知识点20 二次函数几何方面的应用2019中考真题分类汇编.docx

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1、一、选择题1. （2019乐山）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（） A B C D 【答案】C【解析】连接PB，令=0，得x=，故A（-4，），（4，0），O是AB的中点，又是线段的中点，OQ=PB，点B是圆C外一点，当PB过圆心C时，PB最大，OQ也最大，此时OC=3，OB=4，由勾股定理可得BC=5， PB=BC+PC=5+2=7，OQ=PB=，故选C. 二、填空题1. （2019无锡）如图，在中，AB=AC=5，BC=，为边上一动点(点除外)，以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为 .【答案】8【解析】过D

2、作DGBC于G，过A作ANBC于N，过E作EHHG于H，延长ED交BC于M.易证EHDDGC，可设DG=HE=x，AB=AC=5，BC=，ANBC，BN=BC=2，AN=，GBC，ANBC，DGAN，BG=2x，CG=HD=4- 2x；易证HEDGMD，于是，即MG ，所以SBDE = BMHD=（2x）（4- 2x）=，当x=时，SBDE的最大值为8. 2. (2019 台州)如图,直线l1l2l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,若ABC90,BD4,且,则m+n的最

3、大值为_.【答案】【解析】过点B作BEl1于点E,作BFl3于点F,过点A作ANl2于点N,过点C作CMl2于点M,设AEx,CFy,则BNx,BMy,BD4,DMy4,DN4x,ABC90,且AEBBFC90,CMDAND90,易得AEBBFC,CMDAND,即,mnxy,即,y10,nm,m+nm,mnxyx(10)x2+10xm2,当x时,mn取得最大值为,m2,m最大,m+nm.3. （2019凉山）如图，正方形ABCD中，AB=12, AE =AB，点P在BC上运动 （不与B、C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 .【答案】4【解析】在正方形ABCD中，AB=1

4、2, AE =AB=3，BC=AB=12，BE=9，设BP=x，则CP=12-x.PQEP，EPQ=B=C=90，BEP+BPE=CPQ+BPE=90，BEP=CPQ，EBPPCQ，整理得CQ=，当x=6时，CQ取得最大值为4.故答案为4.三、解答题25（2019山东烟台，25，13分）如图，顶点为M的抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线与另一个点D，作轴，垂足为点E双曲线经过点D，连接MD，BD(1)求抛物线的解析式(2)点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；(3)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC

5、方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，的度数最大？（请直接写出结果）【解题过程】 （1）当时 所以，因为轴，轴，所以四边形OEDC为矩形， 又因为双曲线经过点D， 所以, 所以, 所以 将点、代入抛物线得 解得 所以抛物线的表达式为（2）解：作点D关于x轴的对称点，作点M关于y轴的对称点，如图（1）第25题答图（1）由图形轴对称的性质可知，所以四边形MDNF的周长， 因为是定值，所以当最小时，四边形MDNF的周长最小， 因为两点之间线段最短，所以当I、F、N、H在同一条直线上时最小 所以当I、F、N、H在同一条直线上时，四边形MDNF的周长最小，连接，交x轴于点N，交y轴于点F， 因为抛物线

6、的表达式为，所以点M的坐标为， 由轴对称的性质可得， 设直线HI的表达式为， 所以，解得，所以直线HI的表达式为，当时，当时，所以，所以，所以当M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，（3）解：本题的答案为 解题分析：如图（2），当两点A、B距离是定值，直线CD是一条固定的直线，点P在直线CD上移动，由下图可以看出只有当过A、B的圆与直线CD相切时最大 第25题答图（2）第25题答图（3） 所以可作过点B、D，且与直线OC相切，切点为P，此时的度数最大， 由已知，可得， 因为直线OC与相切，所以，所以直线PT的解析式为 因为抛物线的表达式为，所以点B的坐标为，因为点B、点可以求得直线BD的垂直

7、平分线的解析式为联立与，得，直线PT与直线BD的交点即为点M，所以因为,可得解得或（舍去）所以当时，的度数最大27（2019江苏盐城卷，27，14）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于,两点，点在点的右侧，直线分别于轴、轴交于、两点，且.（1） 求,两点横坐标；（2） 若OAB是以为腰的等腰三角形，求的值；（3） 二次函数图象的对称轴与轴交于点,是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解题过程】（1）A、B是与的交点 ， ，点在点的右侧 ， 点横坐标是，点横坐标.（2）由（1）可知和由两点间距离公式可得：OAB是以为腰的等腰三角形分为两种情况：或当时即 当时即 或综

