《2013-2014学年高中数学北师大版必修1示范教案3.2.2指数运算的性质.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2014学年高中数学北师大版必修1示范教案3.2.2指数运算的性质.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、22 指数运算的性质 导入新课 思路1. 同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分 数， 这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？ 回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数( 有理数 ) ，有理数到实数并且知道，在有 理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数对无理数指数幂，也是这样扩充而来既然 如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题指数运算的性质 思路2. 同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高 中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的 函数，如
2、一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足 我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数， 为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数 幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数运算的性质 推进新课 新知探究 提出问题 我们知道21.414 213 56,，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，, 是2的什 么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，, 是2的什么近似值？ 多媒体显示以下图表：同学们从下面的两个表中，能发现什么样的规
3、律？ 2的过剩近似值5 2的近似值 1.511.180 339 89 1.429.829 635 328 1.4159.750 851 808 1.414 39.739 872 62 1.414 229.738 618 643 1.414 2149.738 524 602 1.414 213 69.738 518 332 1.414 213 579.738 517 862 1.414 213 5639.738 517 752 , 2 5的近似值 2的不足近似值 9.518 269 6941.4 9.672 669 9731.41 9.735 171 0391.414 9.738 305 174
4、1.414 2 9.738 461 9071.414 21 9.738 508 9281.414 213 9.738 516 7651.414 213 5 9.738 517 7051.414 213 56 9.738 517 7361.414 213 562 , 你能给上述思想起个名字吗？ 一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如 2 5，根据你学过的知识，能 作出判断并合理地解释吗？ 借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？ 活动： 教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有 困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容： 问题从近似值的分类来考虑，一方面从大于
5、2的方向，另一方面从小于2的方向 问题对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联 问题上述方法实际上是无限接近，最后是逼近 问题对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释 问题在的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般 讨论结果：1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，, ，这些数都小于2，称2的不足近 似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，, ，这些数都大于2，称2的过剩近似值 第一个 表：从大于2的方向逼近2时， 2 5就从5 1.5, 5 1.42, 5 1.415, 5 1.414 3, 5 1.414 22 ，, ，即 大于
6、 2 5的方向逼近 2 5. 第二个表：从小于2的方向逼近2时， 2 5就从5 1.4, 5 1.41, 5 1.414, 5 1.414 2, 5 1.414 21 ，, ，即小 于 2 5的方向逼近 2 5. 从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面 2 5 从5 1.4, 5 1.41, 5 1.414, 5 1.414 2, 5 1.414 21 ， ,， 即 小 于 2 5的 方 向 接 近 2 5， 而 另 一 方 面 2 5从 5 1.5, 5 1.42, 5 1.415, 5 1.414 3,51.414 22， , ，即大于 52的方向接近 5
7、 2， 可以说从两个方向无限地接近 2 5， 即逼近 2 5，所以 2 5是一串有理数指数幂5 1.4, 5 1.41, 5 1.414, 5 1.414 2, 5 1.414 21 ，, 和另一串有理数指 数幂 5 1.5, 5 1.42, 5 1.415, 5 1.414 3, 5 1.414 22，, ，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从 两个方向向表示 2 5的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是 2 5一定 是一个实数，即5 1.4 5 1.41 5 1.41451.414 251.414 21, 2 5 , 5 1.414 2251.414 3 51.
8、415 5 1.42 5 1.5 . 充分表明 2 5是一个实数，再如 1 2 3，3 等都是实数 逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识 根据我们可以推断 2 5是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数 无理数指数幂的意义： 一般地，无理数指数幂a ( a0， 是无理数 ) 是一个确定的实数 也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推 广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数我们规定了无理数指数幂的 意义， 知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数 幂扩充到实数指数幂 提出问题 1为什么在
