2013年武汉市中考数学试卷及答案(Word解析版二).pdf

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1、第 1 页 共 21 页 湖北省武汉市2013 年中考数学试卷 一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）下列各题中均有四个备选答案中，其 中有且只有一个是正确的。 1 （ 3 分） （2013?武汉）下列各数中，最大的是（） A 3 B 0C1D2 考点 ： 有 理数大小比较 分析：先 在数轴上标出各选项中的数，再根据数轴上表示的数，越在右边的数越大，得出结 果 解答：解 ：表示 3、0、 1、2 的数在数轴上的位置如图所示： ， 由图示知，这四个数中，最大的是2 故选 D 点评：本 题考查了有理数大小比较由于引进了数轴， 我们把数和点对应起来，也就是把 “ 数” 和 “ 形”

2、结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题， 在学习中要注意培养数形结合的数学思想 2 （ 3 分） （2013?武汉）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） Ax1 B x 1 Cx 1 Dx1 考点 ： 二 次根式有意义的条件 分析：根 据二次根式的性质，被开方数大于等于0，解不等式即可 解答：解 ：根据题意得：x1 0，即 x 1 时，二次根式有意义 故选 B 点评：主 要考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a 0）叫二次根式性质：二次 根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 3 （ 3 分） （2013?武汉）不等式组的解集是（） A 2 x

3、 1 B 2 x1 Cx 1 Dx 2 考点 ： 解 一元一次不等式组 专题 ： 计 算题 分析：分 别解出每个不等式的解集，再求其公共部分 解答：解： ， 由得， x 2； 由得， x 1； 故不等式组的解集为2 x 1 故选 A 点评：本 题考查了解一元一次不等式，会找其公共部分是解题的关键 第 2 页 共 21 页 4 （ 3分） （2013?武汉）袋子中装有4 个黑球和2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完 全相同，在看不到球的条件下， 随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是（） A摸 出的三个球中至少有一个球是黑球 B 摸 出的三个球中至少有一个球是白球 C 摸 出的三个

4、球中至少有两个球是黑球 D摸 出的三个球中至少有两个球是白球 考点 ： 随 机事件 分析：必 然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断 解答：解 ：A、是必然事件； B、是随机事件，选项错误； C、是随机事件，选项错误； D、是随机事件，选项错误 故选 A 点评：解 决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定 条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定 事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 5 （ 3 分） （2013?武汉）若x1，x2是一元二次方程 x22x3=0 的两个根，则x1?x2的值是 （） A3B

5、 3 C2D2 考点 ： 根 与系数的关系 专题 ： 计 算题 分析：找 出一元二次方程的系数a，b 及 c 的值，利用根与系数的关系即可求出两根之积 解答：解 ： x1，x2是一元二次方程x22x3=0 的两个根， x1?x2= =3 故选 B 点评：此 题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a 0） ，当 b2 4ac 0 时，设方程的两根分别为x1，x2，则有 x1+x2= ，x1x2= 6 （ 3 分） （2013?武汉）如图，ABC 中， AB=AC ， A=36 ，BD 是 AC 边上的高，则 DBC 的度数是（） 第 3 页 共 21 页 A18

6、 B 24 C30 D36 考点 ： 等 腰三角形的性质 分析：根 据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得DBC 的度数 解答：解 ： AB=AC ， A=36 ， ABC= ACB=7 ，2 BD 是 AC 边上的高， BDAC ， DBC=90 72 =18 故选 A 点评：本 题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和 三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般 7 （ 3 分） （2013?武汉）如图是由四个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是 （） A BCD 考点 ： 简 单组合体的三视图 分析：根 据从正面看到的图叫做主视图，

7、从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做 俯视图根据图中正方体摆放的位置判定则可 解答：解 ：从正面看，下面一行是横放3 个正方体，上面一行最右边是一个正方体 故选： C 点评：本 题考查了三种视图中的主视图，培养了学生空间想象能力 8 （3 分） （2013?武汉）两条直线最多有1 个交点，三条直线最多有3 个交点，四条直线最 多有 6 个交点， ，那么六条直线最多有（） A21 个交点B 18 个交点C15 个交点D10 个交点 考点 ： 规 律型：图形的变化类 分析：通 过画图和观察图形得到2 条直线最多的交点个数为1，3 条直线最多的交点个数为 1+2=3， 4 条直线最多的交点个

