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1、概率论与数理统计练习题 系专业班姓名学号 第三章多维 随机变量及其分布（一） 一、填空题： 1、设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为 2 , 01, 01 (,) 0, A xyxy fxy 其 他 ，则常数 A6。 2、设二维随机变量(,)XY的联合分布函数为 arc ta narc ta n,0,0 (,) 0, Axyxy Fxy 其 他 ，则常数 A 2 4 。 二、计算题： 1在一箱子中装有12 只开关，其中2 只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样； （2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y 如下： 0 1 X 若 第 一 次 出 的 是 正 品 若
2、 第 一 次 出 的 是 次 品 ， 0 1 Y 若 第 二 次 出 的 是 正 品 若 第 二 次 出 的 是 次 品 试分别就（ 1） ， （2）两种情况，写出X 和 Y的联合分布律。 解： （ 1）放回抽样（2）不放回抽样 2设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求 （ 1） 13 , 04 22 PXY， （ 2）12 ,34PXY 1234 11 / 4001 / 16 21 /161/ 401 / 4 301 / 161 / 160 Y X Y0 1 X 0 25/36 5/36 1 5/36 1/36 Y0 1 X 0 15/22 5/33 1 5/33 1/66 解： （1）
3、13 ,04 22 PXY 111213(,)(,)(,)PXYPXYPXY 1 4 （2）12 ,34PXY 13142324(,)(,)(,)(,)PXYPXYPXYPXY 115 1 6416 3设随机变量(,)XY的联合分布律如表： 求： （1）a 值；（2）(,)XY的联合分布函数(,)Fxy （3）(,)XY关于 X，Y的边缘分布函数() X Fx和() Y Fy 解： （1） 由归一性 111 1 446 ij ij pa 解得 1 3 a （ 2）(,)XY的联合分布函数为 001 1 1210 4 5 210 12 1 120 2 120 , (,), , , xy xy F
4、xyxy xy xy 或 Y10 X 1 1/4 1/4 2 1/6 a （3）(,)XY关于 X， Y 的边缘分布函数为： 01 1 12 2 12 () X x Fxx x 01 5 10 12 10 () y y Fyy y 4设随机变量(,)XY的概率密度为 (6)0 x 2 ,2 y 4 (,) 0 kxy fxy 其 他 ，求： （1）常数 k；（2）求1,3PXY；（3）1.5PX；（4）4PXY 解： （1）由归一性 242 020 66281(,)()()Fdxkxy d ykx dxk 所以1k （2）1 ,3PXY 131 020 1173 6 8828 ()()d xx
5、y dyx d x （3）1.5PX 1 541 5 020 1127 662 8832 ()()dxxy dyx d x （4）4PXY 4 1 6 8 () xy xy d xd y 24 02 1 6 8 () x dxxy d y 2 2 0 1 128 1 6 ()xxd x 2 3 概率论与数理统计练习题 系专业班姓名学号 第三章多维 随机变量及其分布（二） 一、选择题： 1、设随机变量X与Y独立， 且 22 1122 (,),(,)XNYN ，则ZXY仍服从正态分布， 且有 D （A） 22 1212 (,)ZN(B) 22 1212 (,)ZN (C) 22 1212 (,)Z
6、N(D) 22 1212 (,)ZN 2、若(,)XY服从二维均匀分布，则 B （A）随机变量,XY都服从均匀分布（B）随机变量,XY不一定服从均匀分布 （C）随机变量,XY一定不服从均匀分布（D）随机变量XY服从均匀分布 二、填空题： 1、设二维随机变量(,)XY的密度函数为 2 ,01, 02 (,)3 0,. xy xxy fxy 其 他 ， 则(1)PXY 3 1 3 6 。 22 111 23 000 1253 1 1111 36363 6 ()()() x xyxx PXYd xxd yxd x 2、设随机变量,XY同分布，X的密度函数为 2 3 , 02 ()8 0 , xx f
