《知识点30 直角三角形、勾股定理2019中考真题分类汇编.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识点30 直角三角形、勾股定理2019中考真题分类汇编.docx（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、一、选择题10（2019滨州）满足下列条件时，ABC不是直角三角形的为（）AAB，BC4，AC5BAB：BC：AC3：4：5CA：B：C3：4：5D0【答案】C【解析】A中，45，AC2+BC2=52+42=41，AB2=（）2=41，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形；B中，AB：BC：AC=3：4：5，设AB=3k，BC=4k，AC=5k，AB2+BC2=（3k）2+（4k）2=25k2，AC2=（5k）2=25k2，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形；C中，A：B：C=3：4：5，A=180=45，B=180=60，C=180=75，ABC不是直角三角形；D中，=0，又0
2、，0，cosA=，tanB=，A=60，B=30，ABC是直角三角形故选C13(2019广元)如图,ABC中,ABC90,BABC2,将ABC绕点C逆时针旋转60得到DEC,连接BD,则BD2的值是_第13题图【答案】【解析】连接AD,过点D作DMBC于点M,DNAC于点N,易得ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CMx,则DMMBx+2,BC2,CDAC,在RtMCD中,由勾股定理可求得,x,DMMB,在RtBDM中,BD2MD2+MB2.289(2019广元)如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得CDE15,连接BE并延长BE到F,使CFCB,BF与CD相交于点H,若
3、AB1,有下列结论:BEDE;CE+DEEF;SDEC,.则其中正确的结论有( )A.B.C.D.第9题图【答案】A【解析】利用正方形的性质,易得BECDEC,BEDE,正确;在EF上取一点G,使CGCE,CEGCBE+BCE60,CEG为等边三角形,易得DECFGC,CE+DEEG+GFEF,正确;过点D作DMAC于点M,SDECSDMCSDME,正确;tanHBC2,HC2,DH1HC1,错误.故选A.10（2019绍兴 ）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面
4、高度为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示：设DMx，则CM8x，根据题意得：（8x+8）33335，解得：x4，DM6，D90，由勾股定理得：BM5，过点B作BHAH，HBA+ABMABM+ABM90，HBA+ABM，所以RtABHMBD，即，解得BH，即水面高度为7（2019益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则ABC一定是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示，AM=MN=2，NB1，AB=AM
5、=MN+NB2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，,，ABC是直角三角形.1.（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A2 B C D第9题图【答案】D【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O，作直线OP，得线段AB，则沿折痕AB裁剪，即可将该图形面积两等分过点A作ACBD于点C，则ACB90由中心对称
6、的性质可知，BDEFAG，从而BC1又AC3，故在RtABC中，由勾股定理，得AB故选D第9题答图2. (2019宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影c2a2b2+b(a+bc),由勾股定理可知,c2a2b2,S阴影c2a2b2+S重叠S重
7、叠,即S阴影S重叠,故选C.3.（2019重庆B卷）如图，在ABC中，ABC=45，AB=3，ADBC于点D，BEAC与点E，AE=1.连接DE，将AED沿直线AE翻折至ABC所在的平面，得AEF，连接DF.过点D作DGDE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为( )A.8 B. C. D.【答案】D【解析】ABC=45，ADBC，ABC是等腰直角三角形，AD=BD.BEAC，ADBD，DAC=DBH，DBHDAC（ASA）.DGDE，BDG=ADE，DBGDAE（ASA），BG=AE，DG=DE，DGE是等腰直角三角形，DEC=45.在RtABE中，BE=，GE=，DE=.D，F关于AE对称
8、，FEC=DEC=45，EF=DE=DG=，DF=GE=，四边形DFEG的周长为2（+2-）=.故选D二、填空题15（2019苏州） “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）.（图） （图）（第15题）【答案】【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形与等腰三角形全等，且它们的斜边长都为10=5cm，设正方形阴影部分的边长为xcm，则=sin45=，解得x=，故答
