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1、3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 材拓展 1二元一次不等式(组)表示平面区域 (1)直角坐标平面内的一条直线AxByC 0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧 的点集和直线上的点集 (2)若点P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)在直线l：AxByC0 的同侧 (或异侧 )，则 Ax1By1 C 与 Ax2 By2C 同号 (或异号 ) (3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是 各个不等式所表示的平面区域的公共部分 2画二元一次不等式表示的平面区域常 采用 “直线定界，特殊点定域”的方法 (1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线
2、；含有等号，把直线画成实线 (2)特殊点定域，即在直线AxBy C 0 的某一侧取一个特殊点(x0， y0)作为测试点代 入不等式检验， 若满足不等式， 则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的 另一侧特别地，当C0 时，常把原点作为测试点当C0 时，常把点 (1,0)或点 (0,1)作 为测试点 3补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法 先证一个结论 已知点 P(x1，y1)不在直线 l：AxByC0 (B0)上，证明： (1)P 在 l 上方的充要条件是B(Ax1By1C)0； (2)P 在 l 下方的充要条件是B(Ax1By1C) A Bx1 C B .(*) B20，
3、 两端乘以B2，(*) 等价于 B2y1(Ax1C)B， 即 B(Ax1By1 C)0. (2)同理，由点P 在 l 下方， 可得 y10， P 在 l 下方 ? B(Ax1By1 C)0 时，二元一次不等式AxByC0 表示直线AxByC0 上方的平面区域(不 包括直线 )，而 AxBy C0 表示直线AxByC0 下方的区域 (不包括 直线 )，而二元一次不等式AxByC0 时， AxC0 表示直线AxC0 右方的平面区域(不包括直线 )，Ax C0 表示直线AxC0 左方的平面区域(不包括直线 )，Ax C0,3xy30，xy113，故 Smax14. 温馨点评求最优整数解时，要结合可行
4、域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解. 题多解 例某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60 元、70 元的单片软件 和盒装磁盘根据需要，软件至少买3 片，磁盘至少买2 盒，则不同的选购方式共有() A5 种B6 种C7 种D8 种 解析方法一由题意知， 按买磁盘盒数多少可分三类：买 4 盒磁盘时， 只有 1 种选购 方式； 买 3 盒磁盘时， 有买 3 片或 4片软件两种选购方式；买 2 盒磁盘时， 可买 3 片、4 片、 5 片或 6 片软件，有4 种选购方式，故共有12 47(种)不同的选购方式 方法二先买软件3 片，磁盘 2 盒，共需 320 元，还有 180 元
5、可用，按不再买磁盘，再 买 1 盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C. 方法三设购买软件x 片，磁盘y 盒 则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示 落在阴影部分(含边界 )区域的整点有(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共 7 个整点 答案C 题赏析 1(2011 浙江 )设实数 x，y 满足不等式组x2y50，xy70，x0，y 0， 且 x，y 为整数，则3x4y 的最小值是 () A14 B 16 C17 D 19 解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1) 符合条件，故3x4y 的最小值是34 4116. 答案B 2(2009 烟台调研 )若 x，y 满足约束条件xy xyxy2 ，目标函数z ax2y 仅在点 (1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是() A(1,2) B( 4,2) C(4,0 D(2,4) 解析 作出可行域如图所示，直线ax2yz 仅在点 (1,0)处取得最小值，由图象可知1 a 2 2， 即 4a2. 答案B 赏析本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合