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1、向量与解析几何相结合专题复习 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处 理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向 量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。 一：将向量及其运算的几何意义转化为平面图形的位置关系或数量关系 【例 1 】已知 ABC 中， A、B 两点的坐标分别为（4，2） 、 （3，1） ，O 为坐标原点。 已知 |CA |CB ， | AD |DB ，OCCD，且直线 CD 的方向向量为i （1， 2）求顶点C 的坐标。 【解】如图： |CA |CB ， 0 | | CB CA | AD |DB ， A、
2、D、B 三点共线， D 在线段 AB 上， 且 0 | | DB AD | | CB CA = | | DB AD CD 是 ABC 中 C 的角平分线。 A、D、B 三点共线OCCDO、C、D 三点共线 ,即直线 CD 过原点。 又直线 CD 的方向向量为i（ 1，2） ，直线CD 的斜率为2 直线 CD 的方程为： y2x （注意：至此，以将题中的向量条件全部转化为平面解析几何条件，下面用解析几何的 方法解决该题） 易得：点 A（ 4，2）关于直线y2x 的对称点是A （4,2） ， （怎样求对称点？） A （4,2）在直线 BC 上直线 BC 的方程为： 3xy100 由 0103 2
3、yx xy 得 C（2，4） 【解题回顾 】本题根据向量共线的条件将题设中的 | AD | DB 和OCCD转化 x C B A y O D 为三点共线，实现了向量条件向平面位置关系的转化；而由 | | CB CA = | | DB AD ，实现了 向量条件向平面图形的数量关系的转化，从而从整体上实现了由向量条件向平几及解条 件的转化。 【例 2】 已知 1OF （ 3，0） ， 2OF （ 3，0） ， （O 为坐标原点） ，动点 M 满足： | 1 MF | 2 MF 10。 （1）求动点M 的轨迹 C； （2）若点 P、O 是曲线 C 上任意两点，且OPOQ=0，求 22 2 OQOP
4、PQ 的值 【解】 （1）由 | 1 MF | 2 MF 10 知： 动点 M 到两定点 F1和 F2的距离之和为10 根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆： 1 1625 22 yx （2）点 P、O 是 1 1625 22 yx 上任意两点 设 P( sin4 ,cos5 )，Q( sin4,cos5 ) （注意 ：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） OPOQ=0 得： sinsin16coscos25 0 而 2 PQ 、 22 OQOP 都可以用 、的三角函数表示，利用可以解得： 22 2 OQOP PQ 400 41 【例 3 】在 ABC 中， A(2
5、，3)，B(4，6)，C(3，1)，点 D 满足：CACDCDCB （1）求点 D 的轨迹方程； （2）求 |AD| |BD|的最小值。 x Q P y O 解： （ 1）设 D（x，y） ，则CA（ 1，4） ，CD（ x3，y1） CB（ 1，7） CACDCDCB （ 1） （x3） 4 （y 1）（ x3） 1（ y1） 7 整理得： 2x 3y0 (2)易得点 A 关于直线2x3y0 的对称点的坐标为M（ 2， 3） ， |AD|BD|的最小值为：|AM|133 【注意 】这里利用向量的几何意义，将问题综合为在直线2x3y0 上找一点，使它到 点 A、B 的距离之和最小，利用对称点法
6、解决。 二：将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程。 【 例4 】已知：过点A （ 0， 1）且方向向量为a（ 1， k）的直线l 与 C： 1)3()2( 22 yx 相交与 M、N 两点。 （1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AMAN为定值； （3）若 O 为坐标原点，且OM ON 12，求 k 的值。 【解】直线l 过点 A（0，1）且方向向量为 a（ 1，k） 直线 l 的方程为： ykx 1 （注意 ：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入 C： 1)3()2( 22 yx ，得： 07)1(4)1 ( 22 xkxk 由题意： 07)1(4)1(4 2 kk