9、案为. 第15题答图17（2019威海）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接AC，BD.若ACB90，ACBC,ABBD,则ADC 【答案】105【解析】过点D作DE AB于点E， 过点C作 CFAB垂足为F，由ACB90，ACBC,得ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF AB，由ABCD得DECF，由ABBD得BD2DE，在RtDEB中利用三角函数可得ABD30，再由ABBD得BADADB75，最后由ABCD得BADADC180求出ADC105.18（2019苏州）如图，一块舍有45角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之
10、间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为 cm：（结果保留根号）（第18题）【答案】第18题答图解析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，所以ABC与DEF有公共内心O，连接AD、BE、FC并延长相交于点O，过O作OGAB于G，交DE于H.则GH=，SABC=OG（AB+AC+BC）=ABAC，OG=，OH=，DEAB，ODEOAB，解得DE=6-，S阴影= SABC-SDEF=.12（2019江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA1，CPDP于点P，则点P的坐标为 .【答案】（，0）
11、或（，0）【解析】设点P的坐标为（x，0），（1）当点D在线段AB上时，如图所示：DA=1，点D的坐标为（，）.，.CPDP于点P，即，=0，原方程无解，即符合要求的点P不存在.（2）当点D在线段BA的延长线上，如图所示：DA=1，点D的坐标为（，）.，.CPDP于点P，即，=0，点P的坐标为（，0）或（，0）.13 （2019株洲）如图所示，在RtABC中，ACB90，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF1，则AB 【答案】4【解析】因为RtABC中，ACB90，CM是斜边AB上的中线，所以AB=2CM,又因为E、F分别为MB、BC的中点，所以EF为中位线，所以CM=
12、2EF,从而AB=4EF=4。1.(2019枣庄)把两个同样大小含45的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB2,则CD_.【答案】【解析】在等腰直角ABC中,AB2,BC,过点A作AMBD于点M,则AMMCBC,在RtAMD中,ADBC,AM,MD,CDMDMC.2. (2019巴中)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP6,BP8,CP10,则SABP+SBPC_.【答案】16+24【解析】将ABP绕点B顺时针旋转60到CBP,连接PP,所以BPBP,PBP60,所
13、以BPP是等边三角形,其边长BP为8,所以SBPP16,因为PP8,PCPA6,PC10,所以PP2+PC2PC2,所以PPC是直角三角形,SPPC24,所以SABP+SBPCSBPP+SPPC16+24.1.(2019巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE直线m于点E,BD直线m与点D.（1）求证:ECBD;（2）若设AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）ABC是等腰直角三角形, ACB90,ACBC, ACE+BCD90,AEEC, EAC+ACE90,BCDCAE,BDCD, AECCDB90,AECCDB(AAS), EC
14、BD.（2）AECCDB,AEC三边分别为a，b，c,，BDECa,CDAEb,BCACc,S梯形(AE+BD)ED(a+b)(a+b),S梯形ab+c2+ab， (a+b)(a+b)ab+c2+ab,整理可得a2+b2c2,故勾股定理得证.一、选择题12(2019海南) 如图,在RtABC中,C90,AB5,BC4,点P是边AC上一动点,过点P作PQAB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分ABC时,AP的长度为( )A.B.C.D.第12题图【答案】B【解题过程】在RtABC中,C90,AB5,BC4,AC3,过点D作DEBC于点E,易证ABCDQE,BD平分ABC,PQAB,BQQ
15、D,设QDBQ4x,则AP3x,DP4x,PQ8x,CPx,ACx3,x,AP3x,故选B.E第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程8（2019毕节） 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB1，EC2，那么正方形ABCD的面积为（）AB3CD5【答案】B【解析】四边形ABCD是正方形，B90，BC2EC2EB222123，正方形ABCD的面积BC23故选：B【知识点】勾股定理10.（2019黔三州）如右图,在一斜边长30cm的直角三角形木板(即RtACB)中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF:AC=1:3，则这块木板截取正
16、方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）A. 200cm2 B. 170cm2 C. 150cm2 D.100 cm2【答案】D.【解答过程】AF:AC=1:3，设AF=x，则AC=3x，CF=2x.四边形CDEF是正方形，DEAC，DE=2x，BDEBCA，BD=4x，BC=6x，在RtABC中，BC2+AC2=AB2，9x2+36x2=900，x2=20，S剩余=SABC-S正方形CDEF=，故选D.【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理.10. （2019绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正
