北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《数列》(理)及答案.pdf

《北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《数列》(理)及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《数列》(理)及答案.pdf（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、选择、填空题 1、（ 2015 年北京高考）设 n a是等差数列 . 下列结论中正确的是 A. 若0 21 aa，则0 32 aaB.若0 31 aa，则0 21 aa C. 若 21 0aa，则 312 aaaD.若0 1 a，则0)( 3212 aaaa 2、（ 2014 年北京高考）若等差数列 n a满足 789 0aaa， 710 0aa，则当n_时， n a的前n项和最大 . 3、（ 2013 年北京高考）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n 项和S n_. 4、（朝阳区 2015届高三一模）设S

2、 n为等差数列的前n 项和。若，则 通项公式。 5、 （东城区2015 届高三二模） 已知 n a为各项都是正数的等比数列，若 48 4aa，则 567 a a a （ A）4（B）8 （ C）16（D）64 6、（丰台区2015 届高三一模）在等比数列 n a中， 34 4aa， 2 2a，则公比q等于 (A) -2 (B) 1或-2 (C) 1 (D)1 或 2 7、（海淀区2015 届高三二模）若等比数列 n a满足 26 64a a ，34 32a a ，则公比 q_； 222 12n aaa 8、（石景山区2015 届高三一模）等差数列 n a中， 11 , mk aa km ()m

3、k，则该数列前mk项 之和为（） A1 2 mk B 2 mk C 1 2 mk D1 2 mk 9、（西城区 2015届高三一模） 若数列an满足a1 2， 且对于任意的m, nN ， 都有 m nmn aaa, 则 3 a an前10 项的和S10 . 10、（大兴区2015 届高三上学期期末）已知数列 n a为等差数列，若 13 4aa， 24 10aa，则 n a的前n项和 n S_ 11、 （丰台区2015 届高三上学期期末）等差数列 n a的前n项和为 n S，如果 1 2a， 35 22aa， 那么 3 S等于 _ 12、（北京四中2015 届高三上学期期中）在等差数列 n a中

4、，已知 48 16aa，则该数列前11 项和 11 S . 13、（东城区示范校2015 届高三上学期综合能力测试）数列 n a的前n项和记为 n S，若 02, 2 1 11nn Saa， . ,2, 1n，则数列 n a的通项公式为 n a_ 14、（东城区 2015 届高三 4 月综合练习（一） 设等差数列 n a的前n项和为 n S， 若 2 8S， 4 12S， 则 n a的公差d 15、（）已知,4,mn是等差数列，那么( 2)( 2) mn =_；mn的最大值为 _ 二、解答题 1 、 （2015年 北京 高考） 已知数 列 na满足： * 1aN，361a，且 18,362 1

5、8,2 . 1 nn nn n aa aa a2, 1n 记集合NnaM n （）若6 1 a，写出集合M 的所有元素； （）若集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （）求集合M 的元素个数的最大值 2、（ 2014 年北京高考）对于数对序列 1122 (,),(,),(,) nn P a ba ba b，记 111 ( )T Pab， 112 ( )max( ),(2) kkkk TPbTPaaakn，其中 112 max(), kk TPaaa表示 1( )k TP 和 12k aaa两个数中最大的数， （1）对于数对序列(2,5),(4,1)PP，求 12

6、 (),()T P TP的值 . （2）记m为, , ,a b c d四 个 数 中 最 小 值 ， 对 于 由 两 个 数 对( , ),( , )a bc d组 成 的 数 对 序 列 ( , ),( , )P a bc d和( , ),( , )P a bc d， 试分别对ma和md的两种情况比较 2( )TP和 2( )TP的大 小. （3）在由5 个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序 列P使 5( )T P最小，并写出 5( ) TP的值 . （只需写出结论）. 3、（2013 年北京高考）已知an是由非负整数

