2014年人教A版选修2-3教案2.3.2离散型随机变量的方差.pdf

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1、232 离散型随机变量的方差 教学目标： 知识与技能： 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义， 会根据离散型随机变量的分布列 求出方差或标准差。 过程与方法：了解方差公式“D(a+b)=a 2D ”，以及“若(n，p)，则D=np(1 p) ”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文 价值。 教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 教具准备：多媒体、实物投影仪。 教学设想： 了解方差公式 “D(a +b)=a 2D ”，以及“若 (n，p) ，则

2、D=np(1 p)”， 并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。 授课类型：新授课 课时安排：2 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平， 表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值今天， 我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究其实在初中我们也对一 组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差. 回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据 1 x， 2 x， , ， n x中，各数据与它们的平 均值x得差的平方分别是 2 1 )(xx， 2 2 )(xx，, ，

3、2 )(xxn，那么 12 n S 2 1 )(xx 2 2 )(xx , )( 2 xxn 叫做这组数据的方差 教学过程： 一、复习引入： 1. 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变 量随机变量常用希腊字母、等表示 2. 离散型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量 3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变 量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机 变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的

4、结果可以按一定次序 一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5. 分布列 : x1x2,xi, P P1P2,Pi, 6. 分布列的两个性质：Pi0，i1， 2，, ；P1+P2+,=1 7. 二项分布 : B(n，p) ，并记 knkk n qpC b(k；n，p) 0 1 ,k ,n P n n qpC 00111n n qpC, knkk n qpC , 0 qpC nn n 8. 几何分布： g(k，p)= 1k qp，其中 k0,1,2, ，pq1 1 2 3 ,k , P ppq 2 q p, 1k qp , 9.数学期望 : 一般地，若离散型随机变量 的概率分布为 x1x

5、2 ,xn , P p1p2,pn, 则称E 11p x 22p x, nnp x,为 的数学期望，简称期望 10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水 平 11 平均数、均值 :在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令 1 p 2 p, n p， 则有 1 p 2 p, n pn 1 ，E 1 (x 2 x, n xn 1 )，所以 的数学期望又称为平 均数、均值 12. 期望的一个性质: baEbaE)( 13. 若B（n,p ），则 E=np 二、讲解新课： 1. 方差 : 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是 1 x， 2 x， , ， n

6、 x， , ， 且取这些值的概率分别是 1 p， 2 p， , ， n p， , ，那么, D 1 2 1 )(pEx 2 2 2 )(pEx , nn pEx 2 )(, 称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量 的期望 2. 标准差 :D的算术平方根 D 叫做随机变量 的标准差，记作 3. 方差的性质：（1）DabaD 2 )(；（ 2） 22 )(EED； （3）若 B(n，p) ，则Dnp(1-p) 4. 其它： 随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； 随机变量 的方差、 标准差也是随机变量 的特征数， 它们都反映了随机变量取值 的稳定与波动、集中与离散

7、的程度； 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例： 例 1随机抛掷一枚质地均匀的骰子, 求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 从而 111111 1234563.5 666666 EX; 2222 22 1111 (13.5)(23.5)(33.5)(43.5) 6666 11 (53.5)(63.5)2.92 66 DX 1.71XDX. 例 2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/ 元1200 1400

8、1600 1800 获得相应职位的概率P10.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/ 元1000 1400 1800 2000 获得相应职位的概率P20.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得 EX1 = 12000.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 18000.1 = 1400 , DX1 = (1200-1400) 2 0. 4 + (1400-1400 ) 20.3 + (1600 -1400 ) 20.2+(1800-1400) 20. 1 = 40 000 ; EX2 1

9、0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400 , DX2 = (1000-1400) 20. 4+(1 400-1400) 0.3 + (1800-1400)2 0.2 + (2200-1400 )20.l = 160000 . 因为 EX1 =EX2, DX1DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相 对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些， 就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位 例 3设随机变量 的分布列为 1 2 ,n P n 1 n 1 , n 1 求 D 解：

10、（略） 1 2 n E, 2 n -1 D 12 例 4已知离散型随机变量 1的概率分布为 1 1 2 3 4 5 6 7 P 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 离散型随机变量 2的概率分布为 2 37 38 3 9 4 41 42 43 P 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 求这两个随机变量期望、均方差与标准差 解：4 7 1 7 7 1 2 7 1 1 1 E； 4 7 1 )47( 7 1 )42( 7 1 )41( 222 1 D；2 11 D 4 7 1 3.4 7 1 8.3 7 1 7.3 2 E ； 2 D=0.04, 2.0 22

11、D. 点评：本题中的 1和2都以相等的概率取各个不同的值，但1的取值较为分散，2 的 取值较为集中4 21 EE，4 1 D，04. 0 2 D，方差比较清楚地指出了 2比1 取值更集中 12，2=0.02 ，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 例 5甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9， 10 的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8， 9，10 的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中 环数的期望与方差比较两名射手的射击水平 解： 1 80.29 0.610 0.29E 22 1 (89)0.2(99)0.6D+（10-9 ）4 .02.