17、方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sincos）2（）A15B55C355D95【答案】A【解析】大正方形的面积是125，小正方形面积是25，大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，55cos55sin5，cossin=55，（sincos）2=15故选A【知识点】数学常识；勾股定理的证明；解直角三角形的应用二、填空题12. （2019宜宾）如图，已知直角中，是斜边上的高，则【答案】【解析】在中，由射影定理得，故答案为：【知识点】勾股定理；射影定理15. （2019 南京）如图，在ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分ACB若AD2，BD
18、3，则AC的长 【答案】10【解析】解：作AMBC于E，如图所示：CD平分ACB，ACBC=ADBD=23，设AC2x，则BC3x，MN是BC的垂直平分线，MNBC，BNCN=32x，MNAE，ENBN=ADBD=23，NEx，BEBN+EN=52x，CECNEN=12x，由勾股定理得：AE2AB2BE2AC2CE2，即52（52x）2（2x）2（12x）2，解得：x=102，AC2x=10；故答案为：10（2019 宿迁）如图，MAN60，若ABC的顶点B在射线AM上，且AB2，点C在射线AN上运动，当ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 【答案】3BC23【解析】解：如图，过点B作BC1
19、AN，垂足为C1，BC2AM，交AN于点C2在RtABC1中，AB2，A60ABC130AC1=12AB1，由勾股定理得：BC1=3，在RtABC2中，AB2，A60AC2B30AC24，由勾股定理得：BC223，当ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时3BC23故答案为：3BC23【知识点】勾股定理；解直角三角形12. （2019 南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm【答案】5【解析】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：122+92=15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155（cm）故答案为5【知识点
20、】勾股定理的应用19（2019毕节） 三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则CD的长度是 【答案】155【解析】过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan6010 ，ABCF，BMBCsin305，CMBCcos3015，在EFD中，F90，E45，EDF45，MDBM5 ，CDCMMD155 故答案是：155【知识点】含30度角的直角三角形；勾股定理 15（2019浙江舟山，15，3分）在ABC中，若A=45，AC2-BC2=53AB2，则
21、tanC= .【答案】5【解析】【知识点】勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质.20.（2019黔东南）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则CD的长度是 【答案】1553【解析】解：过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan6010 3，ABCF，BMBCsin30=10312=53，CMBCcos3015，在EFD中，F90，E45，EDF45，MDBM5 3，CDCMMD155 3故答案是：1553【知识点】含30度角的直
22、角三角形；勾股定理15.（2019鄂州）如图，已知线段AB4，O是AB的中点，直线l经过点O，160，P点是直线l上一点，当APB为直角三角形时，则BP 【答案】2或23或27【解析】AOOB2，当BP2时，APB90，当PAB90时，AOP60，APOAtanAOP23，BP=AB2+AP2=27，当PBA90时，AOP60，BPOBtan123，故答案为：2或23或27【知识点】勾股定理一、选择题8（2019郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对 全等的三角形，如图所示，已知A90，BD4，CF6，则正方形 ADOF 的边长是AB2CD4 答案：
23、B（第8题图）解析：本题考查了勾股定理和解一元二次方程，设正方形ADOF的边长为x，则AB4x，AC6x，BC10，由于A90，所以BC2AB2AC2，即100168xx23612xx2，解得x2或x12（不合题意，舍去），因此本题选B二、填空题12（2019 北京）如图所示的网格是正方形网格，则_（点A，B，P是网格线交点）.【答案】45【解析】如图12-1，延长AP至C，连结BC. 设图中小正方形的边长为1，由勾股定理得，； .即PBC为等腰直角三角形，BPC=45. 由三角形外角的性质得.【知识点】勾股定理及逆定理、三角形外角的性质.16（2019襄阳）如图，两个火小不同的三角板放在同一
