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1、4.2.2 圆与圆的位置关系 一、教材分析 本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解 决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前 面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来 解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方 法.因此 ,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代 数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆 锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自
2、觉性和主动性,自主学习和探 究学习能力 ,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与 思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习 的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来 自主研究圆与圆的位置关系. 二、教学目标 1知识与技能 （1）理解圆与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系. 2过程与方法 设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 l r1+r2时，圆 C1与圆 C2相离；
3、 （2）当 l = r1+r2时，圆 C1与圆 C2外切； （3）当 |r1r2|lr1+r2时，圆 C1与圆 C2相交； （4）当 l = |r1 r2|时，圆 C1与圆 C2内切； （5）当 l|r1 r2|时，圆 C1与圆 C2内含 . 3情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想. 三、教学重点与难点 教学重点： 求弦长问题 ,判断圆和圆的位置关系. 教学难点： 判断圆和圆的位置关系. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.平面几何中 ,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系 呢？ 判断两圆的位置关系
4、的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步： 计算两圆的圆心距O1O2,即 d；第三步：根据 d 与 R,r 之间的关系 ,判断两圆的位置关系. 两圆的位置关系： 外离外切相交内切内含 dR+r d=R+r |R-r|dR+r d=|R-r| d|R-r| 在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂 课研究的课题 ,教师板书课题圆与圆的位置关系. 思路 2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么 ,圆与圆的位置关 系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系. （二）推进新课、新知探究、提出问
5、题 初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？ 判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？ 你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？ 根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为 数学语言呢？ 如何判断两个圆的位置关系呢？ 若将两个圆的方程相减,你发现了什么？ 两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？ 活动： 教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互 相交流 .教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自 己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自
6、己的解题方法.教师应该关注并发现有多少 学生利用 “ 图形 ” 求解 ,对这些学生应该给予表扬.同时强调 ,解析几何是一门数与形结合的学 科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆 心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题 的方法 ,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径. 讨论结果： 初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相 交、内切、内含. 判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学 过的几何法 ,利用圆心距与两圆半径
7、的和与差之间的关系判断. 略 . 根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与 两圆半径 (r,R)的和与差之间的关系. 判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线 长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据 有以下几点： 1 当 dR+r 时,圆 C1与圆 C2外离； 2 当 d=R+r 时 ,圆 C1与圆 C2外切； 3 当|R-r|d R+r 时,圆 C1与圆 C2相交； 4 当 d=|R-r|时,圆 C1与圆 C2内切； 5 当 d|R-r|时,圆 C1与圆 C2内含； 二是看
8、两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方 程组 .若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相 切；若无实数解,两圆相离 . 总结比较两种方法的优缺点. 几何方法：直观,容易理解 ,但不能求出交点坐标. 代数方法： 1 只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无 交点时不能判断内含还是外离). 2 优点是可以求出公共点. 若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所 以它是相交两圆的公共弦的方程. 两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点