7、得：3 74 3 74 k （注意 ：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个 交点， d0） ，点 P 在 y 轴上运动，点M 在 x 轴上运动，点N 为 动点，且PMPF 0，PM0PN （1）求点 N 的轨迹 C； （2）过点 F（a，0）的直线l（不与 x 轴垂直）与曲线C 交于 A、B 两点，设点 K（ a， 0） ，KA与KB的夹角为 ，求证 00 KA与KB的夹角为 ，KA与KB不共线，则 0 cos |KBKA KBKA 0 00 把代入化简得：mm4 2 0 m4 或 mm 4 1 或 m4 为所求的m 的取值范围。 【例 10 】已知点 H（ 3
8、，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴正半轴上，点M 在直线 PQ 上，且HPPM0，PM2 3 MQ （1）当 P在 y 轴上移动时，求点M 的轨迹方程； （2）过点 T（ 1，0）作直线 l 交轨迹 C 与 A、B 两点，若在x 轴上垂直一点E )0,( 0 x ， 使 | AE | AB ,且AE与AB的夹角为60 0，求 0 x 的值 【解】设 M（x，y） ，由PM 2 3 MQ 得 P（ 2 ,0 y ） 、Q（ 0, 3 x ） 由HPPM0 得： xy4 2 点 Q 在 x 轴正半轴上，x0 即所求的轨迹方程为： xy4 2 （x0） （抛物线去掉顶点） （2）设直
9、线l：yk(x 1)（k0） ，代入 xy4 2 得： 0)2(2 2222 kxkxk 设 A（ 11, y x ） 、 B（ 22, y x ） ，则 1 42 21 2 2 21 xx k k xx 线段 AB 的中点坐标为（ kk k2 , 2 2 2 ） 线段 AB 的垂直平分线方程为： kk y 12 (x 2 2 2 k k ) 在中，令y0，得 1 2 2 0 k x (与 x 轴的交点 ) | AE | AB ,且AE与AB的夹角为60 0， ABE 为等边三角形 点 E 到直线 AB 的距离为2 3 |AB| 而|AB|= 2 2 2 1 14 k k k | 12)1(3
10、2 2 2 4 k k k k 解得： 4 32 k 代入从而 3 11 0 x 【例 11 】在坐标平面内，设O 是坐标原点，1 OF )0,3( ，2 OF )0,3( ，点 A 满足 1AF 2AF （ 4，2） ，点集 S P|P 为平面内的点且满足条件：|PF1|PF2|=2 （1）求点 A 的坐标； （2）若 P1、P2S，且 1AP 21PP ，又点 Q 满足 QP 1 2 1 12P P ,求点 Q 的轨迹方程。 【解】设 A ),(00yx ，则 1AF ),3(00yx ， 2AF ),3(00yx 1 AF 2 AF )2,2( 00 yx （ 4， 2） 1,2 00
11、yx ，即 A（ 2，1） （2）由 |PF1|PF2|=2 得点 P的轨迹是以 F1、F2为焦点的双曲线的一支 （即集合 S 所表示的图形）其方程为： 1 2 2 2 y x P1、P2S， P1、P2都在双曲线上。 1AP 21PP ，即点 A、P1、P2三点共线 又 QP1 2 1 12P P 知： Q 是线段 P1P2的中点。 问题转化为： 过点 A 作直线交双曲线与P1、P2两点， 求 P1P2的中点 Q 的轨迹方程。 按求 弦的中点的轨迹方法可得； 042 22 yxyx 【例 12 】如图， O 为坐标原点， A、A1为 x 轴上的定点，且OA（ 0, 2 a ） ， 1 OA
12、（ 0, 2 a ） ，点 B 在过 A 且方向向量是（1，k）的直线l 上，且 BA1 AA1 0，点 M 在线 段 AB 上，且AM 2 1B A MB ，当 k 变化时， 求点 M 的轨迹方程， 并说明轨迹是何种曲线。 【解】由题意知：A（ 0 , 2 a ） ，A1（ 0, 2 a ） ， BA 1 AA 1 0 BA1 AA1 下面求点M 的轨迹方程： 解法一 ：设 M （x， y） ，B（ t a , 2） ， 直线 l 的方向向量为（1，k） ， 直线 l 的斜率为k 由AM 2 1B A MB ，得 | AM 2 1 | BA MB ，即 2 2 2 1 | 2 |1 | 2
