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1、本章回顾 识结构 点回放 1三角形中的边角关系 设 ABC 中，边 a， b，c 的对角分别为A，B，C. (1)三角形内角和定理 ABC. (2)三角形中的诱导公式 sin(AB)sin C，cos(AB) cos C， tan(AB) tan C， sin AB 2 cos C 2 ，cos AB 2 sin C 2 ， tan AB 2 cot C 2 . (3)三角形中的边角关系 ab? A B； ab? AB； abc，bca， cab. (4)三角形中几个常用结论 在 ABC 中， abcos C ccos B(其余两个略 )； 在 ABC 中， sin Asin B? AB； 在
2、 ABC 中， tan Atan B tan Ctan Atan Btan C. 2正弦定理 (1)正弦定理 在 ABC 中，角 A，B， C 的对边边长分别为a，b，c， 则 a sin A b sin B c sin C2R. 其中 R 是 ABC 外接圆半径 (2)正弦定理的变形公式 正弦定理反映了三角形的边角关系它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； sin A a 2R ，sin B b 2R，sin C c 2R； sin Asin Bsin Cabc； sin A sin B a b， sin B sin C b c， si
3、n C sin A c a. 3余弦定理 (1)余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍，即 a 2b2c2 2bccos A； b 2a2c2 2accos B； c 2a2b2 2abcos C. (2)余弦定理的推论 cos A b 2c2a2 2bc ； cos B a 2c2b2 2ac ； cos C a 2b2c2 2ab . 4三角形的面积 三角形面积公式 S1 2ah a 1 2bh b 1 2ch c； S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A； S1 2(abc)r (r 为 ABC 内切圆半径 )
4、； Sabc 4R (R 为 ABC 外接圆半径 )； Sp pa pb pc 其中 p 1 2 abc. 5解三角形的常见类型及解法 在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按 已知条件可分为以下几种情况： 已知条件应用定理一般解法 一边和两角 (如 a，B，C) 正弦定理 由 ABC180 ，求角 A；由正 弦定理求出b 与 c.在有解时只有一 解 两边和夹角 (如 a，b，C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦定 理求出小边所对的角；再由AB C180 求出另一角在有解时 只有一解 三边 (a，b， c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B
5、；再利用 A BC 180 ， 求出角 C.在有解时 只有一解 两边和其中 一边的对角 (如 a， b，A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角B；由 ABC 180 ，求出角C；再利用正弦定 理或余弦定理求c.可有两解，一解 或无解 . 6已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断 在 ABC 中，以已知a，b， A 为例 判断方法如下表： A 为锐角 图形 关系式a bsin A bsin Ab ab ab ab 解个数一解无解一解无解 想方法 一、构建方程(组)解三角问题 例 1 如图所示，设P 是正方形 ABCD 内部的一点， P 到顶点 A、B、C 的距离分别是1,2,3， 求正方
6、形的边长 解设边长为x，x0， 在 ABP 中， cosABP x 22212 4x x 2 3 4x ， 在 CBP 中， cosCBPx 22232 4x x 25 4x ， 又 cos 2ABPcos2CBP1， x 23 4x 2 x 25 4x 21. x 252 2或 x 252 2.所以， x5 2 2， 即正方形的边长为5 2 2. 例 2 如图所示， 测量人员沿直线MNP 的方向测量， 测得塔尖 A 处的仰角分别是AMB30 ， ANB45 ， APB60 ，且 MNPN500 m，求塔高AB. 分析设 ABh， 则 MB， NB， PB 都可用 h 来表示，在底面 BMP
7、中，MNPN500 m， 借助 MNB 与MPB，利用公共角PMB，结合余弦定理的推论得出方程可求解 解设 AB h，ABMB，ABNB，ABPB， 又 AMB30 ，ANB45 ，APB 60 ， MB3h，NBh，PB 3 3 h. 在 MPB 中， cosPMB MP 2MB2BP2 2MP MB 1 000 2 3h21 3h 2 2 1 0003h . 在 MNB 中， cosNMB MN 2MB2BN2 2MN MB 500 23h2h2 25003h . 1 000 28 3h 2 2 000 3h 500 2 2h2 1 0003h . 整理，得h250 6. 塔高 AB 为
