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1、第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 材拓展 1从函数的观点看数列 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函 数的观点、 函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题例如，类比单调函数的定义 得出单调数列的判断方法即：数列an 单调递增 ? an1an对任意n (nN *)都成立；数列 an单调递减 ? an1a11, a301. 所以，数列 an的前 30 项中最大的项是 a10，最小的项是 a9. 答案C 2了解一点周期数列的知识 类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列 an，若存在一个大于 1 的自 然数 T(T 为常数 )，使 anT
2、an，对一切nN *恒成立，则称数列 an为周期数列， T 就是它 的一个周期易知，若T 是 an的一个周期，则 kT (kN *)也是它的周期，周期最小的那个 值叫最小正周期 例如：已知数列an 中， a1a (a 为正常数 )，an1 1 an 1 (n1,2,3，, )，则下列能使 ana 的 n 的数值是 ( ) A15 B 16 C17 D 18 解析a1a，a2 1 a1 ， a3 1 a21 1 1 a11 a 1 a ， a4 1 a31 1 a1 a 1 a， a5 1 a41 1 a1，, . a4a1，a5a2，,依次类推可得：an3an， an为周期数列，周期为 3.
3、a1a，a3k1a1a. 答案B 3数列的前n 项和 Sn与 an的关系 对所有数列都有：Sna1a2, an1an，Sn1a1a2, an1 (n2)因此，当 n2 时，有：an Sn Sn1.当 n 1 时，有：a1 S1.所以an 与Sn的关系为：an S1， n1 SnSn1， n2 .注意这一关系适用于所有数列 例如：已知数列an 的前 n 项和 Sn(n1)2n1，则 an_. 解析当 n1 时， a1S1 1， 当 n2 时， anSnSn1 (n1)2 n 1(n2) 2 n11 (n1)2n(n2)2n 1 n 2n 1. 所以通项公式可以统一为an n 2n 1. 答案n
4、2n 1 4由简单的递推公式求通项公式 (1)形如 an1anf(n)，且 f(1)f(2), f(n)可求和，采用累加法求an. 即： ana1(a2 a1)(a3 a2) , (anan1) a1f(1)f(2), f(n1) a1 n1 i1f(i) (2)形如 an1f(n) an，且 f(1) f(2),f(n)可化简，采用累乘法求an. 即 ana1 a2 a1 a3 a2 , an an1a 1 f(1) f(2) , f(n1)a1 n1 i1f(i) (注：为连加求和符号，为连乘求积符号) (3)形如 an1AanB (AB0 且 A1) 设 an1xA(anx)，则： an
5、1Aan(1 A)x 由(1A)xB， x B 1A an1 B 1 AA a n B 1A an B 1AA a n1 B 1A A2an2 B 1A , An 1 a1 B 1A an B 1AA n1 a1 B 1A (1An 1) B 1AA n1a 1. 法突破 一、观察法写数列的通项公式 方法链接： 根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的 前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律根据此规律便可写出一个相应的通项公 式注意以下几点： (1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，,标在相应项上，这样便于突出第 n 项 an与项数 n 的关系，即
6、an如何用 n 表示 (2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的 构成规律， 就必须要对它进行还原工作如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分 子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试 (3)当一个数列出现“”、 “”相间时，应先把符号分离出来，即用(1) n 或(1) n 1 表示，然后再考虑各项绝对值的规律 (4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度 )， 有利于我们写出它的 通项公式 例 1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)4 5， 1 2， 4 11， 2 7，, ； (2) 1 2，2， 9
7、 2，8， 25 2 ，, ； (3)1,3,6,10,15， , ；(4)7,77,777， , ； (5)0,3,8,15,24， , ；(6)1，1 3， 1 7， 1 13， 1 21，, . 解(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为 4 5， 4 8， 4 11， 4 14，, ， 于是它们的分母相差3，因而有an 4 3n2. (2)把分母统一为2，则有： 1 2， 4 2， 9 2， 16 2 ， 25 2 ，,，因而有 an n 2 2. (3)注意 623,1025,1535，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2， 即12 2 ， 2 3 2 ，
8、34 2 ， 4 5 2 ，56 2 ，, ，因而有an n n1 2 . (4)把各项除以7，得 1,11,111，, ，再乘以9，得 9,99,999， , . 因而有 an 7 9(10 n1) (5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即 1,2 2,32,42,52，, ，则有 a nn 21. (6)显然各项的分子均为1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组 成的数列1,3,7,13,21，,，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的 项组成数列0,1,2,3,4，,，其规律也就明显了 故 an 1 n 2n1. 二、
9、数列的单调性及最值 方法链接 ：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单 调性 例 2在数列 an中， an(n1) 10 11 n (nN*) 试问数列 an的最大项是第几项？ 解方法一an(n1) 10 11 n (nN* )， an1an(n2) 10 11 n1 (n1) 10 11 n 10 11 n9n 11 . 当 n8 时， anan1， an递减，即 a10a11a12, . 又 a9a10 10 10 11 9. 数列 an的最大项是第 9 项和第 10 项 方法二令 an an11 (n2)， 即 n1 10 11 n n 10 11 n1 1.