8、上所述，或或.（3）存在，或【提示】由（1）可知和.根据题意分为两种情况：点在点左侧，点在点右侧.当点在点左侧时 如图1，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 设=m ，由（1）可知和. 在RtBFH中，由得 ， 当点在点右侧时 如图，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 由（1）可知和. 设 在RtBMN中，由得 ， 综上所述，或.23（2019江西省，23，12分）特例感知(1)如图1，对于抛物线，下列结论正确的序号是 ；抛物线，都经过点C(0，1)；抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念(2)把满

9、足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图2.“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；在中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断，是否平行？并说明理由.【解题过程】解：（1）对于抛物线，来说，抛物线，都经过点C(0，1)，正确；抛物线，的对称轴分别为：，的抛物线，的

10、对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到，正确；抛物线，与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3，抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.正确.答案：（2）由可知，顶点坐标为（，），该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式为；当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，相邻两点的距离相等，且距离为：.将y=1代入可得，x=-n（0舍去），点（-1，1），（-2，1），（-3，1），（-n，1）.当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，点（-k-1，），（-k-2，），（-k-3

11、，），（-k-n，）.设，的解析式分别为：y=px+q，y=mx+n，则，解得p=k+n，m=k+n-1，pm，不平行.23（2019山西）综合与探究如图,抛物线yax2+bx+6经过点A（2,0）,B(4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1m4).连接AC,BC,DB,DC.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当BCD的面积等于AOC的面积的时,求m的值;(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.第23题

12、图【解题过程】(1)抛物线yax2+bx+6经过点A（2,0）,B(4,0)两点,解之,得:,抛物线的函数表达式为:;(2)作直线DEx轴于点E,交BC于点G,作CFDE,垂足为点F,点A的坐标为(2,0),OA2,由x0,得y6,点C的坐标为(0,6),OC6,SAOCOAOC6,SBCDSAOC.设直线BC的函数表达式为ykx+n,由B,C两点的坐标得:,解之,得:,直线BC的函数表达式为:yx+6.点G的坐标为(m,m+6),DG(m+6).点B的坐标为(4,0),OB4,SBCDSCDG+SBDG.,解之,得m13,m21,m的值为3.第23题答图(3)存在点M,其坐标为:M1(8,0

13、),M2(0,0),M3(,0),M4(,0).25（2019常德）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC的面积是矩形MNHG面积的，若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由 【解题过程】（1）设抛物线的解析式为y，把B（1，0）代入解析式得：4a40，解得a1，

14、y；（2）四边形MNHG为矩形，MNx轴，设MGNHn，把yn代入y，即n，0，由根与系数关系得2，n3，4，44（n3）164n，MN 2，设矩形MNHG周长为C，则C2（MNMG）2（2n）42n，令t，则n4，C24t82，20，t1时，周长有最大值，最大值为10； （3）在（2）的条件下，当矩形周长最大时t1，1，n3，MN22，D（0，3），此时N与D重合， 236，又当y0时0，解得1，3，C（3，0），D（0，3），直线CD的解析式为yx+3，过P做y轴的平行线，交直线CD于点Q，设P横坐标为m，则P（m，），Q（m，），PQ（）（），当P在Q的上方时，PQ，PQOC，解得m；当

15、P在Q的下方时，PQ，即，解得，（舍去）；P横坐标为或25（2019衡阳）如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入yx2bxc，得解得

16、该抛物线的函数表达式为yx22 x3；（2）CPEB，OPEBCP90，OPEOEP90，OEPBPC，tanOEPtanBPC设OEy，OPx，整理，得yx2x（x）2当OP时，OE有最大值，最大值为，此时点P在（，0）处.（3）过点M作MFx轴交BN于点F，N（0，3），B（3，0），直线的解析式为y3 m.设M（m, m22 m3）,则MFm23m，MBN的面积OBMF( m23m) ( m) 2 .点M的坐标为（，）时，MBN的面积存在最大值.24（2019武汉，24，12分）已知抛物线C1：y（x1）24和C2：yx2（1） 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2） 如图1，抛物线

17、C1与x轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q，连接AQ 若APAQ，求点P的横坐标 若PAPQ，直接写出点P的横坐标（3） 如图2，MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行若MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系 【解题过程】（1）先向左平移1个单位，在向上平移4个单位（2）kAB和A（3，0）易求AB：yAPAQ，PQAOPAOQAOAQ：y联立得设P（t，）则Q（t，）易求：PQ，PAPAPQ （3）