9、规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？ 2无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？ 3你能给出实数指数幂的运算法则吗？ 活动： 教师组织学生互助合作，交流探讨， 引导他们用反例说明问题，注意类比， 归纳 对问题 (1) 回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明 对问题 (2) 结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂a ( a0， 是无理数 ) 是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并 且相通 对问题 (3) 有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则 自然就得到了 讨论结果：
10、(1) 底数大于零的必要性，若a 1，那么a 是 1 还是 1 就无法确定了， 这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂a 是一个确定的实数，就不会再造 成混乱 ( 2) 因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算， 有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂类比有理数指数幂的运算性质可以 得到无理数指数幂的运算法则： a r a sar s( a0，r，s都是无理数 ) (a r ) s a rs (a0，r，s都是无理数 ) (ab) r a r b r( a0，b0，r是无理数 ) (3) 指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指
11、数幂 实数指数幂的运算性质： 对任意的实数r，s，均有下面的运算性质： a r a sar s( a0，r，sR) (a r)s a rs (a0，r，sR) (ab) r a r b r( a0，b0，r R) 应用示例 思路 1 例 1 在实数范围内，对比(ab) n a nbn 和 a b na n b n( 其中a0，b0，b0)，说明后者可 以归入前者 解： a b n( ab 1)n a nbna n b n，因此，性质 a b na n b n可以归入性质 (ab) n a nbn. 例 2 化简 ( 式中字母均为正实数) ： (1)3x 2(2 x 2yz) ； (2)( 1
12、a xy) (4 y ) 活动： 学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应 使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂 的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)(2)由里向外， 要紧扣分数指数幂的意 义和运算性质，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律 解： (1)3x 2(2 x 2yz)(32) x 22yz 6yz； (2)( 1 a x y) (4 y ) 1 4 a x y y 4xy 4x. 点评： 注意运算性质的应用 例 3 已知 10 3,10 4，求 10 ，10，102， 5 10. 活动
13、： 学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有 预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示 解： 10 101034 12； 10 10 10 3 4； 10 2(10)2321 9； 5 10(10 ) 1 5 1 5 4. 点评： 运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法 思路 2 例 1 计算： (1)6 1 4 3 33 8 4 0.062 5 ( 5 ) 021； (2) 2 3 125 1 2 2 1 3 343 1 27 1 3 ； (3)( 11 34 2x y)( 21 32 3x y) ； (4)( 11 22 xy)
14、( 11 44 xy) 活动： 学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体 的意识， 教师有针对性地提示引导，对(1) 根式的运算常常化成幂的运算进行，对 (2) 充分利 用指数幂的运算法则来进行，对(3) 则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对 (4) 要利用 平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价 解： (1)61 4 3 33 8 4 0.062 5 ( 5 ) 0 21 11 23 2527 48 (0.062 5) 1 4 11 2 11 23 1 234 4 531 (0.5) 222 5 2 3 20.5 1 25. (2) 2 3 125 1
15、2 2 1 3 343 1 3 1 27 (5 3) 2 3 3 (5 )(2 1)2 1 3 3 (7 ) 1 3 3 (3 ) 2 3 3 52 2( 1) 1 3 3 73 1 3 () 3 2547 333. (3)( 11 34 2x y)( 21 32 3x y) ( 2 3)( 1211 3342 x xyy) 121113 333424 66xyx y 6 4 x 3 3 y. (4)( 11 22 xy) ( 11 44 xy) ( 1 4 x ) 2( 1 4 y) 2 ( 11 44 xy) ( 11 44 xy)( 11 44 xy) ( 11 44 xy) 11 44
16、 xy. 点评： 在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式 例 2 化简下列各式： (1) 22 22 33 xy xy 22 22 33 xy xy ； (2)(a 3a 3)( a 3 a 3) ( a 4 a 4 1)( aa 1) 活动： 学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两 题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示：对(1) 考查x 2 与 2 3 x的关系可知x 2( 2 3 x) 3，立方关系就出来了，公式便可运用，对 (2) 先利用平方 差，再利 用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流 解
17、： (1) 原式 22 33 33 22 33 ()()xy xy 22 33 33 22 33 ()()xy xy ( 2 3 x) 2 22 33 xy ( 2 3 y ) 2( 2 3 x) 2( 2 3 x)( 2 3 y ) ( 2 3 y ) 2 424424 333333 ()()xxyyxxyy 23 3 2()2 xy xy xy . (2) 原式 (a 3)2( a 3)2 ( a 4 a 41)( aa 1) a 23 a 23 a 4a 41 aa 1 a 2 a 2 a 4 a 41 a 4 a 41 aa 1 a 2 a 12 aa 1aa 1. 点评： 注意立方和