8、数为1+2+3=6 ，5 条直线最多的交点个数为 1+2+3+4=10 ， ，则 n 条直线最多的交点个数为1+2+3+4+ +n1，然后把n=6 代入 计算 解答：解 ：两条直线最多有1 个交点， 三条直线最多有3 个交点， 1+2=3， 四条直线最多有6 个交点， 1+2+3=6， n 条直线最多的交点个数为1+2+3+4+ +n1， 当 n=6 时， 6 条直线最多的交点个数为1+2+3+4+5=15 第 4 页 共 21 页 故选 C 点评：本 题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或 按规律变化的因素，然后推广到一般情况 9 （3 分） （2013?武

9、汉）为了了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进 行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜好的书籍，如果没有喜好的书籍，则作“ 其它 ” 类统 计图 （1） 与图（2） 是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图以下结论不正确的是（） A由 这两个统计图可知喜好“ 科普常识 ” 的学生有90 人 B 若 该年级共有1200 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“ 科普常识 ” 的学生约有360 人 C 这 两个统计图不能确定喜好“ 小说 ” 的人数 D在 扇形统计图中，“ 漫画 ” 所在扇形的圆心角为72 考点 ： 条 形统计图；扇形统计图 专题 ： 压 轴题 分析：首 先根据 “ 其它 ”

10、 类所占比例以及人数，进而求出总人数，即可得出喜好“ 科普常识 ” 的 学生人数，再利用样本估计总体得出该年级喜爱“ 科普常识 ” 的学生总数，进而得出喜 好 “ 小说 ” 的人数，以及 “ 漫画 ” 所在扇形的圆心角 解答：解 ：A、喜欢 “ 其它 ” 类的人数为： 30 人，扇形图中所占比例为：10%， 样本总数为：30 10%=300（人）， 喜好 “ 科普常识 ” 的学生有： 300 30%=90（人），故此选项不符合题意； B、 若该年级共有1200 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“ 科普常识 ” 的学生约有： 90=360（人），故此选项不符合题意； C、喜好 “ 小说 ” 的

11、人数为： 300 906030=120（人），故此选项错误符合题意； D、“ 漫画 ” 所在扇形的圆心角为： 360 =72 ，故此选项不符合题意 故选： C 点评：本 题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中 第 5 页 共 21 页 得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 10 （3 分） （2013?武汉）如图， A 与 B 外切于点D，PC，PD，PE 分别是圆的切线，C， D，E 是切点若CDE=x ， ECD=y ， B 的半径为 R，则的长度是（） A BCD 考点 ： 弧 长

12、的计算；多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质；切线长定理 专题 ： 压 轴题 分析：点 C、D、E 都在 P 上，由圆周角定理可得：DPE=2y；然后在四边形BDPE 中， 求出 B；最后利用弧长公式计算出结果 解答：解 ：根据题意，由切线长定理可知：PC=PD=PE， 即点 C、D、E 在以 P为圆心， PC 长为半径的 P 上， 由圆周角定理得：DPE=2ECD=2y 如图，连接BD、BE，则 BDP= BEP=90 ， 在四边形BDPE 中， B+ BDP+ DPE+BEP=360 ， 即： B+90 +2y+90 =360 ， 解得： B=180 2y 的长度是：= 故选 B 点评

13、：本 题考查圆的相关性质解题关键是确定点C、D、E 在 P 上，从而由圆周角定理 得到 DPE=2ECD=2y 第 6 页 共 21 页 二、填空题（共6 小题，每小题3 分，满分 18 分） 11 （3 分） （2013?武汉）计算： cos45 = 考点 ： 特 殊角的三角函数值 分析：根 据特殊角的三角函数值计算即可 解答：解：根据特殊角的三角函数值可知： cos45 = 故答案为 点评：本 题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟练掌握特殊角的三角函数值是解 答的关键 12 （3 分） （2013?武汉） 在 2013 年的体育中考中，某校 6 名学生的分数分别是27、28、29、

