《2014-2015学年人教a版数学选修2-2第1章《导数及其应用》综合检测(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014-2015学年人教a版数学选修2-2第1章《导数及其应用》综合检测(含答案).pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一章综合检测 时间 120 分钟，满分150 分。 一、选择题 (本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1(2013 天津红桥区高二段测)二次函数yf(x)的图象过原点且它的导函数yf (x) 的图象是如图所示的一条直线，yf(x)的图象的顶点在() A第象限B第象限 C第象限D第象限 答案 A 解析 设 f(x)ax 2 bxc，二次函数 yf(x)的图象过原点， c0，f (x)2ax b，由 yf (x)的图象可知， 2a0， a0， b 2a0， 4acb 2 4a b 2 4a0，故 选 A. 2(2013 华池一中
2、高二期中)曲线 y 1 x在点 ( 1 2， 2)处的切线方程为 () Ay4xBy4x4 Cy4(x1) Dy 2x4 答案 B 解析 y 1 x 2， y |x 1 24， k4， 切线方程为y24(x 1 2)，即 y4x4. 3(2014 淄博市临淄区学分认定考试)下列函数中， x0 是其极值点的函数是() Af(x) x 3 Bf(x) cosx Cf(x)sinxxDf(x) 1 x 答案 B 解析 对于 A， f (x) 3x 20 恒成立，在 R 上单调递减， 没有极值点； 对于 B， f (x) sinx，当 x( ，0)时， f (x)0，故 f(x) cosx 在 x 0
3、 的 左侧区间 ( ，0)内单调递减，在其右侧区间(0，) 内单调递增，所以x0 是 f(x)的一个极 小值点；对于C，f (x)cosx10 恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D，f(x) 1 x在 x0 没有定义，所以 x0 不可能成为极值点，综上可知，答案选B. 4(2013 北师大附中高二期中)已知函数f(x) x 3 ax2x1 在(， )上是单调 函数，则实数a 的取值范围是() A(，3)， (3， ) B(3，3) C(，33， ) D3，3 答案 D 解析 f (x) 3x 22ax 1， f(x)在(， )上是单调函数，且 f (x)的图象 是开口向下的抛物线，f
4、(x)0 恒成立， 4a212 0，3a3，故选 D. 5 (2013 武汉实验中学高二期末)设函数 f(x)在定义域内可导， yf(x)的图象如下图所示， 则导函数yf (x)的图象可能是() 答案 A 解析 f(x)在 (，0)上为增函数， 在(0，)上变化规律是减增减，因此 f (x) 的图象在 (，0)上， f (x)0，在(0， )上 f (x)的符号变化规律是负正负，故选 A. 6(2012 陕西文， 9)设函数 f(x)2 xlnx，则 ( ) Ax 1 2为 f(x)的极大值点 Bx 1 2为 f(x)的极小值点 Cx2 为 f(x)的极大值点Dx 2为 f(x)的极小值点 答
5、案 D 解析 由 f (x) 2 x 2 1 x 1 x(1 2 x )0 可得 x2. 当 02 时 f (x)0，f(x)单调递增所以x 2 为极小值点 7 (2014 天门市调研 )已知函数f(x) asinxbcosx 在 x 4时取得极值， 则函数 yf( 3 4 x)是() A偶函数且图象关于点( ，0)对称 B偶函数且图象关于点(3 2 ， 0)对称 C奇函数且图象关于点(3 2 ， 0)对称 D奇函数且图象关于点( ，0)对称 答案 D 解析 f(x)的图象关于x 4对称， f(0)f( 2)， ba， f(x)asinxbcosxasinxacosx2asin(x 4)， f
6、(3 4 x)2asin(3 4 x 4) 2asin( x)2asinx. 显然 f(3 4 x)是奇函数且关于点( ，0)对称，故选D. 8(2013 武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f(x)满足 f(1)1，且 f(x)的导函数 f (x) 1 2，则满足 2f(x)1 Dx|x1 答案 B 解析 令 g(x)2f(x) x1， f (x) 1 2， g(x)2f (x) 10， g(x)为单调增函数， f(1)1， g(1)2f(1)1 10， 当 x1 时， f (x)0，f(x)单调递增，当 10， m20， 2m0， 2 m2. 10 (2013 河南安阳中学高二期末)f