7、组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第 n项之后各项an1，an2，, 的最小值记为Bn，dnAnBn. (1) 若an为 2,1,4,3,2,1,4,3，, ，是一个周期为4 的数列 ( 即对任意nN * ，an4an) ，写出 d1，d2，d3，d4的值； (2) 设d是非负整数， 证明：dnd(n 1,2,3 ，,) 的充分必要条件为an是公差为d的等差数 列； (3) 证明：若a12，dn1(n1,2,3 ，,) ，则an 的项只能是1 或者 2，且有无穷多项为1. 4、 （朝阳区 2015届高三一模） 若数列中不超过f (m) 的项数恰为b m(mN* )，则称数列 是数列

8、的生成数列，称相应的函数f (m) 是生成的控制函数。设f (m) = m 2。 （1）若数列单调递增，且所有项都是自然数，b1 =1，求a1； （2）若数列单调递增，且所有项都是自然数，a 1= b1，求a1； （3）若an= 2 n (n =1 ， 2 ，3 ) ，是否存在生成的控制函数g(n) = pn 2 + qn + r （其中常数p，q，rZ），使得数列也是数列 m b 的生成数列？若存在，求出g (n) ； 若不存在，说明理 5、（东城区 2015届高三二模）已知数列 n a的前n项和为 n S， 且满足 1 (3)aa a， n nn Sa3 1 ， 设 n nn Sb3 ，n

9、N ( ) 求证：数列 n b是等比数列； ( ) 若 1nn aa ，n N ，求实数a的最小值； （）当4a时，给出一个新数列 n e，其中 3 ,1, ,2. n n n e bn 设这个新数列的前n项和为 n C， 若 n C可以写成 p t (, t pN且1, 1 pt) 的形式，则称 n C为“指数型和”问 n C中的 项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由 6、（房山区2015 届高三一模）下表给出一个“等差数阵”： 4 7 （）（）（）,ja1, 7 12 （）（）（）,j a2 , （）（）（）（）（）,ja3, （）（）（）（）（）,

10、j a4, , 1i a 2i a 3i a 4i a 5i a, ij a , , 其中每行、每列都是等差数列， ij a表示位于第i行第j列的数 . （ I ）写出 45 a的值； （ II ）写出 ij a的计算公式； （ III）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是21N可以分解成两个不是1的正整数 之积 7、 （丰台区 2015 届高三一模） 如果数列A： 1 a， 2 a，, ， m a(Zm，且3)m，满足： Z i a， 22 i mm a(1,2,)im； 12 1 m aaa，那么称数列A为“ ”数列 （）已知数列M： -2 ，1， 3，-1 ；数列N：0，1，0，-1

11、 ，1试判断数列M ，N是否为 “ ”数列； （）是否存在一个等差数列是“”数列？请证明你的结论； （）如果数列A是“ ”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0 8、（海淀区2015 届高三二模）对于数列 12 :, n A a aaL，经过变换:T交换A中某相邻两段的位置 （数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列()T A. 例如，数列:A 1111 , iiipipip qipqn MN aa aaaaaaL 1 444 4 2 444 4 3 1444442444443 （1p，1q） 经交换,M N两段位置，变换为数列():T A 1111 , iipip qiipipqn

12、 NM aa aaaaaaL 1 4444424444431444 4 2 444 4 3 . 设 0 A是有穷数列，令 1 ()(0,1,2,) kk AT AkL. （）如果数列 0 A为3,2,1，且 2 A为1,2,3. 写出数列 1 A；（写出一个即可） （）如果数列 0 A为9,8,7,6,5,4,3,2,1， 1 A为5,4,9,8,7,6,3,2,1， 2 A为5,6,3,4,9,8,7,2,1， 5 A 为1,2,3,4,5,6,7,8,9. 写出数列 34 ,AA；（写出一组即可） （）如果数列 0 A为等差数列：2015,2014,1L， n A为等差数列：1,2,201

13、5L，求n的最小值 . 9、（石景山区2015 届高三一模）设数列 n a满足： 1 1a； 所有项*Nan ； 121 1 nn aaaa 设集合,* mn An|am mN，将集合 m A中的元素的最大值记为 m b，即 m b是数列 n a中满 足不等式 n am的所有项的项数的最大值我们称数列 n b为数 n a的伴随数列例如，数列1， 3，5 的伴随数列为1，1，2，2，3 ( ) 若数列 n a的伴随数列为1，1，1，2， 2，2，3，请写出数列 n a； ( ) 设 1 3 n n a，求数列 n a的伴随数列 n b的前 30 项之和； ( ) 若数列 n a的前n项和 2 n

