-a, 则实数 a 在数轴上的对应点一定在( ) A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点或原点左侧 D. 原点或原点右侧 解析当 a0时,=-a. 故选 C. 【针对训练 8】实数 a, b 在数轴上的位置如图所示 , 化简|a-|+|b-|. 解析由数轴可知 1a2,-1b0. 解: 原式=-a+-b=-a-b. 方法归纳 数轴上的点和实数是一一对应的, 当然通过数轴还能比较数的 大小.