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1、学习必备欢迎下载 第 1 页 第四章一次函数复习教案 1. 掌握一次函数、正比例函数的定义以及它们之间的关系. 2. 掌握一次函数的性质 . 通过对知识的整合 , 提升分析问题、解决问题的能力. 培养学生学以致用的意识 . 【重点】 1. 一次函数、正比例函数的定义以及它们之间的关系. 2. 一次函数的性质 . 【难点】用一次函数解决实际问题 . 一次函数 专题一函数的概念 【专题分析】 一般地 , 如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y, 并且对于变量 x 的每一个 值, 变量 y 都有唯一的值和它对应 , 那么我们称 y 是 x 的函数 , 其中 x 是自变量 . 一定要理解好函数的概念
2、, 再解决相关的问题 . 近年来, 在全国各地的中考中 , 涉 及一次函数、正比例函数的知识比较多, 一次函数的概念、利用待定系数法求一 次函数的关系式、一次函数与其他知识的综合运用是重点, 考题多以填空题、解 答题为主 , 也不乏创新探究题出现 . 如图所示的图形中不能表示y 是 x 的函数的是 ( ) 解析选项 A,B,D 中给定自变量 x 一个值 , 有且只有一个函数值y 与其 对应, 所以 A,B,D 都可表示是的函数 . 故选 C. 【针对训练 1】下列关于变量 x, y的关系 式: 3x- 2y=5;y=|x|; 2x-y2=10. 其中表示 y 是 x 的函数的是( ) A.B.
3、 C.D. 解析根据函数的定义可知表示y 是 x 的函数 . 故选 B. 【针对训练 2】若 y=(m-3)x|m|-2+m 是一次函数 , 则 m= . 解析根据一次函数的定义可知 |m|-2=1, 且 m-30, 所以 m=-3. 故填 -3. 规律方法 一次函数 y=kx+b(k,b 为常数 , 且 k0)要注意以下三个要 点:(1) 等式两边是整式 ;(2) 自变量 x 的次数是 1 次;(3) 自变量的系数 k 不等于 0. 专题二一次函数和正比例函数的图象和性质 【专题分析】 函数图象是数形结合思想的重要体现之一, 结合函数图象可以综合考查很多 相关知识 . 一次函数 y=kx+b
4、(k,b 为常数 , 且 k0)的图象及其性质是由k,b 决定 的,k 决定直线的方向及倾斜程度,b 决定直线与 y轴的交点坐标 . 一次函数的性质 主要包括 k 和 b 的取值、图象位置和函数增减性 , 它们之间可以相互推导 , 互为条 件和结论 . 将函数 y=-3x 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后 , 所得图象对应 的函数关系式为( ) A.y=-3x+2 B.y=-3x-2 C.y=-3(x+2) D.y=-3(x-2) 解析根据一次函数平移规律“上加下减”, 得将函数 y=-3x 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后 , 所得图象对应的函数关系式为y=-3x+2.
5、故选 A. 学习必备欢迎下载 第 2 页 【针对训练 3】在平面直角坐标系中 , 已知一次函数 y=2x+1的图象经过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点, 若 x1”“0 时,y 随 x 的增大而增大 . 一次函 数 y=2x+1 中,k=20, y随 x 的增大而增大 , x10 时,=2, 解得 k=1; 当 k3,b0,2-b0, 所以|b-a|-|2-b|=a-b-|a-3|-(2-b)=a-b-a+3-2+b=1.故填 1. 【针对训练 5】如图所示 , 已知直线 y=ax-b, 则关于 x 的方程 ax-1=b 的解 为 x= . 解析根据图象可知 , 当 y=1 时,x
6、=4, 即 ax-b=1 时,x=4. 故方程 ax-1=b 的解为 x=4.故填 4. 专题五分类讨论思想 【专题分析】 在解答某些数学问题时 , 有时会遇到多种情况 , 需要对各种情况加以分类, 并 逐类求解 , 然后综合得解 , 这就需运用分类讨论思想 . 分类讨论思想是一种重要的 数学思想 , 同时也是一种重要的解题策略, 不重复、不遗漏是对分类提出的基本要 求. 甲、乙两地相距 50 km. 星期天上午 8:00, 小明同学骑山地车从甲地 前往乙地 ,2 h 后, 小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地, 他们行驶 的路程 y(km)与小明行驶的时间x(h) 之间的函数关系如图
7、所示, 小明父亲出发 h 时, 行进中的两车相距8 km. 解析根据图象求出小明和父亲的速度, 然后设小明的父亲出发x h 时 两车相距 8 km, 再分相遇前和相遇后两种情况列出方程求解即可. 由图可知小明 的速度为 363=12(km/h), 父亲的速度为 36(3 -2)=36(km/h),设小明的父亲出 发 x h 两车相距 8 km, 则小明出发的时间为 (x+2)h, 根据题意得 12(x+2)-36x=8 学习必备欢迎下载 第 4 页 或 36x-12(x+2)=8, 解得 x=或 x=. 所以出发 h 或 h 时, 行进中的两车相距8 km. 故填或 . 【针对训练 6】在一条
8、笔直的公路上有A,B 两地, 甲骑自行车从 A地到 B 地, 乙骑自行车从 B地到 A地, 乙到达 A地后立即按原路返回 , 如图所示的是甲、 乙两人离 B地的距离 y(km) 与行驶时间 x(h) 之间的函数图象 , 根据图象解答下列 问题: (1) 写出 A,B 两地之间的距离 ; (2) 求出点 M的坐标 , 并解释该点坐标所表示的实际意义; (3) 若两人之间的距离不超过3 km时, 能够用无线对讲机保持联系, 请写出甲、 乙两人能够用无线对讲机保持联系时x 的取值范围 . 解析(1) 由图象可直接得 A,B 两地之间的距离 .(2) 根据图象求出甲、 乙两人的速度 , 再利用相遇问题
