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1、宣城市八校2015 届高三上学期联考数学（理）试题 本试卷分第I 卷（选择题） 和第卷（非选择题） 两部分。 全卷满分150 分，考试时间120 分钟。 考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。 考生注意事项： 1答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地 方填写姓名和座位号后两位。 2答第 I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。 3答第 卷时，必须
2、使用05 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体T 整、笔迹清 晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用05 毫米的黑色墨水签字笔 描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、 草稿纸上答题无效 。 4考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 第 I 卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 （1）设 i 是虚数单位，复数 74 12 i i （A） 32i （ B） 3+2i （C）23i （D） 2+3i （2）若集合 A=|0 ,|2 2 x
3、a xBx x x ，且 AB则实数a的取值范围是 （A） （,-2 （B）2,2 （C）2,）（D）2, ） （3）设 Sn是等比数列 an 的前 n 项和，若 a3=7， S3=21，则数列 an 的公比是 （A） 1 2 （ B）1 （C） 1 2 或 1 （D） 1 2 或 1 （4）设 a1, 则函数 1 1 x y a 的图像大致为 （5）若非直角 ABC 的内角 A、B、C 成等差数列，则tanA+tanC tanAtanBtanC= （A）3（ B） 3 3 （C） 3 3 （D）3 （6）已知 f（x）是定义在R 上的奇函数，且当x0 时 f（ x）= 2 1,016 (8)
4、,16 og xx f xx ，则 f(f（ 24）)= （A） 4 （ B） 2 （C）2 （D）4 （7）设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和，且 a2+2a4+5a6=48，则 S9= （A）36 （ B）45 （C）54 （D）63 （8）已知向量a=（0，sin 2 x ） ，b=（1,2cos 2 x ） ，函数 f（x）= 3 2 ab，g（x）=a 2+b2 7 2 ，则 f（x） 的图像可由g（x）的图像经过怎样的变换得到 （A）向左平移 4 个单位长度（B）向右平移 4 个单位长度 （C）向左平移 2 个单位长度（D）向右平移 2 个单位长度 （9）已知 a、b 为正实
5、数，直线y=xa 与曲线 y=ln （x+b）相切，则 2 2 a b 的取值范围是 （A） （0， 1 2 ）（ B） （0，1）（C） （0，）（D）1, （10）在 ABC 中，若（ 4ABAC）CB，则 sinA 的最大值为 （A） 1 2 （ B） 3 5 （C） 4 5 （D） 3 2 第卷（非选择题共 100 分） 考生注意事项： 请用 05 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在 试题卷上答题无效 。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在题中横线上 （11）已知向量a与 b 的夹角为60o，且 |a| 1， b =2，则 ab = 。 （12）由曲线y
6、 x22x 与直线 y=x 围成的封闭图形的面积为。 （13）设集合 An=x|2 nsinB”是“ ab”的充分必要条件 “ cosAb”的充分必要条件 “ tanAtanB是“ ab”的充分必要条件 “ sin2Asin2B”是“ ab”的充分必要条件 “ cos2Ab”的充分必要条件 三、解答题：本大题共6小题，共75 余解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （16） （本小题满分12 分） 设函数 f（x）=sinxcos（x+ 3 ）+ 3 4 ，xR （I）求 f（x）的最大值及最小正周期； （）若斜率为 1 2 的直线与f（x）相切，求其切点坐标 （17） （本小题满分12 分
7、） 已知 a0，a1 ，设命题 p：函数 y=loga x 在（ 0，+）上单凋递增；命题q：函数 y=|x+2a| |x| 对任意 xR 满足 10f（x）a 2ka 恒成立，求实数 k 的取值范围 （21） （本小题满分13 分） 右图中的杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法它有很多 奇妙的性质， 如每个数等于它肩上两数之和记图中从上到下第i 行从左到右第j 个数为（i， j） 数 列an的前 n 项和 Sn=（ n+2，3） ，nN * （I）求数列 an的通项公式； （）设 bn= 1 n S ，数列 bn的前 n 项和为 Tn证明： 1Tn2 参考答案
8、题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10） 答案A C D D A B C D A B （1）A 解析： 74i(74i)(1-2i)1510i 32i. 12i55 （2）C 解析：若 a2，A(2，a满足条件，若a2，A满足条件，若a 2，Aa，2)，使 A? B，只需 a 2，故选 C （3）D 解析：设数列 n a的公比为q，则 22 111 14,7210,aa qa qqq解得 1 2 q 或 1. （4）D 解析：令 a2，当 x2 时， y1 3，排除 B、C，当 x 2 时， y 4 3，排除 A，故选 D （5）A 解析： 2 , 33 BAC ta