18、设ME：联立则同理：化简得：25（2019黄冈）如图在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，2)，B(2，0)，C(0，2)，D(2，0)四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿BCD运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为t(秒).(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；(2)点P在(1)中的抛物线上，当M为BC的中点时，若PAMPBM，求点P的坐标；(3)当M在CD上运动时，如图.过点M作MFx轴，垂足为F，MEAB，垂足为E.设矩形MEBF与BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；(4)点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K.是否存在点Q，

19、使得HOK为等腰三角形?若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【解题过程】28（2019陇南）如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PNBC，垂足为点N请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少

20、？ 解：（1）由二次函数交点式表达式得：ya（x+3）（x4）a（x2x12）= ax2ax12a，抛物线yax2+bx+4，12a4，解得：a，抛物线的表达式为yx2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（4，0）、（0，4），则AC5，AB7，BC4，OABOBA45，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ykx+b并解得：yx+4，同理可得直线AC的表达式为：yx+4，设直线AC的中点为P（，4），过点P与CA垂直直线的表达式中的k值为，同理可得过点P与直线AC垂直直线的表达式为：yx+，当ACAQ时，如图1，则ACAQ5，设：QMMBn，则AM7n，由勾股定理得

21、：（7n）2+n225，解得：n3或4（舍去4），故点Q（1，3）；当ACCQ时，如图1，CQ5，则BQBCCQ45，则QMMB，故点Q（，）；当CQAQ时，联立并解得：x（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，m2+m+4），则点Q（m，m+4），OBOC，ABCOCB45PQN，PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）m2+m，0，PN有最大值，当m时，PN的最大值为：1. （2019湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA3，tanOAC，D是BC的中点（1）求OC的长及点D的坐标；（2）

22、如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段DF为边，在DF所在的直线的右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G的运动路径的长【思路分析】（1）RtAOC中，由正切三角函数，可求OC的长；再由矩形的性质及线段中点的定义锁定点D的坐标（2）由翻折可知DBDC，从而DCA30通过解直角三角形得到FAFB，在RtAEF中，AEAFtanAFE，从而求得点E的坐标按一找点G的运动起点与终点，

23、从而找到点G的路径，二求该路径的长即可锁定答案如答图2和答图3，表示动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动时的起点、与终点的位置，G点的路径是一条线段【解题过程】（1）在RtAOC中，由tanOAC，OA3，得OCOAtanOAC3 四边形OABC是矩形，点D为BC的中点，D(，) （2）如答图1，易知OACACB30而由折叠可知DBDC，从而DCA30BDF30DFBAFE60RtDBF中，易求BFAFABBFRtAEF中，AEAFtanAFEOE，E(，0)综上，BF的长为，点E的坐标为E(，0)第24题答图3第24题答图2第24题答图1【知识点】矩形性质；解直角三角形；翻折（轴对称）；

24、等腰三角形；等边三角形；二次函数；动态问题；数形结合思想；探究性问题；压轴题；原创题2. （2019天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0),点B在y轴的正半轴上，ABO=30，矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上，OD=2.（1）如图，求点E的坐标；（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形CODE,点C,O,D,E的对应点分别为C,O,D,E,设OO=t,矩形CODE与ABO重叠部分的面积为S如图，当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时，CE,ED分别与AB相交于点M,F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）

25、【思路分析】(1)由题意知OA=6，OD=2，AD=4，由矩形CODE得DEBO，AED=ABO=30，DE=tan60AD=，所以点E的坐标为（2，）（2） 由平移得，OC=DE=,OD=CE=2，ME=OO=t，根据EDBO，得EFM=OBA=30,RtMEF中，EF=，SMEF=；S矩形CODE=;S=S矩形CODE-SMEF=，因为重叠部分是五边形，所以t的取值范围是0t2；当S=时，=，此时t=，所以重叠部分不是五边形；当S=时，=，此时t=，所以重叠部分不是五边形；当2t4时，重叠部分是四边形如图所示，当4t6时，重叠部分是三角形如图所示.当2t4时,当4t6时,所以，当S=时，此