14、 28、 26、28，这组数据的众数是28 考点 ： 众 数 分析：一 组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合所给数据即可得出答案 解答：解 ：27、28、29、 28、26、28 中， 28 出现的次数最多， 故这组数据的众数是28 故答案为： 28 点评：本 题考查了众数的知识，属于基础题，掌握众数的定义是解题的关键 13 （3 分） （2013?武汉）太阳的半径约为696 000 千米，用科学记数法表示数696 000 为 6.96 10 5 考点 ： 科 学记数法 表示较大的数 分析：科 学记数法的表示形式为a 10 n 的形式，其中1 |a|10，n 为整数确定n 的值时， 要看把

15、原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当 原数绝对值1 时， n 是正数；当原数的绝对值1 时， n 是负数 解答：解 ：696 000=6.96 105， 故答案为： 6.96 105 点评：此 题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中1 |a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值 14 （3 分） （2013?武汉）设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前 面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向 原地返回设x 秒后两车间的距离为y 米， y 关于

16、 x 的函数关系如图所示，则甲车的速度是 20米/秒 第 7 页 共 21 页 考点 ： 一 次函数的应用 分析：设 甲车的速度是x 米/秒，乙车的速度为y 米 /秒，根据函数图象反应的数量关系建立 方程组求出其解即可 解答：解 ：设甲车的速度是x 米/秒，乙车的速度为y 米/秒，由题意，得 ， 解得： 故答案为20 点评：本 题是一道运用函数图象表示出来的行程问题，考查了追击问题的运用，路程 =速度 时间的运用，解答时认真分析函数图象的含义是关键，根据条件建立方程组是难点 15 （3 分） （2013?武汉）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB A，B 两点的 坐标分别是（1

17、，0） ， （0，2） ，C，D 两点在反比例函数y=（ k0）的图象上，则k 等 于12 考点 ： 反 比例函数综合题 专题 ： 压 轴题 第 8 页 共 21 页 分析：设点 C 坐标为（ a， ） ，根据 AC 与 BD 的中点坐标相同，可得出点D 的坐标，将点 D 的坐标代入函数解析式可得出k 关于 a的表达式，再由BC=2AB=2，可求出a 的值，继而得出k 的值 解答：解：设点 C 坐标为（ a，） ， （a0） ，点 D 的坐标为（ x，y） ， 四边形ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 的中点坐标相同， （ a1，+0）=（x+0，y+2） ， 则 x=a1， y=， 代

18、入 y=，可得： k=2a2a2 ； 在 RtAOB 中， AB=， BC=2AB=2， 故 BC2=（a0） 2+（ 2） 2=（2 ） 2， 整理得： a4+k 24ka=16a2， 将 k=2a2a 2，代入后化简可得： a 2=4， a0， a=2， k=48=12 故答案为：12 点评：本 题考查了反比例函数的综合题，涉及了平行四边形的性质、中点的坐标及解方程的 知识，解答本题有两个点需要注意：设出点C 坐标，表示出点D 坐标，代入反比 例函数解析式；根据BC=2AB=2，得出方程，难度较大，注意仔细运算 16 （3 分） （2013?武汉）如图，E，F 是正方形ABCD 的边 AD

19、 上两个动点， 满足 AE=DF 连 接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为2，则线段 DH 长度的最小 值是 1 考点 ： 正 方形的性质 专题 ： 压 轴题 分析：根 据正方形的性质可得AB=AD=CD ， BAD= CDA ， ADG= CDG， 然后利用 “ 边 角边 ” 证明 ABE 和 DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得1=2，利用 “ 边 第 9 页 共 21 页 角边 ” 证明 ADG 和 CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得2=3，从而得 到 1=3，然后求出AHB=90 ，取 AB 的中点 O，连接 OH、OD，根据直角三