7、(x)是定义在 (0， )上的非负可导函数，且满足 xf (x)f(x)0，对任意正数a、b，若 a0)，则 F (x)xf (x)f(x)0， F(x)在(0， )上为减 函数， 0f(b)，即 af(a)bf(b)，与选项不符； 由于 xf (x)f(x)0 且 x0，f(x)0， f (x) f x x 0， f(x)在(0， )上为减 函数， 0f(b)， bf(a)af(b)，结合选项知选A. 11(2014 天门市调研 )已知函数f(x)的导函数f (x)a(xb) 2 c 的图象如图所示，则 函数 f(x)的图象可能是 () 答案 D 解析 由导函数图象可知， 当 x0， 函数
8、f(x)递增因此，当x0 时， f(x)取得极小值，故选D. 12(2013 泰安一中高二段测)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若ABC 为锐角 三角形，则一定成立的是 () Af(sinA)f(cosB) Bf(sinA)f(sinB) Df(cosA)0 时，f (x)0，即 f(x)单调递增，又 ABC 为锐角三角 形，则 AB 2，即 2A 2B0，故 sinAsin( 2B)0，即 sinAcosB0，故 f(sinA) f(cosB)， 选 A. 二、填空题 (本大题共4 个小题，每小题4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上) 13(2013 华池一中高二期中)已知
9、 f(x)x 33x2a(a 为常数 )，在 3,3上有最小值 3， 那么在 3,3上 f(x)的最大值是 _ 答案 57 解析 f (x)3x 26x3x(x2)，当 x3， 2)和 x(0,3时， f (x)0，f(x)单 调递增，当x(2,0)时，f (x)0，则 f 2 0， f 1 0， 6 51 时，此函数单调递减，当 x00 时，m 3，当 x01 时，m 2，当 30) (1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在(0,1上 的最大值为 1 2，求 a 的值 解析 函数 f(x)的定义域为 (0,2)， f (x)1 x 1 2xa， (1)当 a1 时，
10、 f (x) x22 x 2 x ， 当 x (0， 2)时， f (x)0， 当 x(2， 2)时， f (x)0， 即 f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此 a1 2. 18(本题满分12 分)(2014 韶关市曲江一中月考)已知函数f(x)ax 3cx d(a0)是 R 上的奇函数，当x1 时， f(x)取得极值 2. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的单调区间和极大值； (3)证明：对任意x1、x2(1,1)，不等式 |f(x1)f(x2)|1 时， f (x)0，函数 f(x)单调递增； 函数 f(x)的递增区间是(
11、， 1)和(1， )；递减区间为(1,1) 因此， f(x)在 x 1 处取得极大值，且极大值为f( 1)2. (3)由(2)知，函数f(x)在区间 1,1上单调递减，且f(x)在区间 1,1上的最大值为M f(1)2.最小值为mf(1) 2.对任意x1、x2(1,1)， |f(x1)f(x2)|0) (1)当 a1 时，求曲线y f(x)在点 (1，f(1)处的切线方程； (2)求 f(x)的单调区间； (3)若 f(x)0 在区间 1， e上恒成立，求实数a 的取值范围 解析 (1)a1， f(x) x 24x2lnx， f (x) 2x 2 4x2 x (x0)， f(1) 3，f (1
12、)0， 所以切线方程为y 3. (2)f (x) 2x 22 a1 x2a x 2 x1 xa x (x0)， 令 f (x)0 得 x1 a，x21， 当 00，在 x (a,1)时， f (x)1 时，在 x (0,1)或 x(a， )时， f (x)0， 在 x(1，a)时， f (x)0；当 12 时 f (x)0. 所以当 x1 时， f(x)取极大值f(1) 5 2a， 当 x2 时， f(x)取极小值f(2)2a. 故当 f(2)0 或 f(1)5 2. 21(本题满分12 分)(2014 荆州中学、龙泉中学、宜昌一中、襄阳四中期中联考)已知 函数 f(x) lnx a x1，