24、平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，BACDEC30，AC与DE交于点F，连接AE，若BD1，AD5，则_.答案：316.（2019泸州）如图，在等腰RtABC中，C90，AC15，点E在边CB上，CE2EB，点D在边AB上，CDAE，垂足为F，则AD的长为【答案】92【解析】过D作DHAC于H，在等腰RtABC中，C90，AC15，ACBC15，CAD45，AHDH，CH15DH，CFAE，DHADFA90，HAFHDF，ACEDHC，DHAC=CHCE，CE2EB，CE10，DH15=15-DH10，DH9，AD92，故答案为：92【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定
25、与性质17（2019安顺）如图，在RtABC中，BAC90，AB3，AC4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作DMAB于点M，作DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 .【答案】【解析】连接AD，如图所示：DMAB，DNAC，BDMNCA第17题答图AMDAND90，又BAC90，四边形AMDN是矩形；MNAD.BAC90，AB3，AC4，BC5，当ADBC时，AD最短，此时ABC的面积BCADABAC，AD的最小值，线段MN的最小值为；【知识点】垂线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法16(2019大庆)我国古代数学家赵爽的勾股方圆图是由四个全等的直角三角
26、形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(ab)2的值是_.第16题图【答案】1【解析】(ab)2a2+b22ab,其中,由勾股定理可得,a2+b213,直角三角形面积(131)43,即,所以ab6所以(ab)2a2+b22ab13121.【知识点】勾股定理,完全平方公式9（2019龙东地区） 一张直角三角形纸片ABC，ACB90，AB10，AC6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当BDE是直角三角形时，则CD的长为_【答案】3或.【解析】如图1，
27、DEB是直角时，ACB90，AB10，AC6，BC=8,设CD=x，则BD=8-x，由折叠知CD=ED=x，ACBDEB=90，BEDBCA，即，解得x=3;如图2，EDB是直角时，EDAC，BEDBAC，,即，解得x=，综上，CD的长为3或.图1图2【知识点】轴对称；勾股定理；相似三角形三、解答题18. （2019呼和浩特）如图，在ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c.（1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出A与B的和与C的大小关系；（2）求证：ABC的内角和等于180；（3）若，求证：ABC是直角三角形. 解：（1）CA+B；（2）证明：过点B作直线DEAC， A=ABD
28、，C=CBE，又 ABD+ABC+CBE=180， ABC的内角和等于180（3）证明：原式可变形为 (a+c)2-b2=2ac，即a2+2ac+c2-b2=2ac， a2+c2=b2，ABC是以B为直角的直角三角形.22（2019包头）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB=BC，BAD=90，AC交BD于点E，ABD=30，AD=，求线段AC和DE的长（注：）解：在RtABD中，BAD=90，ABD=30，AD=，tanABD=，AB=3ADBC，BAD+ABC=180ABC=90在RtABC中，AB=BC=3，AC=ADBC ，ADECBE，设DE=x，则BE3x，BD=DE+BE=(
29、+3)x，在RtABD中，ABD=30，BD=2AD=2，DE=2，DE=325. （2019本溪）在RtABC中，BCA=90，AABC，D是AC边上一点，且DA=DB，O是AB的中点，CE是BCD的中线.（1）如图a，连接OC请直接写出OCE和OAC的数量关系 ；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转的射线ON，使MON=ADB，ON与射线CA交于点N.如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；若BAC=30，BC=m，当AON=15时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）解：（1）结论：ECO=OAC理由：如图1中，连接OEBCD=90，BE=E
30、D，BO=OA，CE=ED=EB=BD，CO=OA=OB，OCA=A，BE=ED，BO=OA，OEAD，OE=AD，CE=EOEOC=OCA=ECO，ECO=OAC故答案为：OCE=OAC（2）如图2中，OC=OA，DA=DB，A=OCA=ABD，COA=ADB，MON=ADB，AOC=MON，COM=AON，ECO=OAC，MCO=NAO，OC=OA，COMAON（ASA），OM=ON如图3-1中，当点N在CA的延长线上时，CAB=30=OAN+ANO，AON=15，AON=ANO=15，OA=AN=m，OCMOAN，CM=AN=m，在RtBCD中，BC=m，CDB=60，BD=m，BE=ED，CE=BD=m，EM=CM+CE=m+m如图3-2中，当点N在线段AC上时，作OHAC于HAON=15，CAB=30，ONH=15+30=45，OH=HN=m，AH=m，CM=AN=m-m，EC=m，EM=EC-CM=m-(m-m)=m-m，综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m-m.【知识点】直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；解直角三角形.