14、 Snc（其中c常数），求数列 n a的伴随数列 m b 的前m项和 m T 10、 （西城区 2015届高三一模） 已知点列 (kN*，k2)满足P 1（1，1），中有且只有 一个成立 写出满足k = 4 且P 4（1，1）的所有点列； 证明：对于任意给定的k (kN*，k2)，不存在点列T ，使得； 当k = 2n -1且时，求的最大值 11、（朝阳区2015 届高三上学期期末）若有穷数列 1 a， 2 a， 3, , m aa（m是正整数）满足条件： 1( 1,2,3,) im i aaim，则称其为 “对称数列” 例如， 1 ,2, 3,2, 1和1 ,2,3 ,3 ,2, 1都是“对

15、称数列” （）若 n b是 25 项的“对称数列” ，且, 13 b, 14 b 15, b， 25 b是首项为1，公比为 2 的等比数列 求 n b的所有项和S； （）若 n c是 50 项的“对称数列” ，且, 26 c, 27 c 28, c， 50 c是首项为1， 公差为 2 的等差数列 求 n c的前n项和 n S，150,nnN. 12、（东城区2015 届高三上学期期末）已知数列 n a是等差数列，满足 2 3a， 5 6a，数列 2 nn ba是公比为3等比数列，且 22 29ba （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）求数列 n b的前n项和 n S 13、（北京四中

16、2015 届高三上学期期中）已知数列 n a满足： 1 1a， 1 221,N nn aan. 数 列 n b的前n项和为 n S， 2 1 9,N 3 n n Sn . （）求数列 n a， n b的通项公式； （）设 nnn cab，Nn. 求数列 n c的前n项和 n T. 14、（东城区示范校2015 届高三上学期综合能力测试）给定正奇数5nn，数列 n a： n aaa, . , 21 是1 ， 2 ， ,，n的 一 个 排 列 ， 定 义E （ 21, a a， ,， n a） | . |2|1| 21 naaa n 为数列 n a： 1 a， 2 a， , ， n a的位差和。

17、（ I ）当5n时，求数列 n a：1，3，4，2，5 的位差和； （ II ）若位差和E（ 1 a， 2 a， , ， n a）=4，求满足条件的数列 n a： 1 a， 2 a， , ， n a的个 数； （ III）若位差和 2 1 , . , 2 21 n aaaE n ，求满足条件的数列 n a： n aaa, . , 21 的个 数。 15、（北京市朝阳区2015 届高三第二次综合练习）已知数列， 是正整数1，2， 3，n 的一个全排列若对每个都有或 3，则 称为 H数列 （）写出满足的所有 H数列； （）写出一个满足的数列的通项公式； （）在 H数列中，记若数列是公差为d 的等差

18、数列，求 证：或 参考答案 一、选择、填空题 1、C 解析：0d 22 22231 dadadaaa 312 22 2 2 2 aaadaa 2、8 由等差数列的性质， 7898 3aaaa ，7 1089 aaaa ， 于是有 8 0a， 89 0aa ， 故 9 0a 故 87 SS ， 98 SS ， 8 S 为 n a的前 n 项和 n S 中的最大值 3、答案： 2 2 n12 解析： 由题意知 35 24 40 2 20 aa q aa . 由a2a4a2(1q 2) a1q(1 q 2) 20， a12. Sn 2 12 12 n 2 n12. 4、答案： 5、B 6、B 7、

19、2， 41 3 n 8、 C 9、答案 ： 8，682 10、 2 35 22 nn11、15 12、88 13、 2, 2 1 , 1, 2 1 n n a n n 14、 1 15、16,16 二、解答题 1、解析 : （）6，12，24 （）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设 k a是3的倍数 由 18,362 ,18,2 1 nn nn n aa aa a可归纳证明对任意kn， n a是3的倍数 如果1k，则M的所有元素都是3的倍数 如果1k， 因为 1 2 kk aa或362 1kk aa， 所以 1 2 k a是3的倍数， 于是 1k a是3的倍数 类 似可得， 12 ,