13、a 为常数 (1)若 a 9 2，求函数 f(x)在1，e上的值域； (e 为自然对数的底数，e2.72) (2)若函数 g(x)f(x)x 在1,2 上为单调减函数，求实数a 的取值范围 解析 (1)由题意 f (x) 1 x a x1 2， 当 a9 2 时， f (x) 1 x 9 2 x 1 2 x2 2x 1 2x x1 2. x1， e， f(x)在1,2)上为减函数，2， e上为增函数， 又 f(2)ln23 2，f(1) 9 4，f(e)1 9 2e2，比较可得 f(1)f(e)， f(x)的值域为 ln2 3 2， 9 4 (2)由题意得g (x)1 x a x1 210 在
14、 x1,2上恒成立， a x 1 2 x (x1)2 x2 3x1 x3 恒成立， 设 h(x)x23x1 x3(1x2)， 当 1x 2 时， h(x)2x3 1 x 20 恒成立， h(x)maxh(2) 27 2 ， a 27 2 ， 即实数 a 的取值范围是27 2 ， ) 22(本题满分14 分)(2014 北京海淀期中)如图，已知点A(11,0)，直线xt(1f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e) Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d) 答案 C 解析 由图可知f (x)在(，c)和(e， )上取正值，在(c，e)上取负值，故f(x) 在(，c)和(e， )上
15、单调递增，在(c，e)上单调递减， a0 在 x(1,1)上恒成立， f(x)在(1,1)上是增函数，又f(x)4x3sinx，x(1,1)是奇函数，不等式f(1a) f(1a2)0，选 B. 11已知三次函数f(x) 1 3x 3 (4m1)x2(15m22m7)x 2 在 R 上是增函数，则 m 的取值范围是 () Am4 B 40， f 1 0， 1m mn 2 0， 3mn1. 由 y0loga(x04)知， 当 a1 时， 1loga3， 由于 y01，loga32 时 f (x)0 恒成立 (其中 f (x) 是函数 f(x)的导函数 )，且 f(4)0，则不等式 (x2)f(x
16、3)2 时， f (x)0， f(x)在(2， )上单调递增，在(，2)上单调递减，又f(4) 0， f(0) 0， 04 时， f(x)0， 由(x2)f(x3)0， (1) 或 x20， f x 3 4， x2， 00)，且 g(x) f(x)2 是奇函 数 (1)求 a、c 的值； (2)若函数 f(x)有三个零点，求b 的取值范围 解析 (1)g(x)f(x)2 是奇函数， g(x) g(x)对 xR 成立， f( x) 2 f(x)2 对 xR 成立， ax2c20 对 xR 成立， a0 且 c2. (2)由(1)知 f(x) x 3 3bx2(b0)， f (x)3x2 3b3(
17、xb)(xb)， 令 f (x)0 得 x b， x (，b)b (b，b)b (b， ) f (x)00 f(x)增极大值减极小值增 依题意有 f b 0， fb 1， 故正数 b 的取值范围是(1， ) 18 在曲线 y x 3(x0)上某一点 A处作一切线使之与曲线以及 x轴围成图形的面积为 1 12， 试求过切点A 的切线方程 解析 设切点 A(x0， x 3 0)，切线斜率k y|xx03x 2 0. 切线的方程为y x3 0 3x 2 0(xx0) 令 y0，得 x 2x0 3 . 依题意 Sx00x3dx 1 2(x 0 2x0 3 ) x 3 0 1 4x 4 0 1 6x 4
18、 0 1 12x 4 0 1 12， x00， x01. 切线方程为y13(x1)，即 3x y20. 19(2014 福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f(x)x 3ax2bx 5，若曲线 f(x)在 点(1，f(1)处的切线斜率为3，且 x2 3时， yf(x)有极值 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)在4,1上的最大值和最小值 解析 f (x)3x 2 2axb， (1)由题意得， f 2 3 3 2 3 22a2 3b0， f 1 31 22a1b3. 解得 a2， b 4. 经检验得 x 2 3时， y f(x)有极小值， 所以 f(x)x32x2 4x5.
