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1、难题一：哥德巴赫猜想 提出者：哥德巴赫提出时间：1742 年研究进展：尚未破解 内容表述：命题A每一个大于或者等于6 的偶数，都可以 表示为两个奇素数的和。 命题 B每一个大于或者等于9 的奇数，都可以表示为三个 奇素数的和。 1742 年，德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学 家欧拉写了一封信，在信中提出了这两个问题。它是数论中的 一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。 实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确 解法，因为每个大于7 的奇数显然可以表示为一个大于4 的偶 数与 3 的和。 1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的 “三角和”方法证明了每个充分大的奇数可
2、以表示为3 个奇质 数之和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未 解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题： 每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m 、n 的两个自 然数之和，简记为 “m+n ” 。 1920 年， 挪威数学家布龙证明了 “9+9” ； 以后的 20 几年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，“ 6+6”， “5+5”，“4+4”，“1+c”，其中 c 是常数。 1956 年，中国数 学家王元证明了“ 3+4”，随后又证明了“3+3”，“2+3”。60 年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。1966 年，中国 数学家陈景润证明了“1+2”，
3、这一结果被称为“陈氏定理”， 至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉， 不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处 于领先地位。 难题二：费马大定理 提出者： 费马提出时间： 1637 年研究进展： 于 1995 年被成 功证明 内容表述： xnynzn 在 n 是大于 2 的自然数时没有正整 数解（这里 xn、yn、zn 表示 x 的 n 次方、 y 的 n 次方、 z 的 n 次方）。 在 360 多年前的某一天，当费马阅读古希腊名著算术 时，突然心血来潮在书页的空白处，写下这样一段话：“将一 个立方数分成两个立方数，一个四次幂分成两个四次幂，或者 一般地将一个高
4、於二次幂的数分成两个相同次幂，这是不可能 的。我对这个命题有一个美妙的证明，这里空白太小， 写不下。” 这个世纪数论难题由普林斯顿大学英国数学家安德鲁怀 尔斯和他的学生理查泰勒于1995 年成功证明。证明利用了很 多新的数学理论，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及 伽罗华理论和Hecke 代数等。 难题三：四色猜想 提出者： 格斯里提出时间： 1852 年研究进展： 于 1976 年被 计算机验证 内容表述：每幅地图都可以用4 种颜色着色，使得有共同 边界的国家着上不同的颜色。 四色猜想于 1852年由英国学生格斯里提出，这一猜想的证 明得益于计算机技术的发展。1976 年 6 月，美国伊
5、利诺斯大学 的数学家阿佩尔和哈肯在3 台不同的计算机上用了1200 个小 时，分析了 2000 个构形后成功证明这一猜想。它是第一个人机 合作完成的著名数学证明，在数学界、计算机界，乃至哲学界 都引起了广泛关注，引发了关于数学的本质、数学证明的意义 等问题的深入讨论。另外，四色难题的研究还对平面图理论、 代数拓扑学、有限射影几何和计算机编码程序设计等发展起到 了重要的推动作用。 难题四：女生散步问题 提出者：柯克曼提出时间：1850 年研究进展：已被破解 内容表述：某学生宿舍共有15 名女生，每天 3 人一组进行 散步，问怎样安排，才能使每位女生有机会与其他每一位女生 在同一组中散步，并恰好每
6、星期一次。 英国数学家柯克曼于1850 年提出“女生散步”问题，提出 后得到多种解答，其中较有代表性的是假定一位女生固定在某 一组，再将其他14 位女生编上号码（ 1 至 14 号），并按照一定 规律安排星期天的分组散步，则其他6 天星期 r 散步 （r=1,2,3,4,5,6）分组可按原编号与r 的数字之和安排（和数 超过 14 则减去 14）。 另外，有些数学家更将问题扩展成组合论中的难题：设有 N 个元素，每三个一组分成若干组。这些组分别组成一个系列， 现称为柯克曼序列。若每一元素与其他元素恰有一次同组的机 会，问将 N分成这种序列要满足的充分必要条件是什么，怎样 组成此序列？在女生问题
7、中，序列数为7，N=15是适合条件的 数。但 N的一般解答直到20 世纪 60 年代后才有突破。我国数 学家陆家羲对此曾作出过重要的贡献。 难题五：七桥问题 提出者：起源于普鲁士柯尼斯堡镇（今苏联加里宁格勒） 提出时间：十八世纪初研究进展：于1736 年被圆满解决 内容表述：一条河的两支流绕过一个岛，有七座桥横跨这 两支流，问一个散步者能否走过每一座桥，而每座桥却只走过 一次。 这个问题起源于18 世纪初的普鲁士柯尼斯堡镇（今苏联加 里宁格勒）。欧拉在1736 年圆满地解决了这一问题，证明这种 方法并不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史上第一篇重 要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点
8、与线组合， 每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从某点 出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数。 七桥问题引发了网络理论之研究，被认为是拓扑学理论基 本应用题，对解决最短邮路等问题很有帮助。 新闻缘起 二 00 六年六月三日， 著名数学家丘成桐在中国科学院晨兴 数学研究中心宣布，“庞加莱猜想”被证明了在美、俄 等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、 清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明了这一猜想。前有陈景 润攻坚哥德巴赫猜想，后有朱熹平、曹怀东破解庞加莱猜想， 中国的数学家在世纪难题的攻坚战上留下了自己的足迹，而数 学史上那一道道亮丽的风景，仍吸引着数学精英
9、们为之痴狂。 世界七大数学难题 2000年 5月 24日， 千年数学会议在著名的法兰西学院举行。 会上，美国克雷数学研究所公布和介绍了7 个 “千年大奖问题” 。 并邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐 述。克雷数学研究所对“千年大奖问题”的解决与获奖作了严 格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。 任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且 得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委 员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。 这 7 个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞 加莱猜想、黎曼假设、杨- 米尔斯理论、纳卫尔 - 斯托克斯方程、 贝赫和斯维讷通 - 戴尔猜想。 其中庞加莱猜想和黎曼假设是两个最大的猜想，剩余下的 难题中，很多人攻关的黎曼假设还没有看到破解的希望；引起 很多著名数学家兴趣的霍奇猜想“进展不大”；和流体有关的 纳卫尔 - 斯托克斯方程“离解决也相差很远”；P与 NP问题“没 什么进展”；杨 - 米尔理论“太难，几乎没人做”。