12、0 2 ； 同理有8. 0, 9 22 DE 由上可知， 21 EE， 12 DD 所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所 得的平均环数很接近，均在9 环左右，但甲所得环数较集中，以 9 环居多， 而乙得环数较分 散，得 8、10 环地次数多些 点 评 ： 本 题 中 ， 1和2 所 有 可 能 取 的 值 是 一 致 的 ， 只 是 概 率 的 分 布 情 况 不 同 21 EE=9，这时就通过 1 D=0.4 和 2 D=0.8 来比较 1和2的离散程度，即两名 射手成绩的稳定情况 例 6A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下 表所示： A机床B机床

13、次品数 10 1 2 3 次品数 10 1 2 3 概率 P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率 P 0.8 0.06 0.04 0.10 问哪一台机床加工质量较好 解： E1=00.7+1 0.2+2 0.06+3 0.04=0.44, E2=00.8+1 0.06+2 0.04+3 0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差 D1=（0-0.44 ） 20.7+ （1-0.44 ）20.2+ （2-0.44 ）2 0.06+ （3-0.44 ） 20.04=0.6064, D2=（0-0.44 ） 20.8+ （1-0.44 ）20.06+ （2-0.44 ）2 0.04

14、+ （3-0.44 ） 20.10=0.9264. D1 D2故 A机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习： 1 . 已知 ,8,1.6B n pED ，则,n p的值分别是（） A1000.08和；B200.4和；C100.2和；D100.8和 答案： 1.D 2.一盒中装有零件12 个，其中有9 个正品， 3 个次品，从中任取一个，如果每次取出次 品就不再放回去，再取一个零件， 直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期 望 分析： 涉及次品率； 抽样是否放回的问题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将 会发生变化，即各次抽样是不独立的如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，

15、 各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件 解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然 所有可能取的值为0，1，2，3 当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P（=0）= 4 3 12 9 当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P（=1）= 44 9 11 9 12 3 当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P（=2）= 220 9 10 9 11 2 12 3 当=3 时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（=3） = 220 1 9 9 10 1 11 2 12 3 所以， E= 10 3 220 1 3 220 9 2 44

16、 9 1 4 3 0 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1% ，从中任意地连续取出200 件商品，设其中次 品数为 ，求 E，D 分析： 涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题由于产品数量很 大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结 果是彼此独立的 解答本题， 关键是理解清楚： 抽 200 件商品可以看作200 次独立重复试验， 即B（200，1% ），从而可用公式：E =np，D=npq( 这里 q=1-p) 直接进行计算 解： 因为商品数量相当大， 抽 200 件商品可以看作200 次独立重复试验， 所以 B （200， 1%） 因

17、为E =np， D =npq，这里n=200， p=1% ， q=99% ，所以，E =2001%=2,D =2001% 99%=1.98 4. 设事件 A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数的方差不超过1/4 分析： 这是一道纯数学问题要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还 是掌握随机变量的分布列求出方差D =P(1-P) 后，我们知道D是关于 P(P0) 的二次函 数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论 证明：因为 所有可能取的值为0，1 且 P（=0）=1-p,P( =1)=p, 所以， E=0(1 - p)+1p=p 则 D=（0-p ） 2(1 -p)+(

18、1-p) 2 p=p(1 -p) 4 1 2 )p1(p 2 5. 有 A、 B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下： A110 120 125 130 135 B100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中 A、B分别表示A、B 两种钢筋的抗拉强度在使用时要求钢筋的抗拉强度不低 于 120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好 分析：两个随机变量A和B&都以相同的概率01，02，0 4，01，02 取 5 个 不同的数值 A取较为集中的数值110，120，125，130， 135；B取较为分

19、散的数值100， 115，125，130，145直观上看，猜想A种钢筋质量较好但猜想不一定正确，需要通过计 算来证明我们猜想的正确性 解：先比较 A与 B的期望值，因为 EA=1100.1+120 0.2+125 0.4+130 0.1+135 0.2=125, E B=1000.1+115 0.2+125 0.4 十 1300.1+145 0.2=125. 所以，它们的期望相同再比较它们的方差因为 DA=(110-125) 2 0.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 2 0.1+(135-125) 2 0.2=50 ， DB=(100-125) 2 0.1+(110-12

20、5) 2 0.2+(130-125) 2 0.1+(145-125) 2 0.2=165. 所以， DA D B.因此， A种钢筋质量较好 6. 在有奖摸彩中，一期( 发行 10000 张彩票为一期 ) 有 200 个奖品是5 元的， 20 个奖品 是 25 元的，5 个奖品是100 元的在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？ 分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、 足球彩票、 奥运彩票等等 一 般来说， 出台各种彩票， 政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作 人员的工资等问题本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用 解：设一

21、张彩票中奖额为随机变量，显然 所有可能取的值为0，5，25，100 依题 意，可得 的分布列为 0 5 25 100 P 400 391 50 1 500 1 2000 1 2 .0 2000 1 100 500 1 25 50 1 5 400 391 0E 答：一张彩票的合理价格是02 元 五、小结： 求离散型随机变量 的方差、标准差的步骤：理解 的意义，写出 可能取的全部值；求 取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定 义求出E ；根据方差、标准差的定义求出D、. 若 B(n，p) ，则不必写出分 布列，直接用公式计算即可 对于两个随机变量 1和2，在1 E和 2 E相等或很接近时，比较 1 D和 2 D，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、教学反思： 求离散型随机变量 的方差、标准差的步骤： 理解 的意义，写出 可能取的全部值； 求 取各个值的概率，写出分布列； 根据分布列，由期望的定义求出E ； 根据方差、标准差的定义求出D、. 若 B(n，p) ，则不必写出分布列， 直接用公式计算即可 对于两个随机变量 1和2，在1 E和 2 E相等或很接近时，比较 1 D和 2 D，可 以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要