9、ntantan1tantan33 tantan,ACACACAC tantan3tantan3,ACAC故选 A. （6）B 解析： 2 ( 24)(24)(16)log 164fff ，则 2 ( 4)(4)log 42ff . （7）C 解析： 48a22a45a6,6,844 5564 aaaaS9 9(a1a9) 2 9a554. （8）D 解析： f(x) 3 2a b 3 2 2sin x 2cos x 2 3 2sinx， g(x)a 2b27 2 sin 2x 214cos 2x 2 7 2 3cos 2x 2 3 2 3 1cosx 2 3 2 3 2cosx 3 2sin(
10、 2 x)，故选 D （9）A 解析： y 1 x b1，x 1b，切点为 (1 b，0)，代入 yxa，得 ab1，a、b 为正 实数， a(0，1)， 22 23 aa ba ，令 2 2 (6) ( ),( )0, 3(3) aaa g ag a aa a 2 2b(0， 1 2). （10）B 解析： 0(4 AB AC) CB(4 AB AC) ( CA AB)4 AB 2 AC 25 AC AB 4 AB 2 AC 2 5| AC| | AB|cosA 4| AC| | AB|5| AC| | AB|cosA，cosA 4 5，sinA 3 5 （11）3解析： 2 22 1 =2
11、=12 124=3=3 2 ，abaa bbab. （12） 9 2 解析：画出简图知封闭图形的面积 32 0 9 =(2 ). 2 Sxxx dx （13）336 解析： 5 A中的各元素构成以33 为首项，以5 为公差的等差数列，共有7 项， 5 A中各 元素之和为 76 7335336. 2 （14）1 n ann解析：当n1 时， 2S1a1 1 a1=2a1 ，a11，当n2时， 2Sn Sn Sn1 1 SnSn1， 即 S nSn1 1 SnSn1 ， 22 1 1, nn SS， 又 2 1 1,SS2 nn， S n n，1 n ann. （15）解析：由 sinA sinB
12、，利用正弦定理得a=2rsinA，b=2rsinB，故 sinAsinB ，等价 于 ab，正确；由 cosAcosB，利用函数cosyx在0,上单调递减得AB，等价于 ab， 正确；由tanAtanB，不能推出ab，如 A 为锐角， B 为钝角，虽然有tanA tanB，但由大角对 大边得 ab， 错误；由sin2A sin2B， 不能推出ab， 如 A=45 ， B=60 时，虽然有 sin2A sin2B， 但由大角对大边得ab， 错误；由cos2Acos2B， 利用二倍角公式得sin2Asin2B， sinAsinB， 故等价于ab，正确 （16）解析：（）f(x)sinx(1 2co
13、sx 3 2 sinx) 3 4 1 4sin2x 3 2 1cos2x 2 3 4 1 2sin(2x 3)， f(x)的最大值为 1 2，最小正周期为 （6 分） （）f(x)cos(2x 3)，令 cos(2x 3) 1 2，则 2x 32k 3（kZ） ，即 xk或 xk 3（kZ） ， 故其切点坐标为(k ， 3 4 )或(k 3， 3 4 )（kZ） （12 分） （17）解析：若p 为真命题，则a1 若 q 为真命题，由 2 ,2 222 , 20, 2 ,0 a xa yxaxxaax a x 得222axaxa， 2a1，0a 1 2 （6 分） 又“ p? q” 为真， “
14、 p? q” 为假，则p、q 中一真一假 当 p 真 q 假时， a1；当 p 假 q 真时， 0a 1 2 故 a 的取值范围是 (0， 1 2)(1， ) （12 分） （18）解析：（）由已知得12sin2BcosBcos(AC)1， cos(A C)cos(A C)2sin 2B，即 2sinAsinC2sin2B 由正弦定理知b 2ac，a、b、c 成等比数列 （6 分） （）由余弦定理知 2222 3()3363 ,8 4222 acbacacac ac acacac ，而 sinB 7 4 ， 故ABC的面积 117 sin87. 224 ABC SacB（12 分） （19）解
15、析：（）两边取以2 为底的对数得log2an112log2an，则 log2an112(log 2an1)， 1 log2an为等比数列，且 log2an 1(log2a1 1) 2 n12n.（6 分） （） 1 1log2an 1 2 n， 设 M 1 1log2a1 2 1 log2a2 n 1log2an 1 2 2 2 2 n 2 n，则 1 2M 1 2 2 2 2 3 n 2 n+1， 两式相减得 1 2M 1 2 1 2 2 1 2 n n 2 n+11 1 2 n n 2 n+11，则 M2，结论成立 .（13 分） （20）解析：（）f( x)=a e x 当 a0 时，
16、f( x)0，f (x)在 R 上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件； 当 a0 时，由 f (x)=0 解得 x=lna，当 xlna 时， f ( x)0，当 x lna 时， f(x)0 故 f(x)在 x=lna 处取得最大值 f (lna)=alnaa， f(x)存在两个零点， f (lna)=alnaa0，ae，即 a 的取值范围是 (e， ) （6 分） （）由（ ）知 f(x) alna a，故只需alnaa a 2 ka，k a 1lna. 令 g(a)= a1lna，g (a)= 1 1 a，当 a1 时， g (a)0；当 a1 时， g (a) 0 故 g(a)在
17、a=1 处取得最小值2，则 k2 ，即 k 的取值范围是( ，2 （13 分） （21）解析（ ）观察知数列(1,2)n是首项为1 公差为 1 的等差数列 . 而 2n 时, 1 (2,3)(1,2)(1,3) nn SnnnSn， 1nnn aSS=n. 又n=1 时 , 1 (3,3)S=1 也适合上式 .,* n an nN.（分） （）由（ ）知 (1) 2 n n n S， 1211 2() (1)1 n Sn nnn .（分） 1111111 2(1) 223341 n T nn 1 2(1), 1n 1 11 2(1)2(1) 21 nn TT nn 112 2()0, 12(1)(2)nnnn n T是递增数列，又 1 1,T12. n T（13 分）