20、角 形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1 ，利用勾股定理列式求出OD，然后 根据三角形的三边关系可知当O、 D、 H 三点共线时， DH 的长度最小 解答：解 ：在正方形ABCD 中， AB=AD=CD ， BAD= CDA ， ADG= CDG， 在 ABE 和 DCF 中， ABE DCF（SAS） ， 1=2， 在 ADG 和 CDG 中， ADG CDG（SAS） ， 2=3， 1=3， BAH+ 3=BAD=90 ， 1+BAH=90 ， AHB=180 90 =90 ， 取 AB 的中点 O，连接 OH、OD， 则 OH=AO=AB=1 ， 在 RtAOD 中， OD=，

21、 根据三角形的三边关系，OH+DH OD， 当 O、D、H 三点共线时，DH 的长度最小， 最小值 =ODOH=1 故答案为：1 点评：本 题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH 最小时点H 的位置是解题关键， 也是本题的难点 三、解答题（共9 小题，共 72 分） 17 （6 分） （2013?武汉）解方程： 第 10 页 共 21 页 考点 ： 解 分式方程 分析：观 察可得最简公分母是x（x 3） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整 式方程求解 解答：解 ：方程两边同乘以x（x 3） ，得 2x

22、=3 （x3） 解这个方程，得x=9 检验：将x=9 代入 x（x3）知， x（x3） 0 所以 x=9 是原方程的根 点评：本 题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验 18 （6 分） （2013?武汉）直线y=2x+b 经过点（ 3，5） ，求关于x 的不等式2x+b 0 的解集 考点 ： 一 次函数与一元一次不等式 专题 ： 探 究型 分析：先 把点（ 3，5）代入直线y=2x+b ，求出 b 的值，再根据2x+b 0 即可得出x 的取值范 围 解答：解 ：直线y=2x+b 经过点（ 3，5） ， 5=2 3+b，解得 b=1， 2x+b 0， 2x1 0，

23、解得 x 点评：本 题考查的是一次函数与一元一次不等式，先根据题意得出关于x 的一元一次不等式 是解答此题的关键 19 （6 分） （2013?武汉）如图，点E、F 在 BC 上， BE=FC ，AB=DC ， B=C求证： A= D 考点 ： 全 等三角形的判定与性质 3718684 专题 ： 证 明题 分析：可 通过证 ABF DCE，来得出 A= D 的结论 解答：证 明： BE=FC ， BE+EF=CF+EF ， 即 BF=CE； 又 AB=DC ， B=C， ABF DCE； （SAS） A=D 点评：此 题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据 已

24、知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条 件，再去证什么条件 第 11 页 共 21 页 20 （7 分） （2013?武汉）把两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打 开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁 （1）请用列表或画树状图的方法表示出上述实验所有可能的结果； （2）求一次打开锁的概率 考点 ： 列 表法与树状图法 分析：（ 1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （ 2）由（ 1）中的树状图，可求得一次打开锁的情况，再利用概率公式求解即可求得 答案 解答：解 ： （1）分别用A

25、与 B 表示锁，用A、B、C、D 表示钥匙， 画树状图得： 则可得共有8 种等可能的结果； （ 2）一次打开锁的有2 种情况， 一次打开锁的概率为：= 点评：本 题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件注意概率=所求情况数与总情况数之比 21 （7 分） （2013?武汉） 如图， 在平面直角坐标系中，RtABC 的三个顶点分别是A（ 3， 2） ， B（0，4） ， C（0，2） （1）将 ABC 以点 C 为旋转中心旋转180 ，画出旋转后对应的A1B1C1；平移 ABC

26、 ， 若点 A 的对应点A2的坐标为（ 0， 4） ，画出平移后对应的A2B2C2； （2）若将 A1B1C1绕某一点旋转可以得到A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在 x 轴上有一点P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标 考点 ： 作 图-旋转变换；轴对称-最短路线问题 第 12 页 共 21 页 分析：（ 1）延长 AC 到 A1，使得 AC=A1C1，延长 BC 到 B1，使得 BC=B1C1，利用点A 的 对应点 A2的坐标为（ 0， 4） ，得出图象平移单位，即可得出A2B2C2； （ 2）根据 A1B1C1绕某一点旋转可以得到A2B2C2进而得出，旋转中