7、x 其 他 ，设AXa与 BYa相互独立，且 3 () 4 PAB，则a 3 4。 23 0 3 111 88 ()()() a xa PAPXaPXadx 2 ()()()()()2()()PABPAP BPA PBPAPA 336 2 3 2 111 886 44 ()() aaa 三、计算题： 1已知 2 , (1, 2, 3) ab PXkP Ykk kk ，X 与 Y 独立，确定a，b 的值，求出(,)XY 的联合概率分布以及XY的概率分布。 解：由归一性 11 1 236 () k aaa PXka所以 6 1 1 a 由归一性 4 9 1 493 6 () k bbb P Ykb
8、所以 3 6 4 9 b (,)XY的联合概率分布 由于 24 (2) 539 PXY 6 66 (1) 5 3949 PXY 2 5 1 (0) 5 3 9 PXY 12 6 (1) 53 9 PXY 7 2 (2 ) 53 9 PXY XY的概率分布为： 21012 246 62 511 267 2 5 395 3 953 95 3953 9 XY P 2随机变量X与Y的联合密度函数为 34 1 2,0,0 (,) 0 , xy exy fxy 其 他 ，分别求下列概率密度函 数： （1）ZXY；（2）max ,MXY；（3）m in ,NXY。 解： （ 1）()()() Z FzP Z
9、zPXYz (,) xyz fxy d xd y 34 00 12 zzx xy d xed y Y321 X 1 24/539 54/539 216/539 2 12/539 27/539 108/539 3 8/539 18/539 72/539 34 () 0 3(1) z xzx eedx 34 0 (3) | xxzz ee 34 143 zz ee 即 34 00 () 1430 Z zz z Fz eez 所以Z 的概率密度函数为 34 00 () 1 2120 Z zz z fz eez 或当0z时，()0 Z fz 当0z时， ()(,) Z fzfxzxd x 34 ()
10、0 1 2 z xzx ed x 4 0 1 2| zxz ee 4 1 2(1) zz ee 所以Z 的概率密度函数为 34 00 () 1 2120 Z zz z fz eez （2）由于 343 0 ()(,)1 23 xyx X fxfxy dyedye 344 0 ()(,)1 24 xyy Y fyfxyd yed xe 则 X 与 Y 相互独立。 当0z时，()0 M Fz 当0z时， ()()(,)()() M FzP MzPXz YzPXzP Yz 34 ()()(1)(1) zz XY Fz Fzee 所以 3443 00 () 3(1)4(13)0 M zzzz z fz
11、 eeez 347 00 3470 zzz z eeez （3）当0z时，()0 N Fz 当0z时， ()()1()1(,)1()() N FzPNzPNzPXz YzPXz P Yz 347 11()1()11 zzz XY FzFzeee 所以 7 00 () 70 N z z fz ez 3设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布( 0,1)U。试求 （1）ZXY的分布函数与概率密度函数； （2）2UXY的概率密度函数。 解： （1）()()() ZXY fzfxfzx d x( 01 , 01xzx 当0z或2z时，()0 Z fz 当01z时， 0 () z Z fzdx
12、z 当12z时， 1 1 ()2 Z z fzdxz 所以， 01 ()212 0 Z zz fzzz 其 他 （2）当1u时，()0 U Fu；当2u时，()1 U Fu 当10u时， 11 2 2 0 1 ()(12) 24 yu U uu yu Fud ydxdyuu； 当01u时， 1 2 00 () yu U Fud ydx 1 (12) 4 u； 当12u时， 12 0 2 ()1 xu u U Fudxdy 2 4 u u 即2UXY的分布函数为： 2 2 01 1 (12)10 4 1 (12)01() 4 12 4 12 U u uuu uuFu u uu u 所以2UXY的
13、概率密度函数为： 1 10 22 1 01 ()() 2 112 2 0 UU u u u fuFu u u 其 它 4设 X 和 Y 相互独立，其概率密度函数分别为 101 () 0 X x fx 其 它 ， 0 () 00 y Y A ey fy y ， 求： （1）常数 A，（2）随机变量ZXY的概率密度函数。 解： （1） 由于 0 0 1()| yy Y FA ed yA eA ，所以 A = 1 （2） 随机变量ZXY的概率密度函数 ZXY fzfxfzxd x（01,0xzx） 当0Z时，0 Z fz 当01z时， () 0 1 z zx Z fzed x 0 z zx ee dx1 z e 当1z时， 1 () 0 zx Z fzed x 1 0 zx ee d x 1zz ee