10、 整理得 n1 n 11 10.解得 n10. 令 an an1 1， 即 n1 10 11 n n2 10 11 n11. 整理得 n1 n2 10 11，解得 n9. 所以从第 1 项到第 9 项递增，从第10 项起递减 因此数列 an先递增，后递减 a1a11a12, ，且 a9a10 10 10 11 9. 数列 an中的最大项是第 9 项和第 10 项 三、数列的周期性及运用 方法链接 ：通俗地讲， 数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有 周期性， 其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式 算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而
11、获解 例 3已知数列 an ，a11，a23， anan1an2 (n3)，那么 a2 010与 S2 009依次是 () A1,3 B 3,1 C 2,2 D 2， 2 解析anan1an2， an1anan1(an1an2)an1 an2. 由 an1 an2， an3 an. an6 an3 (an)an. an为周期数列，且周期 T6. a2 010a6 a3 a1a2 2. a1a2a3a4a5a6 (a1a4)(a2a5)(a3a6) 0000，且 2 010 是 6 的倍数， S2 0100. S2 009S2 010a2 0100a2 0100(2) 2. 答案C 四、已知前n
12、 项和 Sn，求通项an 方法链接 ：已知数列 an的前 n 项和 Sn，求 an，先由 n1 时， a1 S1，求出 a1，再由 anSnSn1 (n2)求出 an，最后验证 a1与 an能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否 则分段表示 例 4已知下列各数列an的前 n 项和 Sn的公式，求 an的通项公式 (1)Sn(1) n1 n； (2)Sn3 n2. 解(1)当 n1 时， a1S11； 当 n2 时， anSnSn1(1) n ( n)(1)n (n1) (1)n (2n1) 由于 a1也适合此等式， 因此 an(1)n (2n1) (n N * ) (2)当 n1 时， a1
13、S11； 当 n2 时， anSnSn12 3 n1. 所以 an 1n1 ， 2 3 n1 n2 . 五、由递推公式求通项an 方法链接 ：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法 需要理解 一点，对 anan1n (n2)不仅仅是一个式子而是对任意的n2 恒成立的无数个式子，正 是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为an，就是解 题的关键所在另外递推公式具有递推性，故由a1再加上递推公式可以递推到an. 例 5由下列数列 an的递推公式求数列 an的通项公式： (1)a11，anan1n (n2)； (2)a11， an an1 n 1 n (
14、n2) 解(1)由题意得，当n2 时， anan1n， an1an2n1，, ，a3 a23， a2a12. 将上述各式累加得， ana1n (n1), 32， 即 ann(n1),321n n1 2 ， 由于 a1也适合此等式 故 an n n1 2 . (2)由题意得，当n2 时， an an1 n1 n ， an1 an2 n2 n1，, ， a3 a2 2 3， a2 a1 1 2， 将上述各式累乘得， an a1 1 n，即 an 1 n. 由于 a1也适合此等式，故an 1 n. 六、数列在日常生活中的初步应用 方法链接 ：数列知识在日常生活中有着广泛的应用构建递推关系是其中重要的