27、心即可； （ 3）根据 B 点关于 x 轴对称点为A2，连接 AC2，交 x 轴于点 P，再利用相似三角形 的性质求出P点坐标即可 解答：解 ： （1）如图所示： （ 2）如图所示：旋转中心的坐标为：（， 1） ； （ 3） POAC ， =， =， OP=2， 点 P的坐标为（2，0） 点评：此 题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求最小值 问题是考试重点，同学们应重点掌握 22 （8 分） （2013?武汉）如图，已知ABC 是 O 的内接三角形，AB=AC ，点 P 是的 中点，连接PA，PB，PC （1）如图，若BPC=60 求证： AC=AP； （2）如图

28、，若sinBPC=，求 tanPAB 的值 第 13 页 共 21 页 考点 ： 垂 径定理；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形 专题 ： 探 究型 分析：（ 1）根据圆周角定理得BPC= BAC=60 ，可判断 ABC 为等边三角形，ACB= ABC=60 ，再利用圆周角定理得到APC= ABC=60 ，而点 P 是的中点，则 ACP=ACB=30 ，于是 PAC=90 ，然后根据30 度的正切可计算出AC=AP； （ 2）过 A 点作 AD BC 交 BC 于 D，连结 OP 交 AB 于 E，根据垂径的推论得到点O 在 AD 上，连结OB，根据圆周角定理得BOD= BAC ， BPC=B

29、AC ，所以 sin BOD=sin BPC=， 设 OB=25x ， 则 BD=24x ， 在 RtOBD 中可计算出OD=7x ， 再在 RtABD 计算出 AB=40x ，由于点P是的中点，根据垂径定理的推论OP 垂 直平分 AB ，则 AE=AB=20x ， 在 RtAEO 中，根据勾股定理计算出OE=4x，所以 PE=（254）x，最后 在 RtAPE 中，利用正切的定义求解 解答：解 ： （1） BPC=60 ， BAC=60 ， AB=AC ， ABC 为等边三角形， ACB= ABC=60 ， APC=ABC=60 ， 而点 P是的中点， ACP=ACB=30 ， PAC=90

30、 ， tanPCA=tan30 =， AC=PA； （ 2）过 A 点作 AD BC 交 BC 于 D，连结 OP 交 AB 于 E，如图， AB=AC ， 第 14 页 共 21 页 AD 平分 BC， 点 O 在 AD 上， 连结 OB，则 BOD= BAC ， BPC=BAC ， sinBOD=sin BPC=， 设 OB=25x ，则 BD=24x ， OD=7x， 在 RtABD 中， AD=25x+7x=32x ，BD=24x ， AB=40x， 点 P是的中点， OP 垂直平分AB ， AE=AB=20x ， AEP= AEO=90 ， 在 RtAEO 中， OE=15x， PE

31、=OPOD=25x 15x=10x， 在 RtAPE 中， tanPAE=， 即 tanPAB 的值为 点评：本 题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧也考查了勾股 定理、圆周角定理和解直角三角形 23 （10 分） （2013?武汉）科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种 珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后， 测试出这种植物高度的增长情况（如 下表） ： 温度 x/4 2 0 2 4 4.5 植物每天高度增长量 y/mm 41 49 49 41 25 19.75 由这些数据， 科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度 x 的函数， 且这种函数是反

32、比例函 数、一次函数和二次函数中的一种 第 15 页 共 21 页 （1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的 理由； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那 么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果 考点 ： 二 次函数的应用 分析：（ 1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c （a 0） ，然后选择 x=2、0、2 三组数据，利用 待定系数法求二次函数解析式即可，再根据反比例函数的自变量x 不能为 0，一次函 数的特点排除另两种函数； （ 2

33、）把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答； （ 3）求出平均每天的高度增长量为25mm，然后根据y=25 求出 x 的值，再根据二次 函数的性质写出x 的取值范围 解答：解 ： （1）选择二次函数，设y=ax 2+bx+c（a 0） ， x=2 时， y=49， x=0 时， y=49， x=2 时， y=41， ， 解得， 所以， y 关于 x 的函数关系式为y=x22x+49； 不选另外两个函数的理由： 点（ 0， 49）不可能在反比例函数图象上， y 不是 x 的反比例函数； 点（ 4，41） ， （ 2，49） ， （ 2，41）不在同一直线上， y 不是 x