20、aak 都是3的倍数从而对任意1n， n a是3的倍数因此集合M的所有元素 都是3的倍数 综上，若集合 M 存在一个元素是 3的倍数，则集合M 的所有元素都是 3的倍数 （）由36 1 a， 18,362 ,18,2 11 11 nn nn n aa aa a可归纳证明), 3, 2(36 nan 因为 1 a是正整数， 18,362 ,18,2 11 11 2 aa aa a所以 2 a是2的倍数 从而当3n时， n a是2的倍数 如果 1 a是3的倍数，由（）知对所有正整数n， n a是3的倍数 因此当3n时，36,24,12 n a这时M的元素的个数不超过5 如果 1 a不是3的倍数，由

21、（）知对所有正整数n， n a不是3的倍数 因此当3n时，32,28,20,16, 8,4 n a这时M的元素的个数不超过8 当1 1 a时，32,28,20,16,8 ,4,2, 1M共8个元素 综上可知， 集合M元素个数的最大值为8 2、 1 257TP, 21 1max241max 768TPTP ; 当 ma时： 1TPab ，2maxmaxTPdabacadbc ； 1 TPcd ， 2 maxmaxTPbcdcabcadbcd ； 因为 a是 abc d 中最小的数，所以maxab cbc，从而 22 TPTP； 当md时， 1 TPab ， 2 maxmaxTPdabacadbc

22、 ； 1 TPcd ， 2 maxmaxTPbcdcabcadabc ； 因为d是 abc d 中最小的数，所以maxdbcbc，从而 22 TPTP。 综上，这两种情况下都有 22TPTP。 数列序列:P4,6， 11,11 ， 16,11 ， 11,8 ，5,2的 5 TP 的值最小； 110TP，226TP，342TP，450TP，552TP. 3、解： (1)d1d21，d3d43. (2)( 充分性 ) 因为 an是公差为d的等差数列，且d0， 所以a1a2, an,. 因此Anan，Bnan 1，dnanan1d(n1,2,3 ，,) ( 必要性 ) 因为dnd0(n1,2,3 ，

23、,) ， 所以AnBndnBn. 又因为anAn，an1Bn，所以anan1. 于是，Anan，Bnan1， 因此an1anBnAndnd， 即 an 是公差为d的等差数列 (3) 因为a12，d1 1， 所以A1a12，B1A1d11. 故对任意n1，anB11. 假设 an(n2)中存在大于2 的项 设m为满足am 2 的最小正整数， 则m2，并且对任意1km，ak2. 又因为a12，所以Am1 2，且Amam2. 于是，BmAmdm211，Bm 1minam，Bm2. 故dm1Am1Bm1220，与dm 11 矛盾 所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an的各项只能为1 或 2. 因

24、为对任意n1，an2a1， 所以An2. 故BnAndn211. 因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列 an 有无穷多项为1. 4、 5、解： ( ) 因为 11 11 32332 nnn nnnn bSSb，nN，且3a， 所以 n b是首项为3a，公比为2等比数列 所以 1 2)3( n n ab,4 分 ( ) 由( ) 可得 1 2)3(3 nn n aS， 1, 2, nnn aSSnnN 12 ,1 2 3(3) 2,2 nnn an a an 因为 nn aa 1 ， 所以9a，且3a 所以a的最小值为9,9 分 （）由 ( ) 当4a时， 1 2 n n b

25、当2n时， 1 3242 n n C12 n ，3 1 C， 所以对正整数n都有12n n C 由12 np t， np t21，(, t pN且1,1 pt) ，t只能是不小于3 的奇数 当p为偶数时， n pp p ttt2) 1)(1(1 22 ， 因为1 2 p t和1 2 p t都是大于 1 的正整数， 所以存在正整数hg,，使得 g p t21 2 ， h p t21 2 ， 222 hg ,2) 12(2 hgh ，所以22h且112 hg 2, 1 gh， 相应的3n，即有 2 3 3C， 3 C为“指数型和”； 当p为奇数时，)1)(1(1 12pp ttttt， 由于 12