9、的求法求出相遇时间, 然后求出乙行驶的路程即 可得到点 M的坐标以及实际意义 .(3) 分相遇前和相遇后两种情况求出x 的值, 再 求出最后两人都到达B地前两人相距 3 km 的时间 , 然后写出两个取值范围即可. 解:(1) 由图象可知 A,B 两地之间的距离为30 km. (2) 由图可知甲的速度为302=15(km/h), 乙的速度为 301=30(km/h),30 (15+30)=(h),30=20(km), 所以点 M的坐标为 , 表示 h 后两车相遇 , 此时距离 B地 20 km. (3) 设 x h 时, 甲、乙两人相距 3 km. 若是相遇前 , 则 15x+30x=30-3
10、, 解得 x=; 若是相遇后 , 则 15x+30x=30+3, 解得 x=; 若是到达 B地前, 则-30x+60-(-15x+30)=3, 解得 x=. 所以当 x或x2 时, 甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系. 专题六一次函数的应用 【专题分析】 一次函数的应用问题是新课标重点考查的知识点之一, 主要考查一次函数的 表达式及从图象中获取信息解决问题的能力, 综合应用一次函数的图象、一次函 数的性质等知识是中考必考内容, 还常常与方程、不等式、几何图形等知识综合 考查. 某商店销售 A,B 两种品牌的彩色电视机 , 已知 A,B 两种彩电的进价每 台分别为 2019 元,1600 元,
11、一月份 A,B 两种彩电的销售价分别为每台2700 元,2100 元, 月利润为 1.2 万元. 为了增加利润 , 二月份营销人员提供了两套销售 策略. 策略一 :A 种每台降价 100 元,B 种每台降价 80 元, 估计销售量分别增长 30%,40%; 策略二 :A 种每台降价 150 元,B 种每台降价 80 元, 估计销售量都增长50%. 学习必备欢迎下载 第 5 页 请你解答下列问题 : (1) 若设一月份 A,B两种彩电销售量分别为x 台和 y 台, 写出 y与 x的关系式 , 并求出 A种彩电销售的台数最多是多少; (2) 二月份这两种策略是否能增加利润? (3) 二月份该商店应
12、该采用上述两种销售策略中的哪一种, 方能使该商店所 获利润较多 ?请说明理由 . 解析根据月利润可列出关于x,y 的方程 , 即可得到 y 与 x 的函数关系 式, 由 x,y 为整数 , 求出 A种彩电销售台数的最大值 . 写出策略一、策略二的利润 与 x,y 的关系 , 再和 12019比较, 即可得出结论 . 解:(1) 依题意 , 有(2700-2019)x+(2100-1600)y=12019,即 700x+500y=12019, 则 y=24-x, 因为 y 为整数 , 所以 x 为 5 的倍数, 故 x 的最大值为 15, 即 A种彩电销售的台数最多为15 台. (2) 策略一
13、: 利润 W1=(2700-100-2019)(1+30%)x+(2100-80-1600)(1+40%)y=780x+588y, 策略二 : 利润 W2=(2700-150-2019)(1+50%)x+(2100-80-1600)(1+50%)y=825x+630y. 因为 700x+500y=12019, 所以 780x+588y12019, 825x+630y12019. 故策略一、策略二均能增加利润. (3) 因为 W2-W1=45x+42y0, 所以 W2W1, 故策略二使该商店获得的利润较多, 应采用策略二 . 归纳拓展 营销策略问题是现实生活中常见的问题, 解题的关键是建立一 次
14、函数模型 , 运用一次函数的性质结合方程、 不等式等知识求解 , 从而确定最佳营 销策略 , 这类题的特点是数据多 , 关系复杂 , 解题时要认真读题 , 弄清各个量之间 的联系 . 【针对训练 7】某食品加工厂需要一批食品包装盒, 现有两种方案可供选 择: 方案一 : 从包装盒加工厂直接购买 , 购买所需的费用 y1 与包装盒数 x 满足如 图(1) 所示的函数关系 . 方案二 : 租赁机器自己加工 , 所需费用 y2( 包括租赁机器的费用和生产包装 盒的费用 )与包装盒数 x 满足如图 (2) 所示的函数关系 . 根据图象回答下列问题 : (1) 方案一中每个包装盒的价格是多少元? (2)
15、 方案二中租赁机器的费用是多少元?生产一个包装盒的费用是多少元? (3) 请分别求出 y1,y2 与 x 的函数表达式 ; (4) 如果你是决策者 , 你认为选择哪种方案更省钱?并说明理由 . 解析解关于一次函数的应用问题的基本思路是先建立实际问题中的变 量之间的函数关系式 , 然后写出关系式中自变量的取值范围, 或根据函数的图象 , 确定点、线所代表的实际意义. 学习必备欢迎下载 第 6 页 解:(1)500 100=5, 方案一中每个包装盒的价格为5 元. (2) 根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20190 元, 包装盒的单价为 (30000- 20190)4000=2.5( 元). (3) 设方案一的函数表达式为y1=k1x(k10), 由图象知直线经过点 (100,500), 500=100k1,解得 k1=5, 函数表达式为 y1=5x; 设方案二的函数表达式为y2=k2x+b(k20), 由图象知直线经过点 (0,20190) 和(4000,30000), b=20190, 把 b=20190代入 4000k2+b=30000得 k2=2.5, 函数的表达式为y2=2.5x+20190. (4) 令 5x=2.5x+20190, 解得 x=8000, 当 x=8000时, 两种方案同样省钱 ; 当 x8000时, 选择方案二 .