34、的一次函数； （ 2）由（ 1）得， y=x 22x+49= （ x+1）2+50， a=1 0， 当 x=1 时， y 有最大值为50， 即当温度为1时，这种作物每天高度增长量最大； （ 3） 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm， 平均每天该植物高度增长量超过25mm， 当 y=25 时， x22x+49=25 ， 整理得， x 2+2x24=0， 解得 x1=6， x2=4， 在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在6 x4 第 16 页 共 21 页 点评：本 题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的 最

35、值问题，以及利用二次函数求不等式，仔细分析图表数据并熟练掌握二次函数的性 质是解题的关键 24 （10 分） （2013?武汉）已知四边形ABCD 在， E，F 分别是 AB ，AD 边上的点， DE 与 CF 交于点 G （1）如图，若四边形ABCD 是矩形，且DECF求证：； （2）如图，若四边形ABCD 是平行四边形试探究：当B 与 EGC 满足什么关系时， 使得成立？并证明你的结论； （3）如图，若BA=BC=6 ，DA=DC=8 ， BAD=90 ， DECF请直接写出的值 考点 ： 相 似形综合题 专题 ： 压 轴题 分析：（ 1）根据矩形性质得出A= FDC=90 ，求出 CFD

36、=AED ，证出 AED DFC 即可； （ 2）当 B+EGC=180 时，=成立，证 DFG DEA ，得出=，证 CGD CDF，得出=，即可得出答案； （ 3）过 C 作 CNAD 于 N，CM AB 交 AB 延长线于M，连接 BD ，设 CN=x ， BAD BCD ，推出 BCD= A=90 ，证 BCM DCN ，求出 CM=x，在 Rt CMB 中，由勾股定理得出BM 2+CM2=BC2，代入得出方程（ x6） 2+（ x） 2=62， 求出 CN=，证出 AED NFC，即可得出答案 解答：（ 1）证明：四边形ABCD 是矩形， A=FDC=90 ， CFDE， DGF=9

37、0 ， ADE+ CFD=90 ， ADE+ AED=90 ， CFD=AED ， 第 17 页 共 21 页 A=CDF， AED DFC， =； （ 2）当 B+EGC=180 时，=成立 证明：四边形ABCD 是平行四边形， B=ADC ，AD BC， B+A=180 ， B+EGC=180 ， A=EGC=FGD， FDG=EDA ， DFG DEA ， =， B=ADC ， B+ EGC=180 ， EGC+DGC=180 ， CGD=CDF， GCD=DCF， CGD CDF ， =， =， =， 即当 B+ EGC=180 时，=成立 （ 3）解：= 理由是：过C 作 CNAD

38、于 N，CM AB 交 AB 延长线于M，连接 BD，设 CN=x ， ABAD ， A=M= CNA=90 ， 四边形AMCN 是矩形， AM=CN ，AN=CM ， 在 BAD 和 BCD 中 BAD BCD （SSS） ， BCD= A=90 ， ABC+ ADC=180 ， ABC+ CBM=180 ， 第 18 页 共 21 页 CBM= ADC ， CND= M=90 ， BCM DCN ， =， =， CM=x， 在 RtCMB 中， CM=x，BM=AM AB=x 6，由勾股定理得：BM 2+CM2=BC2， （ x6） 2+（ x） 2=62， x=0（舍去），x=， CN=

39、， A=FGD=90 ， AED+ AFG=180 ， AFG+ NFC=180 ， AED= CFN， A=CNF=90 ， AED NFC， = 点评：本 题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性 质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行 推理的能力，题目比较好 25 （12 分） （2013?武汉）如图，点P是直线 l：y=2x2 上的点，过点P 的另一条直线 m 交抛物线y=x 2 于 A、B 两点 （1）若直线m 的解析式为y=x+，求 A，B 两点的坐标； （2）若点P 的坐标为（ 2，t） 当 PA=AB 时，请直