13、|1 t a xk a xk 即： 2 1 |2| |2| tax ax 点 M 在线段 AB 上， x A P y O B A1 M 22 a x a ，又 A、M、B 共线， ay a xt) 2 ( 即：ax ay t 2 2 由、消去t 并化简得： 14 4 2 2 2 y a x （y0）即为所求轨迹方程。 当 a1 时，表示圆（不含A、A1） 当 a0 且 a1 时，表示椭圆（不含A、 A1） 解法二 ：依题意；点M 是有向线段AB 的内分点，令 2 1 t，则MB AM 1 1 22 t y aa x （ 0）消去 得： 14 4 2 2 2 y a x （y0） 下同解法一。
14、【解题回顾 】这里是典型的用参数法求轨迹方程的思想，把动点的坐标x、y 与参数的关 系分别解出，消去参数并化简得到。 【例 13 】如图，抛物线 2 2 1 xy 上有两点A（11, y x ） 、B（22, y x ） ，且OAOB0， 又OM（ 0， 2） ， （1）求证：AMAB （2）若MA 2MB,求 AB 所在直线方程。 【解】由题意得：A（ 2 11 2 1 ,xx ） 、B（ 2 22 2 1 ,xx ）OAOB 0， 0)( 4 12 2121 xxxx （ 0 21x x ） 4 21x x x A y O B M MA（ 2 2 1 , 2 11 xx ） ，MB（ 2
15、2 1 , 2 22 xx ） 1 x （ 2 2 12 2 x ）2 x （ 2 2 12 1 x ） （ 1 x 2 x ） （2 1 1 x 2 x 2） 0 MAMB即：AMAB 【解题回顾 】本题体现了向量方法证明三点共线问题的一般方法。 本题的实质是课本上一道题的改编，原题为：过抛物线 pxy2 2 的顶点O 作两条互 相垂直的弦OA、OB，与抛物线交于A、B 两点，求证AB 必过定点（定点为AB 与 x 轴的交点） （2）MA 2MB )2 2 1 (22 2 1 2 2 2 2 1 21 xx xx 422 2 2 2 2 xx 2 2 x B 为 )1,2( 或 )1,2(
16、，得2 2 AB k 或2 2 AB 的方程为： y2 2 x2 思考题： 1已知直线l 过原点，其方向向量为（1,k） ，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在x 轴上， 点 A、B 是两个定点，OA=(1,0)，OB（ 0， 8） ，A1、B1是抛物线C 上的点，直线 AA1、BB1与直线 l 分别相交与 M、N 两点，点 D 是 l 上异于 M、N 的一点， 且MD 1AA 0，MA 1MA 0，NA 1NA 0，求直线l 和抛物线C 的方程。 【答案 】直线方程为： xy 2 51 ，抛物线方程为： xy 5 542 2已知 F1（ 1，0） ，F2（1，0） ，A（ 2 1 ，0） ，动点
17、 P 满足 31 PF PA 2 PF PA0 （1）求动点P 的轨迹方程；（ 2）是否存在点P，使 PA成为 F1PF2的平分线？若存在， 求出点 P的坐标，若不存在，说明理由。 【答案 】 （1） 4 122 yx （2）不存在 3直线 l 过点（ 1，0） ，且方向向量 a（ 2， 2） ，直线 m 过原点 O，其方向向量为b （ 1，k） ，且ab1，中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 与直线 l 相交于 A、B 两 x A y O F1 F2 P 点，点 M 满足MAMB0，直线 m 过点 M，椭圆 E 上存在一点N，与椭圆的右焦 点关于直线l 对称，求椭圆E 的方程。 【答案 】 1 9 16 9 8 22 yx 4已知椭圆 1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的右焦点为F，直线 l 经过点 E( 0 , 2 c a )，直线 l 的方 向向量为 j （0,1） ，其中 c 22 ba，A、B 为椭圆上的两点，且FAFB（ b0） ，与 x 轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P， 使得OPAP=0(O 为原点 )求椭圆的离心率 e的取值范围。 【答案 】2 2 e1 x A y O P