9、的判 定问题 .由点到直线的距离公式来判断. （三）应用示例 思路 1 例 1 已知圆 C1： x2+y 2+2x+8y-8=0, 圆 C 2：x 2+y2-4x-4y-2=0, 判断两圆的位置关系 . 活动 :学生思考交流,教师引导提示 ,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用 . 方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差 之间的关系判断. 解:方法一 :圆 C1与圆 C2的方程联立得到方程组 )2(.0244 )1 (,0882 22 22 yxyx yxyx -得 x+2y-1=0, 由得 y= 2 1x ,把上式代入 并整理得x 2-2x
10、-3=0. 方程的判别式=(-2)2-4 1 (-3)=16 0,所以方程 有两个不等的实数根 ,即圆C1与圆 C2相交 . 方 法 二 : 把 圆C1:x 2+y2+2x+8y-8=0, 圆 C2:x 2+y2-4x-4y-2=0, 化 为 标 准 方 程 , 得 (x+1) 2+(y+4)2=25 与(x-2)2+(y-2)2=10. 圆 C1的圆心是点 (-1,-4),半径长 r1=5; 圆 C2的圆心是点 (2,2),半径长 r2= 10. 圆 C1与圆 C2的连心线的长为 22 )24()21(=35,圆 C1与圆 C2的半径长之 和为 r1+r2=5+10, 半径长之差为r1-r2
11、=5- 10. 而 5-10355+10,即 r1-r235r1+r2, 所以圆 C1与圆 C2相交 ,它们有两个公共点A、 B. 点评 :判断两圆的位置关系,一般情况下 ,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观. 变式训练 判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程. (1)(x+2) 2+(y-2)2=1 与(x-2)2 +(y-5) 2=16, (2)x 2 +y 2+6x-7=0 与 x2+y2+6y-27=0. 解 :(1) 根 据 题 意 , 得 两 圆 的 半 径 分 别 为r1=1 和r2=4, 两 圆 的 圆 心 距 d= 22 )25()2(2=5. 因为
12、 d=r1+r2,所以两圆外切 . (2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3) 2+y2=16,x2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为r1=4 和 r2=6, 两圆的圆心距d=23)03()30( 22 . 因为 |r1-r2|dr1+r2,所以两圆相交 . 例 2 已知圆C1:x 2+y2 +2x-6y+1=0, 圆 C2:x 2+y2-4x+2y-11=0, 求两圆的公共弦所在的直线方程 及公共弦长 . 活动： 学生审题 ,思考并交流 ,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时 满足两个圆方程,联立方程组 ,消去 x 2 项、 y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方
13、程,利用勾 股定理可求出两圆公共弦长. 解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 A、B 两点坐标满足方程组 )2(.01124 )1(, 0162 22 22 yxyx yxyx -,得 3x-4y+6=0. 因为 A、B 两点坐标都满足此方程,所以 3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆 C1的圆心 (-1,3),半径 r=3. 又点 C1到直线的距离为d= 22 )4(3 |63431| = 5 9 . 所以 AB=2 5 24 ) 5 9 (32 2222 dr,即两圆的公共弦长为 5 24 . 点评 :处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,
14、要注意体会和应用. 思路 2 例 1 求过点 A(0,6) 且与圆 C:x 2+y2 +10x+10y=0 切于原点的圆的方程. 图 1 活动 :学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理 ,如图 1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确 定圆的方程 . 解:将圆 C 化为标准方程,得(x+5) 2+(y+5)2=50, 则圆心为 C(-5,-5), 半径为 52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0. 设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2. 由题意 ,知 O(0,0),A(0,6) 在此圆上 ,
15、且圆心 M(a,b) 在直线 x-y=0 上,则有 ,0 ,)6()0( ,)0()0( 222 222 ba rba rba 解得 .23 , 3 , 3 r b a 于是所求圆的方程是(x-3) 2 +(y-3) 2=18. 点评 :求圆的方程 ,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更 恰当 ,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单. 例 2 已知 O 方程为 x 2+y2=4,定点 A(4,0), 求过点 A 且和O 相切的动圆圆心的轨迹方程 . 活动： 教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切 ,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切 , 连心线长等
16、于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个 几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程. 解法一： 设动圆圆心为P(x,y), 因为动圆过定点A,所以 |PA|即为动圆半径. 当动圆 P 与O 外切时 ,|PO|=|PA|+2； 当动圆 P 与O 内切时 ,|PO|=|PA|2. 综合这两种情况,得|PO|PA|=2. 将此关系式坐标化,得 | 2222 )4(yxyx |=2. 化简可得 (x 2)2 3 2 y =1. 解法二： 由解法一可得动点P 满足几何关系 |OP|PA|=2, 即 P 点到两定点O、A 的距离差的绝对值为定值2,所以 P 点轨迹是以O、A 为焦点 ,2 为 实 轴 长 的 双 曲 线 , 中 心 在OA中 点 (2,0), 实 半 轴 长a=1, 半 焦 距c=2, 虚 半 轴 长 b=3 22 ac,所以轨迹方程为(x2) 2 3 2 y =1. 点评： 解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆 ,要综合平面几何知识、 解析几何、 代数知识 ,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意 平面几何的知识运用. （四）知能训练 课堂练习 P141练习题 （五）课堂小结 本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法. （六）作业 习题 4.2 A 组 8、9、10、11.