26、 1 p ttt是p个奇数之和，仍为奇数，又1t为正偶数， 所以 np tttt2)1)(1( 12 不成立， 此时没有“指数型和”,14 分 6、（ I ）解：a45=49. ,3 分 （II ）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3 的等差数列：a1j=4+3（j1），第二行是首 项为 7，公差为5 的等差数列：a2j=7+5（j1）， , 第i行是首项为4+3（i1），公差为2i+1 的等差数列， 因此aij=4+3（i1）+（2i+1）（j1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j. ,7 分 （ III）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j

27、， 从而 2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（ 2j+1）， 即正整数2N+1 可以分解成两个不是1的正整数之积. 充分性：若2N+1 可以分解成两个不是1 的正整数之积，由于2N+1 是奇数，则它必为两个不是 1 的奇数之积，即存在正整数k、l，使得 2N+1=（2k+1）（ 2l+1）， 从而N=k（2l+1）+l=akl， 可见N在该等差数阵中. 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1 可以分解成两个不是1 的正整数之积 ,13 分 7、解：（）数列M不是“ ”数列；数列N是“ ”数列,2 分 （）不存在一个等差数列是“”数列 证明：假设存在等差数列是“”数

28、列， 则由 12 1 m aaa得 1 2 m aaZ m ，与 i aZ矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“”数列,7 分 （）将数列A按以下方法重新排列： 设 n S为重新排列后所得数列的前n项和（nZ且1nm）， 任取大于0 的一项作为第一项，则满足 1 1 22 mm S， 假设当2,nm nN时， 1 1 22 n mm S 若 1 0 n S，则任取大于0 的一项作为第n项，可以保证1 22 n mm S， 若 1 0 n S，则剩下的项必有0 或与 1n S 异号的一项，否则总和不是1， 所以取 0 或与 1n S 异号的一项作为第n项，可以保证1 22 n mm S 如

29、果按上述排列后存在0 n S成立，那么命题得证； 否则 1 S， 2 S， , ， m S这m个整数只能取值区间1, 22 mm 内的非 0 整数， 因为区间1, 22 mm 内的非 0 整数至多m-1 个，所以必存在 ij SS (1)ijm， 那么从第1i项到第j项之和为0 ij SS，命题得证 综上所述，数列A中必存在若干项之和为0,13 分 8、解：（） 1: 2,1,3 A或 1:1,3,2 A. ,2 分 . （） 3:5,6,7,2,3,4,9,8,1 A；,4分 4:5,6,7,8,1 ,2,3,4,9 A. ,6分 （）考虑数列 12 :, n A a aaL，满足 1ii

30、aa的数对 1 , ii a a 的个数，我们称之为“顺序数”则 等差数列 0 A：2015,2004,1L的顺序数为0，等差数列 n A：1,2,2015L的顺序数为2014 首先，证明对于一个数列，经过变换T，数列的顺序数至多增加2实际上，考虑对数列 , , , , ,p ab cd qLLLL，交换其相邻两段,abL和,cdL的位置，变换为数列 , , , , , ,p cd ab qLLLL. 显然至多有三个数对位置变化假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即 由,pa bc dq变为,pc da bq 分别将三个不等式相加得pbdacq与pbdacq，矛盾 所以经过变换

31、 T，数列的顺序数至多增加 2 其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1设n的最小值为x，则 2222014x ，即1008x,10 分 最后，说明可以按下列步骤，使得数列 1008 A为1,2,2015L 对数列 0 :A2015,2014,1L， 第 1 次交换1,2,1007L和1008,1009位置上的两段，得到数列 1 A： 1008,1007,2015,2014,1010,1009,1006,1005,2,1LL； 第 2 次交换2,3,1008L和1009,1010位置上的两段，得到数列 2 A： 1008,1009,1006,1007,2015,2014,1011,1010,