40、接写出点A 的坐标； 试证明：对于直线l 上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得 PA=AB 成立 （3）设直线 l 交 y 轴于点 C，若 AOB 的外心在边AB 上，且 BPC= OCP，求点 P 的坐 标 第 19 页 共 21 页 考点 ： 二 次函数综合题 专题 ： 压 轴题 分析：（ 1）联立抛物线 y=x 2 与直线 y=x+的解析式，求出点A、B 的坐标 （ 2）如答图1 所示，求出点P坐标（ 2，2） ，设 A（m，m 2） 作辅助线，构造 直角梯形PGFB，AE 为中位线， 求出点 B 的坐标 （用含 m 的代数式表示） ，然后代入 抛物线的解析式求出m 的值； 与

41、解题思路一致设P（a， 2a2） ，A（m，m 2） 作辅助线，构造直角梯形 PGFB，AE 为中位线，求出点B 的坐标（用含a、 m 的代数式表示） ，然后代入抛物 线的解析式得到关于m 的一元二次方程， 根据其判别式大于0， 可证明题中结论成立 （ 3）AOB 的外心在边AB 上，则 AB 为 AOB 外接圆的直径，AOB=90 设 A （ m， m2） ，B（ n，n2） 作辅助线，证明AEO OFB，得到 mn=1再联立直 线 m：y=kx+b 与抛物线y=x 2 的解析式，由根与系数关系得到：mn= b，所以 b=1； 由此得到OD、CD 的长度，从而得到PD 的长度；作辅助线，构造

42、RtPDG，由勾 股定理求出点P的坐标 解答：解： （1）点 A、 B 是抛物线 y=x 2 与直线 y=x+的交点， x2= x+， 解得 x=1 或 x= 当 x=1 时， y=1；当 x=时， y=， A（ 1，1） ， B（，） （ 2）点P（ 2，t）在直线y=2x 2 上， t=2， P（ 2，2） 设 A（m，m 2） ，如答图 1 所示，分别过点 P、A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点G、 E、F 第 20 页 共 21 页 PA=AB ， AE 是梯形 PGFB 的中位线， GE=EF，AE=（PG+BF） GE=EF=OE+OF ， OF=GEOE=22m AE=（PG

43、+BF） ， BF=2AE PG=2m 22 B（ 22m，2m22） 点 B 在抛物线y=x 2 上， 2m22=（22m） 2 解得： m=1 或 3， 当 m= 1 时， m2=1；当 m=3 时， m2=9 点 A 的坐标为（1，1）或（ 3，9） 设 P（a， 2a2） ，A（m，m2） 如答图 1 所示，分别过点P、A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点G、E、F 与同理可求得：B（ 2ma，2m2+2a+2） 点 B 在抛物线y=x 2 上， 2m2+2a+2=（2ma） 2 整理得： 2m 24am+a22a2=0 =16a28（a22a2）=8a2+16a+16=8（a+1）

44、 2+80， 无论 a 为何值时， 关于 m 的方程总有两个不相等的实数根即对于任意给定的点P， 抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得 PA=AB 成立 （ 3） AOB 的外心在边AB 上， AB 为 AOB 外接圆的直径，AOB=90 设 A（m，m2） ，B（n， n2） ， 如答图 2 所示，过点 A、B 分别作 x 轴的垂线， 垂足为 E、F，则易证 AEO OFB 第 21 页 共 21 页 ，即，整理得： mn（ mn+1）=0， mn 0， mn+1=0，即 mn=1 设直线 m 的解析式为y=kx+b ，联立，得： x2kxb=0 m， n 是方程的两个根，mn=b b=

45、1 设直线 m 与 y 轴交于点D，则 OD=1 易知 C（0， 2） ，OC=2， CD=OC+OD=3 BPC=OCP， PD=CD=3 设 P （a，2a2） ，过点 P 作 PGy 轴于点 G，则 PG=a，GD=OG OD=2a 3 在 RtPDG 中，由勾股定理得：PG2+GD 2=PD2， 即： （ a） 2+（ 2a3）2=32，整理得： 5a2+12a=0， 解得 a=0（舍去）或a=， 当 a=时， 2a2=， P（，） 点评：本 题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、梯形及梯形中 位线、勾股定理、相似三角形、一元二次方程等知识点，有一定的难度第（2）问 中，注意根的判别式的应用，第（3）问中，注意根与系数关系的应用