《2014挑战中考数学压轴题_3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014挑战中考数学压轴题_3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2013 年南京市中考第26 题 已知二次函数ya(xm)2a(xm)（a、m 为常数，且a0） （1）求证：不论a 与 m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图像的顶点为C，与 x 轴相交于 A、B 两点，与y 轴交于点D 当 ABC 的面积等于1 时，求 a 的值 当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，求m 的值 动感体验 请打开几何画板文件名“13 南京 26” ，拖动 y 轴上表示实数a 的点可以改变a 的值， 拖 动点 A 可以改变 m 的值分别点击按钮“m1” 、 “m2” 、 “m3” ，再改变
2、实数a，可以体验到， 这 3 种情况下，点C、D 到 x 轴的距离相等 请打开超级画板文件名“13 南京 26” ， 拖动点A 可以改变m 的值， 竖直拖动点C 可以 改变 a 的值分别点击按钮，可得到ABC 的面积与 ABD 的面积相等的三种情形。 思路点拨 1第（ 1）题判断抛物线与x 轴有两个交点，容易想到用判别式事实上，抛物线与x 轴的交点 A、B 的坐标分别为(m,0)、 (m1,0)，AB1 2当 ABC 的面积等于1 时，点 C 到 x 轴的距离为2 3当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，C、D 到 x 轴的距离相等 4本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细
3、满分解答 （1）由 y a(xm)2a(xm)a(xm)( xm1)， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A(m,0)、B(m1,0) 因此不论 a 与 m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点 （2）由 ya(xm) 2a(x m) 211 () 24 a xma， 得抛物线的顶点坐标为 11 (,) 24 C ma 因为 AB1，SABC 11 1 24 ABa，所以 a 8 当 ABC 的面积与 ABD 的面积相等时，点C 与点 D 到 x 轴的距离相等 第一种情况：如图1，C、D 重合，此时点D 的坐标可以表示为 1 (0,) 4 a， 将 1 (0,) 4 Da代入 211 () 2
4、4 ya xma，得 2111 () 424 aa ma 解得 1 2 m 图 1 第二种情况：如图2，图 3，C、D 在 x 轴两侧，此时点D 的坐标可以表示为 1 (0,) 4 a， 将 1 (0,) 4 Da代入 2 11 () 24 ya xma，得 2 111 () 424 aa ma 解得 12 2 m 图 2 图 3 考点伸展 第（ 1）题也可以这样说理： 由于由 211 () 24 ya xma，抛物线的顶点坐标为 11 (,) 24 C ma 当 a0 时，抛物线的开口向上，而顶点在x 轴下方，所以抛物线与x 轴由两个交点； 当 a0 时，抛物线的开口向下，而顶点在x 轴上方
5、，所以抛物线与x 轴由两个交点 因此不论 a 与 m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点 第（ 1）题也可以用根的判别式说理： 由 ya(xm)2a(x m)ax2(2m1)xm2m， 得 2222 (21)4()ammma0 因此不论 a 与 m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点 这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细 例 2 2013年南昌市中考第25题 已知抛物线yn (xan) 2a n（n 为正整数，且 0a1a2, an）与 x 轴的交点为 An1(bn1,0)和 An(bn,0) 当 n1 时， 第 1 条抛物线 y1 (xa1) 2
6、a 1与 x 轴的交点为 A0(0,0) 和 A1(b1,0)，其他依此类推 （1）求 a、 b 的值及抛物线y2的解析式； （2）抛物线y3的顶点坐标为 (_， _)； 依此类推第n 条抛物线 yn的顶点坐标为(_，_)（用含 n 的式子表示） ； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_； （3）探究下列结论： 若用 An1 An表示第 n 条抛物线被x 轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出 An1 An； 是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的 长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由 备用图（仅供草稿使用） 动感
7、体验 请打开几何画板文件名“13 南昌 25” ，拖动抛物线的顶点P 在射线 yx(x0)上运动， 可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等 请打开超级画板文件名“13 南昌 25” ，拖动抛物线的顶点P 在射线 yx(x0)上运动， 可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等 思路点拨 1本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算 2最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上 3这个备用图怎么用？边画边算，边算边画 满分解答 （1）将 A0(0,0)代入 y1 (xa1)2a1，得 a12a10 所以
8、符合题意的a11 此时 y1 (x1)21 x(x2)所以 A1的坐标为 (2,0)，b12 将 A1(2,0)代入 y2 (xa2)2a2，得 (2a2)2a20 所以符合题意的a24 此时 y2 (x4) 24 (x2)(x6) （2）抛物线y3的顶点坐标为 (9，9)； 第 n 条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是yx （3）如图1，A0A12 由第（ 2）题得到，第n 条抛物线 yn (xan)2 an的顶点坐标为(n2，n2) 所以 yn (xn2) 2n2n2(xn2)2(nxn2)(n xn2) 所以第 n 条抛物线与x 轴的交点坐标为An1(n 2n,0)和 A n(n 2n,0) 所以 An1 An(n2n)(n 2n)2n 如图 1，直线 yx2 和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都 相等 图 1 考点伸展 我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用 第一步， 由 yn (xan)2 an，得抛物线的顶点坐标为(an, an)顶点的横坐标和纵坐标 相等，而且已知an0，因此先画出顶点所在的射线yx(x0) 第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x 轴的右交点 第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x 轴的右交点