8、2506 m. 二、构建目标函数解三角问题 例 3如图所示，已知O 的半径是1，点 C 在直径 AB 的延长线上，BC 1，点 P 是 O 上半圆上的一个动点，以 PC 为边作等边三角形PCD，且点 D 与圆心分别在PC 的两侧 (1)若 POB ，试将四边形OPDC 的面积 y 表示为关于 的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值 分析四边形OPDC 可以分成 OPC 与 PCD.SOPC可用 1 2OP OC sin 表示；而求 PCD 的面积关键在于求出边长PC，在 POC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的 获得，则可通过三角函数知识解决 解(1)在POC 中，由余弦定理，
9、得 PC2OP 2OC22OP OC cos 54cos ， 所以 y SOPCSPCD 1 212sin 3 4 (54cos )2sin 3 53 4 . (2)当 3 2，即 5 6 时， ymax2 5 3 4 . 答四边形 OPDC 面积的最大值为2 5 3 4 . 例 4甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20 海里的 B 处，乙船以每小时10 海里 的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8 海里的速度由A 处向北偏西60 方向行驶， 问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？ 分析利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间t 的目标函数，注意到t2时，乙 到达 A 处，此时，甲地
10、、乙地、A 地三处构不成三角形，要注意分类讨论如下图所示： 解设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P、Q 两处，因乙船到达A 处需 2 小时 当 0 t2 时，在 APQ 中， AP8t，AQ 2010t， 所以 PQAQ 2AP2 2AP AQcos 120 2010t 2 8t22 2010t 8t 1 2 84t2240t 400221t260t 100. 当 t2 时，在 APQ 中， AP8t，AQ10t20， PQAQ 2AP22AQ APcos 60 221t260t 100. 综合 知， PQ221t260t100 (t0) 当且仅当t 30 21 10 7 时， PQ
11、 最小 答甲、乙两船行驶 10 7 小时后，相距最近 三、利用等价转化思想解三角问题 例 5在 ABC 中，已知 sin 2Asin2Bsin2C sin 2Asin2Bsin2C 1cos 2C 1cos 2B，求证： ABC 是等腰三角形 或直角三角形 分析从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定ABC 为等腰三角形或 直角三角形两种情况因此，应综合应用正、余弦定理，先进行化简，再讨论 证明应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为： a 2b2c2 a 2b2c22cos 2C 2cos 2B， 再由余弦定理将其变形为： 2abcos C 2accos B cos 2C cos
12、 2B， 整理得 cos C cos B b c cos C cos B 0.cos C cos B 0 或 b c cos C cos B0， 若 cos C cos B0，则 C90 ； 若 b c cos C cos B0，依据正弦定理得 sin B sin C cos C cos B， 即 sin Bcos Bsin Ccos C所以 sin 2B sin 2C. 所以 2B2C 或 2B2C180 ，即 BC 或 BC90 . 综上所述， ABC 是等腰三角形或直角三角形 例 6在 ABC 中，角 A，B，C 所对的三边长分别为a，b，c，若 a 3b3c3 abc c 2，a 4
13、3，B45 ，求 ABC 的面积 分析解决本题的突破口是由 a 3b3c3 a bc c2联想到余弦定理，这就需要降次， 自然就得 进行等式的变形变形后自然容易发现它与余弦定理的关系，进而应用余弦定理解决问题 解因为 a 3b3c3 abc c2， 所以变形得 (ab)(a2b2c2ab)0. 因为 a b0，所以 a 2b2c2ab0，即 a2b2 c2 ab. 根据余弦定理的推论得cos Ca 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2. 又因为 0 0，y0，z0，求证： x 2xyy2 y2yz z 2 z 2zxx2. 证明 如图所示，构造四面体VABC， 使 AVBBVC CVA60 ， 且 VAx，VBy，VCz， 由余弦定理得 ABx 2y22xycos 60 x2xy y2 同理， BCy2yzz2，CAz 2zxx2， 在 ABC 中，由于AB BCCA， 故有：x2xyy2y2yzz 2 z 2zxx2.