15、方法之 一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值； (2)建立递推关系；(3)利用 递推关系分析解决问题其中构建递推关系是关键 例 6某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎 迎”，如图 (1)、(2)、(3)、(4)分别有 1 个、 5 个、 13 个、 25 个如果按照同样的方式接着摆 下去， 记第 n 个图需用f(n)个“福娃迎迎”，那么 f(n1)f(n)_；f(6)_. 解析f(1)1，f(2) 5，f(3)13，f(4)25，,， f(2)f(1)4，f(3)f(2)8， f(4)f(3)12， , f(n1)f(n)4n. f(6)f(
16、1)f(2) f(1) f(3)f(2) f(4)f(3)f(5) f(4) f(6)f(5) 1481216 2061. 答案4n61 区突破 1对数列的概念理解不准而致错 例 1已知数列 an 是递增数列，且对于任意的 nN * ，ann2n 恒成立，则实数 的取值范围是 _ 错解 因为 ann 2 n 是关于 n 的二次函数，且 n 1，所以 21，解得 2. 点拨 数列是以正整数N * (或它的有限子集1,2 ，,，n) 为定义域的函数，因此它的 图象只是一些孤立的点 正解 1因为 an n 2n ，其图象的对称轴为n 2，由数列 an 是单调递增数列有 21，得 2； 如图所示，当2
17、 2 21，即 3 时，数列 an 也是单调递增的 故 的取值范围为 | 2 | 3 | 3 即 3 为所求的范围 正解 2因为数列 an是单调递增数列， 所以 an1an0 (nN *)恒成立 又 ann2n (nN *)， 所以 (n1)2 (n1)(n2n)0 恒成立， 即 2n1 0. 所以 (2n1) (n N*)恒成立 而 nN *时， (2n1)的最大值为 3(n1 时 )， 所以 3 即为所求的范围 2对公式使用条件考虑不周而致错 例 2已知数列 an 的前 n 项和为 Sn3n2n 1，求 an. 错解 anSnSn1(3 n 2n1)3n12(n1)12 3n12. 点拨
18、公式 an a1 n 1 SnSn1n2 是分段的，因为n1 时， Sn1无意义在上述解 答中，应加上限制条件n2，然后验证n1 时的值是否适合n2 时的表达式 正解 a1S16； n2 时， an SnSn1(3 n2n 1) 3n12(n1)12 3n12. 由于 a1不适合此式，所以an 6n1 23 n12 n2 . 题多解 例设an是首项为 1 的正项数列且(n1)a 2 n1na 2 n an1 an0 (nN *)，求 a n. 分析先求出相邻两项an1与 an的关系，再选择适当的方法求an. 解方法一(累乘法 ) 由(n1)a2 n1na 2 n an1an0. 得(an1an
19、)(nan1nanan1)0. 由于 an1an0， (n1)an1nan 0. an1 an n n 1. ana1 a2 a1 a3 a2 , an an1 11 2 2 3 3 4, n1 n 1 n. 方法二(换元法 ) 由已知得 (n1)an1nan0， 设 bnnan，则 bn1bn0. bn是常数列 bnb11a11，即 nan 1. an 1 n. 题赏析 1 (2009 北京 )已知数列 an满足：a4n31， a4n1 0， a2nan， nN *， 则 a 2 009_， a2 014_. 解析a2 009 a450331，a2 014a1 007a252410. 答案10 赏析题目小而灵活，考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力 2(2009 湖北八市调研)由 1,3,5， , ， 2n1， , 构成数列an，数列 bn满足 b12， 当 n2 时， bnabn1，则 b6的值是 () A9 B17 C33 D65 解析bnabn1， b2ab1 a23， b3ab2a3 5，b4ab3a59， b5ab4a9 17，b6ab5 a1733. 答案C赏析题目新颖别致，考查了对新情境题目的审题能力