19、(2)由(1)知， f (x)3x 24x4(x 2)(3x2) 令 f (x)0，得 x1 2，x2 2 3， f (x)，f(x)的值随 x 的变化情况如下表： x 4(4， 2)2(2， 2 3) 2 3 (2 3，1) 1 f (x)00 f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增 函数值11 13 95 27 4 f(2 3) 95 27，f(2)13，f(4) 11，f(1)4， f(x)在4,1上的最大值为13，最小值为 11. 20(2013 海淀区高二期中)已知函数f(x)a 2 3 x 32ax2bx，其中 a、 bR，且曲线 y f(x)在点 (0，f(0)处的切线斜率
20、为3. (1)求 b 的值； (2)若函数 f(x)在 x1 处取得极大值，求a 的值 解析 (1)f (x)a 2x24axb， 由题意 f (0) b3. (2)函数 f(x)在 x1 处取得极大值， f (1)a24a30，解得 a1 或 a3. 当 a1 时， f (x)x24x3(x1)(x3)， x、f (x)、f(x)的变化情况如下表： x (， 1)1(1,3)3(3， ) f (x)00 f(x) 极大值极小值 由上表知，函数f(x)在 x 1 处取得极大值，符合题意 当 a3 时， f (x)9x212x 33(3x 1)(x 1)， x、f (x)、f(x)的变化情况如下
21、表： x (， 1 3) 1 3 (1 3，1) 1(1， ) f (x)00 f(x) 极大值极小值 由上表知，函数f(x)在 x 1 处取得极小值，不符合题意 综上所述，若函数f(x)在 x1 处取得极大值，a的值为 1. 21(2013 武汉实验中学高二期末)已知曲线f(x)ax 22 在 x1 处的切线与直线 2xy 10 平行 (1)求 f(x)的解析式； (2)求由曲线yf(x)与 y3x、x0、x1、x2 所围成的平面图形的面积 解析 (1)由已知得： f (1)2，求得 a1， f(x)x 2 2. (2)由题意知阴影部分的面积是： S 0 1(x223x)dx 1 2 (3x
22、x 22)dx (1 3x 32x3 2x 2)|1 0 (3 2x 21 3x 32x)|2 11. 22(2013 福州文博中学高二期末)设 f(x)lnx，g(x)f(x)f (x) (1)求 g(x)的单调区间和最小值； (2)讨论 g(x)与 g(1 x)的大小关系； (3)求 a 的取值范围，使得g(a)g(x)0 成立 解析 (1)由题设知g(x)lnx 1 x， g(x) x1 x 2，令 g(x)0，得 x 1. 当 x(0,1)时， g(x)0，故 (1， )是 g(x)的单调递增区间， 因此， x1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1) 1. (2)g( 1 x) lnxx， 设 h(x)g(x)g(1 x )2lnxx 1 x，则 h(x) x1 2 x 2 . 当 x1 时， h(1)0，即 g(x)g(1 x) 当 x(0,1)(1， )时， h(x)h(1)0，即 g(x)g(1 x)， 当 x1 时， h(x)0 成立 ? g(a)1 1 a， 即 lna1，从而得0ae，即 a 的取值范围为 (0，e)