26、时t=4.5,不在2t4范围内；当S=时，此时t=2.5；当S=时，此时t=，综上所述，t的取值范围是2.5t； 【解题过程】(1)A（6,0），OA=6，OD=2,AD=4，由矩形CODE得DEBO，AED=ABO=30，DE=tan60AD=，所以点E的坐标为（2，）(2)由平移得，OC=DE=,OD=CE=2，ME=OO=t，根据EDBO，得EFM=OBA=30,RtMEF中，EF=，SMEF=；S矩形CODE=;S=S矩形CODE-SMEF=，因为重叠部分是五边形，所以t的取值范围是0t2；2.5t；26（2019长沙）如图，抛物线(为常数，0)与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点

27、，点D的坐标为(t，0)(3t0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的P相交于点C（1）求点A的坐标；（2）过点C作P的切线CE交x轴于点E如图1，求证：CE=DE；如图2，连接AC，BE，BO，当=，CAE=OBE时，求的值【解题过程】(1)令ax26ax0，ax(x6)0，A(6，0)，(2)连接PC，连接PB延长交x轴于点M，P过O、A、B三点，B为顶点，PMOA，PBCBOM90，又PCPB，PCBPBC，CE为切线，PCBECD90，又BDPCDE，ECDCDE，CEDE；(3)解：设OEm，即E(m，0)，由切割定理：CE2OEAE，(mt)2m(m6)推出mCAECBD，已知CA

28、EOBE，CBOEBO，由角平分线定理：即推出m由得推出t218t360，t218t36，25（2019益阳）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0).(1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA，作DEOA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；(3)应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+m=-1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标.提示：若点A、B

29、的坐标分别为(，)，(，)，则线段AB的中点坐标为(，) . 第25题图1 第25题图2【解题过程】解：(1)抛物线的顶点为A(1，4)，设函数表达式为，抛物线经过点B(3，0)，解得a=-1.抛物线对应的二次函数表达式为，即.(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分.理由如下：DEOA，（同底等高的两个三角形面积相等）.，即.M是BE的中点，,即OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分.（3）点P(m，n)是抛物线的图象上的点，.m+n=-1，n=-m-1，代入上式，得，解得m=4(m=1不合题意，舍去)，点P的坐标为(4，-5).如图，过点D作DQCA交PC的延长线于点Q，第25题答

30、图由(2)知点N为PQ的中点，设经过点C(-1，0)，P(4，-5)的直线对应的函数表达式为y=kx+b,则，解得.直线CP对应的函数表达式为y=-x-1.同理，直线AC对应的函数表达式为y=2x+2.直线DQCA，故设直线DQ对应的函数表达式为y=2x+b，经过点D(0，3)，直线DQ对应的函数表达式为y=2x+3.解方程组得，点Q的坐标为（）.点N为PQ的中点，点N的横坐标为，点N的纵坐标为，点N的坐标为（）26（2019娄底）如图（14），抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，3）点P、Q是抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线

31、OD下方时，求POD面积的最大值（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标 解：（1）方法一、将点A（1，0），点B（3，0），点D（2，3）代入得， 解得 抛物线的解析式为方法二、抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 设抛物线的解析式为 又抛物线过点 D（2，3）， （2）如图，设PD与y轴相交于点F，OD与抛物线相交于点G， 设P坐标为（），则直线PD的解析式为，它与y轴的交点坐标为F（0，2m3），则OF2m+3 由于点P在直线OD下方，所以 当时，POD面积的最大值（3）由得抛物线与y轴的交点C（0，3），结合A（1，0）得直线AC的解析式为，

32、当OEAC时，OBE与ABC相似；此时直线OE的解析式为又的解为，Q的坐标为和如图，作ENy轴于N，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得AB3(1)4，BO3，BC当即时 ，OBE与ABC相似；此时BE 又OBCONE，NBNE2，此时E点坐标为（1，2），直线OE的方程为 又的解为， Q的坐标为和综上所述，Q的坐标为，3. （2019攀枝花）已知抛物线yx2bxc的对称轴为直线x1，其图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0,3） （1）求b，c的值； （2）直线l与x轴交于点P 如图1，若ly轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x1的对称点为D，求四边形C

33、EDF面积的最大值； 如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当PCQCAP时，求直线l的表达式 【思路分析】（1）由抛物线yx2bxc的对称轴为直线x1，得1，解得b2，把点C（0,3）代入抛物线yx2bxc得c3（2）由题意先求得点D，A，B的坐标， 的解析式，设F (e, e22e3)，则E (e, e3) ，进而得EFe23e，因为CDEF，所以S四边形CEDFCDEF，利用二次函数的顶点式求出最大值； 根据相似三角形的性质得lAC，ACPBCO作PHAC于点H，设P (m,0)，根据tanACP，得关于m的方程，解之可得点P的坐标，进而得直线l的表达式【解题过程】解：（1）由题可知解得