32、1005,1004,2,1LL； 第 3 次交换3,4,1009L和1010,1011位置上的两段，得到数列 3 A： 1008,1009,1010,1005,1006,1007,2015,2014,1012,1011,1004,1003,2,1LL； L L，以此类推 第1007次交换1007,1008,2013L和2014,2015位置上的两段，得到数列 1007 A： 1008,1009,2013,2014,1,2,1006,1007,2015LL； 最终再交换1,2,1007L和1008,1009,2014L位置上的两段，即得 1008 A：1,2,2015L 所以n的最小值为1008

33、. ,13 分 9、（） 1,4,7 ,3分 （）由 1 3 n n am，得 * 3 1log()nmmN 当 * 12,mmN时， 12 1bb ,4 分 当 * 38,mmN时， 348 2bbb ,5分 当Nmm,269 时，3 26109 bbb ,6分 当 Nmm,3027时，4 30292827 bbbb ,7分 84441836221 3021 bbb ,8分 （III） 11 11aSc0c 当2n时， 1 21 nnn aSSn * 21 () n annN,9分 由21 n anm得： *1 () 2 m nmN 因为使得 n am成立的n的最大值为 m b， 所以 *

34、1234212 1,2,() tt bbbbbbttN 当 * 21 ()mttN时： 221(1)1 2(1)(1) 24 m t Ttttm,11分 当 * 2()mttN时： 211 2(2) 24 m t Ttttm m,12分 所以 2 * * (1) (21,) 4 (2) (2,) 4 m m mttN T m m mttN ,13分 10、 11、（）依题意， 13 1,b 14 2b， , ， 1212 2513 22bb. 则 12 125 2bb， 11 224 2bb， , ， 1214 2bb. 则 1212 1212 1 21( ) 2 2.121 1 1 2 Sb

35、bb 14 23,6分 （）依题意， 5026 24 249cc，因为 n c是 50 项的“对称数列”，所以 150 49,cc 249 47,cc, ， 2526 1.cc 所以当125n时， 2 50 n Snn； 当2650n时， 25 1 (25)(25)(26)2 2 n SSnnn， n S125050 2 nn. 综上， 2 2 50125 5012502650,. n nnnn S nnnn N N ， ,13分 12、 13、解: （） 由 1 221 nn aa得 1 1 ,N 2 nn aan，又 1 1a，所以数列 n a是以 1 为首项， 1 2 为公差的等差数列，

36、于是 1 1 (1) 2 n n aand，Nn. 当1n时， 1 2 11 1 96 , 3 bS 当2n时， 3 1 1 9 3 n n S ， 23 12 112 99 333 nn nnnn bSS ， 又1n时 12 2 6 3 n b，所以 2 2 3 nn b，Nn. （）由（）知 1 2 n n a， 2 2 3 nn b，Nn，所以 2 1 (1),N 3 n nnn ca bnn. 所以 1012 1111 234(1) 3333 n n Tn,(1) 等式两边同乘以 1 3 得 0121 11111 234(1) 33333 n n Tn,(2) (1)-(2)得 101

37、21 1 1 211111 2( +1) 333333 1 1 13 =6+( +1) 1 3 1 3 nn n n n Tn n 所以 2 4525 1 ,N 443 n n n Tn. 14、解：（ I ）E （1，3，4， 2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（ 3分） （ II ）若数列 n a： 1 a， 2 a， , ， n a的位差和E（ 1 a， 2 a， , ， n a）=4，有如下两种情况： 情况一：当1iai，iai 1，1ja j ，ja j 1 ，且 11 , jjii aaaa，其 他项kak （其中1, 1,jjiik）时，有

38、 2 32 1243 nn nn种 可能；（ 5 分） 情况二：当 21, , iii aaa分别等于2i，1i，i或1i，2i，i或2i，1i， 其他项kak （其中2, 1,iiik）时，有23 n种可能；（ 7 分） 综上，满足条件的数列 n a： n aaa, . , 21 的个数为 2 32 23 2 32nn n nn 。（ 8 分） 例如：5n时， 情况一：形如2，1，4，3，5，共有 2+1=3 种： 2，1，4，3，5；2， 1，3，5，4；1，3，2， 5， 4； 情况二：形如3，2，1，4，5，共有 5-2=3 种： 3，2，1，4，5；1， 4，3，2，5；1，2，5，

