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1、学习必备欢迎下载 第 1 页 图形的相似及相似图形的性质知识讲解 【学习目标】 1、了解比例线段的概念及有关性质，明确相似比的含义并能灵活运用比例的 性质进行运算求值； 2、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是 否相似以及相似图形的性质. 【要点梳理】 要点一、相似图形 1. 定义：具有相同形状的图形称为相似图形. 要点诠释： (1) 相似图形对应线段的比叫相似比； (2) 相似图形的周长比等于相似比； （3）相似图形的面积比等于相似比的平方. 要点二、比例线段 1两条线段的比： 在使用同一长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条 线段的比 . 2成
2、比例线段： 对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段 3比例的基本性质： 如果那么 ad=bc. 要点诠释： （1）a，b，c，d 叫做这个比例的项， a，b 叫做比例外项， b，c 叫做比例内项 . （2）若 a:b=b:c ，则 b2=ac（b 称为 a,c 的比例中项） 4比例的性质： （1）合分比性质：如果那么； （ 2 ） 等 比 性 质 ： 如 果（ b+d+n0 ）， 那 么 【典型例题】 类型一、比例线段 1. 下列四组线段中，成比例线段的有（） A3cm 、4cm 、5cm 、6
3、cm B 4cm 、8cm 、3cm 、5cm C5cm 、15cm 、2cm 、6cm D8cm 、4cm 、1cm 、3cm 【答案】 C. 【解析】四个选项中只有，故选 C. 学习必备欢迎下载 第 2 页 【总结升华】根据成比例线段的定义. 举一反三： 【变式】判断下列线段a、b、c、d 是否是成比例线段： (1)a=4 ，b=6，c=5，d=10； (2)a=2 ，b=，c=，d= 【答案】 (1) ， ， 线段 a、b、c、d 不是成比例线段 (2) ， 线段 a、b、c、d 是成比例线段 2. 已知线段 a、b、c 满足 a：b：c=3：2：6，且 a+2b+c=26 （1）求 a
4、、b、c 的值； （2）若线段 x 是线段 a、b 的比例中项，求x 的值 【答案】解：（1）a：b：c=3：2：6， 设 a=3k，b=2k，c=6k， 又a+2b+c=26 ， 3k+22k+6k=26，解得 k=2， a=6，b=4，c=12； （2）x是 a、b 的比例中项， x2=ab， x2=46， x=或 x= -（不合题意，舍去）， 即 x 的值为 【总结升华】 本题考查了比例线段及其相关计算，注意利用代数的方法解决较为 简便 3. 已知，则= 【思路点拨】由，则可设 x=2k，y=3k，然后把 x=2k，y=3k 代入原式进行 分式的运算即可 【答案与解析】解：， 学习必备欢
5、迎下载 第 3 页 设 x=2k，y=3k， 原式 = 故答案为 【总结升华】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性 质；合分比性质；等比性质 举一反三： 【变式】已知 xyz0且=k，求 k 的值 【答案】解 : xyz0 x0，y0，z0， 当 x+y+z0时，=k， k=2; 当 x+y+z=0时，x+y=-z,z+x=-y,y+z=-x, k=-1. 综上所述， k=2 或-1. 类型二、相似图形 4. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形_： (1) 两个腰长不等的等腰三角形 (2) 两个半径不等的圆 (3) 两个面积不等的矩形 (4) 两个边长不等的正方形 【思路
6、点拨】 要注意： （1）相似图形就是指形状相同， 但大小不一定相同的图形； （2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多 边形 【答案】 (2) (4). 【解析】 (1) 等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形 不一定相似； (3) 中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对 应角相等， 但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似； (2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全 相同的图形，是相似形 . 【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形， 也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.
7、举一反三： 【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边 放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 学习必备欢迎下载 第 4 页 【答案】 这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样， 对应线段的比都是1:2 ， 虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性. 类型三、相似多边形 5. 如图，点 E是菱形 ABCD 对角线 CA的延长线上任意一点，以线段AE为边 作一个菱形 AEFG ，且菱形 AEFG 菱形 ABCD ，连接 EB ，GD （1）求证： EB=GD ； （2）若DAB=60 ， AB=2 ，AG=，求 GD 的长 【思路点拨】
8、 （1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全 等后即可证得两条线段相等； （2）连接 BD交 AC于点 P，则 BP AC ，根据 DAB=60 得到然 后求得 EP=，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD 的长即可 【答案与解析】（1）证明：菱形 AEFG 菱形 ABCD ， EAG= BAD ， EAG+ GAB= BAD+ GAB ， EAB= GAD ， AE=AG ，AB=AD ， AEB AGD ， EB=GD ； （2）解：连接 BD交 AC于点 P，则 BP AC ， DAB=60 ， PAB=30 ， 【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形 的对应边的比相等，对应角相等