34、（2）由题意可知D（2，3），CDEF，CD2 由（1）可知A (3,0)，B (1,0) ：yx3设F (e, e22e3)，则E (e, e3) EFe23eS四边形CEDFCDEFe23e（e）2. 当e时，四边形CEDF的面积最大，最大值为. 由（1）可知OACOCA45， 由PCQCAP可得QPCPCAlAC由PCQCAP可得QCPOAC45，QCPOCA，ACPBCO， 由B（1，0），C（0，3），可得tanBCO， tanACP， 作PHAC于点H，设P (m,0)，则AP3m. PHAH(3m)，CH (3m) tanACP， 即，解得m P (,0)，l：yx【知识点】二次

35、函数的性质；一次函数的表达式；相似三角形的性质；锐角三角函数； 分式方程，声明：试28（2019苏州，26，10）如图，抛物线yx2+（a+1）xa与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C已知ABC的面积是6（1）求a的值；（2）求ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，QPB的面积为2d，且PAQAQB，求点Q的坐标图 图（第28题）【解题过程】解：（1）yx2+（a+1）xa令y0，即x2+（a+1）xa0解得x1a，x21由图象知a0A（a，0），B

36、（1，0）sABC6，解得a3，（a4舍去）（2）设直线AC：ykx+b，由A（3，0），C（0，3），可得3k+b0，且b3，k1，即直线AC：yx+3，A、C的中点D坐标为（，），线段AC的垂直平分线解析式为yx，线段AB的垂直平分线为x1，代入yx，解得y1，ABC外接圆圆心的坐标（1，1）；第28题答图（3）作PMx轴，则 ，A、Q到PB的距离相等，AQPB设直线PB解析式为yx+b，直线经过点B（1，0），所以直线PB的解析式为yx1，联立，解得，点P坐标为（4，5），又PAQAQB可得：PBQABP（AAS），PQAB4，设Q（m，m+3），由PQ4得： 解得：m4，m8（舍去），

37、Q坐标为（4，1）4. （2019眉山）如图1，在正方形ABCD中，AE平分CBA交BC于点E，过点C作CFAE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F（1）求证：BE=BF；（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分DBF；（3）如图3，连接DG交AC于点M，求的值【思路分析】（1）根据抛物线的交点式直接写出抛物线解析式即可，将解析式配方，得到顶点式，可得顶点坐标；（2）设点P的坐标为（a，），用含a的式子表示出PE的长，进而用含a的式子表示出矩形PEFG的周长，再利用二次函数的最大值求解即可；（3）根据题意，证得AMNBDM，易得AB=6，AD=DB=5，根据DMN为等腰三角形有三种

38、可能：MN=DM，利用AMNBDM，易得AN的值；DN=MN，利用DAMBAD的性质，可得AN的值；DN=DM，不成立.【解题过程】解：（1）抛物线的解析式为：y=.配方得：y=，顶点D的坐标为（-2，4）.（2）设点P的坐标为（a，），则PE=，PG=2（-2-a）=-4-2a，矩形PEFG的周长=2（PE+PG）=2（）=，0，当a=时，矩形PEFG的周长最大，此时点P的横坐标为.（3）存在.DA=DB，DAB=DBA.AMN+DMN=MDB+DBA，又DMN=DBA，AMN=MDB，AMNBDM，,易求得AB=6，AD=DB=5.DMN为等腰三角形有三种可能：当MN=DM时，则AMNBD

39、M，AM=BD=5，AN=MB=1；当DN=MN时，则ADM=DMN=DBA，又DAM=BAD，DAMBAD，AD2=AMAB，AM=，BM=6-=，AN=.DN=DM不成立.DNMDAB，而DAB=DMN，DNMDMN，DN=DM.综上所述，存在点M满足要求，此时AN的长为1或.【知识点】待定系数法求抛物线解析式，抛物线的顶点式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，分类讨论思想5. （2019乐山）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；当取最大值时，求点到线段的距离；当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.备用图 【思路分析】（1）令y=0解方程求得AB坐标，再利用三角函数求C的坐标从而求得a的值；（2）先求抛物线的对称轴与顶点，再设点坐标为（其中）利用勾股定理列方程求m、n的关系式，并配方求最值得出n的范围； 由PCQ面积的不同列式列方程求点到线段距离；找出界点点求t的值从而得到t的范围.【解题过程】解：（1）根据题意得： ,，