39、 4， 3； 形如 2，3， 1，4，5，共有 5-2=3 种： 2，3，1，4， 5；1，3，4， 2，5；1， 2，4，5，3； 形如 3，1， 2，4，5，共有 5-2=3 种： 3，1，2，4， 5；1，4，2， 3，5；1， 2，5，3，4。 （ III）将| . |2|1| 21 naaa n 去绝对值符号后，所得结果为 112233,nn 的形式，其中恰好有n个数前面为减号，这表明 n i in iaaaaE 1 21 |, 12 2 1 2 2 1 2 1 2 3 12 nnnn nn 2 1 1 2 3 2 3 1 2 1 2 2 nnn n n n，（ 10 分） 此不等式

40、成立是因为前面为减号的n个数最小为： 2个 1，2 个 2，, ， 2 个 2 1n 和 1 个 2 1n 。 （11 分） 上面的讨论表明，题中所求的数列 nn aaaa,: 21 是使得 E（ n aaa, 21 ）最大的 数列，这样的数列在12kn时，要求从1，2，, ，n中任选一个数作为 1k a，将剩余数中较大 的k个数的排列作为 , 21 aa, ， k a的对应值， 较小的k个数的排列作为 2k a， 3k a，, ， 12k a的 对应值，于是所求数列的个数为 2 !12kk。 综上，满足条件的数列的个数为 2 ! 2 1n n（14 分） 例如：5n时， E（ 54321 ,

41、aaaaa） 5 1 | i i ia。 12233452 14252 组数每组之差 2 15 2 15 52 2 15 2 15 2 12 2 15 2 此不等式成立是因为前面为减号的5 个数最小为： 2 个 1，2 个 2 和 1 个 3。 若 E（ 54321 ,aaaaa）=12，512kn，此时2k时，要求从1， 2，3，4，5 中任 选一个数作为 3 a，将剩余数中较大的2 个数的排列作为 1 a， 2 a的对应值，较小的2 个数的排列作 为 54, a a的对应值，于是所求数列的个数为20! 25 2 。 4，5，1，2，3；4，5， 1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，

42、3，2； 4，5，2，1，3；4，5， 2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1； 4，5，3，1，2；4，5， 3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1； 3，5，4，1，2；3，5， 4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1； 3，4，5，1，2；3，4， 5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1。 题目背景：假设现在有n种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1， 2，, ，n， 鉴别师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这n种物品进行排列依次编号为 n aaa, 21 ，其中 n aaa, 21 是 1， 2，, ，n的一个

43、排列，那么可以用数列 n a： n aaa, 21 的位差和 E（ n aaa, 21 ）=|2|1| 21 naaa n ， 来评判鉴别师的能力。 当 E（ n aaa, 21 ）越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱； 当 E （ n aaa, 21 ）=0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确； 第二问，位差和E（ n aaa, 21 ）=4 时，给出数列 n a： n aaa, 21 的情况； 第三问， 说明位差和E （ n aaa, 21 ）最大值为 2 1 2 n ，且给出取得最大值时，数列 n a： n aaa, 21 的情况。 15、解：（）满足条件的数列有两个： （）由（ 1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因 为，所得数列显然满足或，即得数列 其 中， 如 此 下去 即可 得 到一 个满 足 的数列为： （其中） （写出此通项也可以（其中） （）由题意知，且 有解： ， 则， 这 与 是矛盾的 时，与类似可得不成立 时，则不可能成立 时， 若或，则或 若或，则，类似于可知不成立 时， 若同号，则，由上面的讨论可知不可能； 若或，则或； 时， 若异号，则，不行； 若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾 综上，只能为或，且（ 2）中的数列是的情形，将（ 2）中的数列倒 过来就是，所以为或