18、、立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方 差公式一般在使用中一目了然，而对立方和、立方差公式却一般不易观察到， 3 2 a ( 1 2 a) 3 还容易看出，对其中夹杂的数字m可以化为m 11 22 a am，需认真对待，要在做题中不断 地提高灵活运用这些公式的能力 知能训练 1化简： (1 1 32 2 )(1 1 16 2 )(1 1 8 2 )(1 1 4 2 )(1 1 2 2 ) 的结果是 ( ) A 1 2(1 1 32 2 ) 1 B(1 1 32 2 ) 1 C1 1 32 2 D 1 2(1 1 32 2 ) 解析： 根据本题的特点，注意到它的整体性，特别
19、是指数的规律性，我们可以进行适当 的变形 因为 (1 1 32 2)(1 1 32 2) 1 1 16 2，所以原式的分子、分母同乘(1 1 32 2) ， 依次类推，所以 11 22 1 32 (12)(12) 12 1 1 32 12 12 1 1 32 1 (12) 2 . 答案： A 2计算27 9 0.5 0.1 2 2 3 10 2 27 3 090.5 49 0.5 2 4. 解： 原式 1 2 25 9 100 2 3 27 64 3 1 2 1 49 16 5 3100 9 16 3 1 3 7 16100. 3计算a2a 1a2a1(a1) 解： 原式a11 2 a1 1
20、2 a11|a11|(a1) 本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习 4设a0，x1 2( 11 nn aa) ，则 (x1x 2)n 的值为 _ 解析： 1x 211 4( 11 nn aa ) 21 4( 11 nn aa ) 2. 这样先算出1x 2，再算出 1x 2， 将x1 2( 11 nn aa)代入 1x 2，得 1 x 211 4( 11 nn aa) 21 4( 11 nn aa) 2. 所以 (x1x 2)n 1111 2 11 ()() 24 n nnnn aaaa 1111 11 ()() 22 n nnnn aaaa a. 答案：a 拓展提升 参照我们说
21、明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂 3 2的意义 活动： 教师引导学生回顾无理数指数幂 2 5的意 义的过程，利用计算器计算出3的近 似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算 3 2的过剩近似值和不足近似 值，利用逼近思想， “逼出” 3 2的意义， 学生合作交流， 在投影仪上展示自己的探究结果 解：31.732 050 80,，取它的过剩近似值和不足近似值如下表 3的过剩近似值 3 2的过剩近似值 3的不足近似值 3 2的不足近似值 1.83.482 202 2531.73.249 009 585 1.743. 340 351 6781.733.317 278 1
22、83 1.7333.324 183 4461.7313.319 578 342 1.732 13.322 110 361.731 93.321 649 849 1.732 063.322 018 2521.732 043.321 972 2 1.732 0513.321 997 5291.732 0493.321 992 923 1.732 050 93.321 997 2981.732 050 73.321 996 838 1.732 050 813.321 997 0911.732 050 793.321 997 045 , 我们把用 2 作底数，3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的
23、一列数： 2 17,21.73, 2 1.731, 2 1.731 9 ，, ， 同样把用 2 作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数： 2 18,21.74, 2 1.733, 2 1. 732 1，, ，不难看出 3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即 3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2 会越来越趋近于同一 个数，我们把这个数记为 3 2， 即 2 1.7 21.73 2 1.731 2 1.731 9 , 2 3, 21.732 1 2 1.73321.74 2 1.8 . 也就是说 3 2是一个实数，2 33.321 997 , 也可以
24、这样解释： 当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时， 3 2的近似值从大于 3 2的方向逼近 3 2； 当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时， 3 2的近似值从小于 3 2的方向逼近 3 2. 所 以 3 2就 是 一 串 有 理 指 数 幂2 1.7, 2 1.73, 2 1.731, 2 1.731 9 ， ,和 另 一 串 有 理 指 数 幂 2 1.8, 2 1.74, 2 1.733, 2 1.732 1 ，, ，按上述规律变化的结果，即 3 2 3.321 997. 课堂小结 (1) 无理数指数幂的意义 一般地，无理数指数幂a ( a0， 是无理数 ) 是一个确定的实数 (2)
25、实数指数幂的运算性质： 对任意的实数r，s，均有下面的运算性质： a r a sars( a0，r，sR) (a r)s a rs (a0，r，sR) (ab) r a r b r( a0，b0，r R) (3) 逼近的思想，体会无限接近的含义 作业 习题 32 A组 6,8. 设计感想 无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数 指数幂的意义， 教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论， 加深对概念 的理解， 本堂课内容较为抽象，又不能进行推理， 只能通过多媒体的教学手段，让学生体会， 特别是逼近的思想、类比的思想，多做练习，提高学生理解问题、
26、分析问题的能力 备课资料 备用习题 1以下各式中成立且结果为最简根式的是( ) A. a 5 a 3 a 10 a 7 10 a 4 B. 3 xy 2 xy 2 y 3 x 2 C. a 2 b b 3 a a b 3 8 a 7b15 D( 3 5125) 35125 1252 3 5125 答案： B 2对于a 0，r，sQ ，以下 运算中正确的是( ) Aa r a sars B (a r)s a rs C a b r a r b s D a rbs( ab) rs 答案： B 3式子 x2 x1 x2 x1 成立的充要条件是( ) A. x2 x10 Bx1 Cx1 Dx2 解析：
27、方法一： 要使式子 x2 x1 x2 x1 成立，需x10，x20，即x2. 若x2，则式子 x2 x1 x2 x1成立 从而x2 是式子 x2 x1 x2 x1 成立的充要条件故选D. 方法二： 对 A，式子 x2 x1 0 连式子成立也保证不了，尤其x20，x10 时式子不成立 对 B，x10 时式子不成立 对 C，x1 时x1无意义 对 D，正确 答案： D 4化简b2b1(1 b2) 解：b2b1b1 2 b 1(1 b2) 5计算 3 25 3 25. 解： 令x 3 25 3 25， 两边立方，得x 32 5 253 3 25 3 25( 3 25 3 25) ，即 x 343x， x 33x40. ( x1)(x 2 x4) 0. x 2x4 ( x 1 2) 215 4 0， x10，即x1. 3 25 3 251. ( 设计者：郑芳鸣)