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1、2011 数学建模模拟竞赛 题目：接力队选拔策略 摘要 游泳比赛中，参赛选手的合理选拔是取得比赛优秀成绩的关键。 因此，研究游泳比赛接力队队员的选拔问题在实际应用中具有重要的 理论意义和现实价值。 根据选拔的特点和要求， 选拔出最优秀的队员 参加比赛，分析每个小问的特点， 我们对问题一用 0-1 规划的方法解 决；对问题二也由0-1 规划方法求解。 对于问题一， 要求如何选出 4 100 米混合泳接力队， 这要求每一 种泳姿选择的队员的百米成绩总和在所有的可能组合中最短。于是， 我们建立了 0-1 规划模型 I，结合所给数据并借助0-1 规划的算法和 Lingo 软件编程求解， 得到模型 I
2、的最佳组合结果： 选择甲、乙、丙、 丁分别参加自由泳、蝶泳、仰泳和蛙泳等项目。 对于问题二，在对模型I 改进的基础上建立了模型II 。对模型 进行了合理化的假设， 做了理论推理和证明， 由 0-1 规划模型的算法， Lingo 编程求解，得到模型II的最佳组合结果：选择乙、丙、丁、 戊分别参加蝶泳、仰泳、蛙泳和自由泳等项目。 关键词接力队选拔整数规划 0-1规划 Lingo 1 一、 问题重述 游泳比赛中，参赛选手的合理选拔是取得比赛优秀成绩的关键。 如何实现科学的配置， 做出合理的安排是人力资源管理长期以来亟待 解决的重要问题。 游泳比赛接力队参赛队员选拔时， 常常根据每名候选队员各种泳 姿
3、的百米成绩，怎样进行合理的组合配置，使比赛的总用时最短，在 选拔之前，对各候选队员各种泳姿的百米成绩统计如下表： 模型一中：如何选拔队员组成4 100米混合泳接力队 ? 模型二中：丁的蛙泳成绩退步到1152；戊的自由泳成绩进 步到 575, 组成接力队的方案是否应该调整？ 二、问题分析 2.1 模型一的问题分析和建模思路 考虑问题的题设和要求， 我们需要解决的问题是如何在五名候选 队员中挑选四名参加比赛，是参加比赛的总用时最短。 对该类问题，我们从候选队员的已知成绩出发，由0-1 规划模型，若 选队员 j 参加第 i 种泳姿的比赛，记 ij x=1，否则 ij x=0；由目标函数： 丙 114
4、 106 仰泳 甲乙丁戊 蝶泳57”2118110107 115106107111 蛙泳127106124109123 自由泳58”653”59”457”2102 2 Min z= 4 1i 5 1j ij t ij x；求解。 2.2 模型二的问题分析和建模思路 问题二的问题分析 :其模型与模型一的建立相同，丁的蛙泳成绩 退步，戊的自由泳成绩进步， 在这种情况下是否调整模型一选出来的 组合， 只需将变化的成绩代入模型一中， 看原来选出的结果有无变化， 若有变化并且原来组合不是最优组合就应该调整。 三、模型假设 1. 各个选拔队员在选拔时，测试时间相互独立，互不影响。 2. 选拔队员时体现公平
5、原则。 3. 各个队员在选拔时都能正常发挥。 4. 在选拔队员时按甲， 乙，丙，丁，戊的顺序依次编号为 1,2,3,4 ，5， 泳姿方式按蝶泳，仰泳，蛙泳，自由泳依次编号为1,2,3,4., 四 、符号说明 种泳姿；个人参加第派第 候选人的百米成绩； 种泳姿时的百米成绩；个人参加第被选择的第 ijx t ijz ij ij 五、模型的建立与求解 5.1 模型 I 的建立： 3 45 11 5 1 4 1 min 11,2,3,4 .11,2,3,4,5 0,11,2,3,41,2,3,4,5 ijij ij ij j ij i zt x xi stxj xijij 模型的求解： 问题一要求选拔
6、队员组成1004米混合泳接力队。这就要求这四种泳 姿所对应的参赛队员的百米成绩最短。本题运用0-1 规划建立模型。 目标函数 45 11 ijij ij zt x其中包含 120 种组合情况。这其中包含一个人可 以参加多种泳姿和一种泳姿有多人选择，为将其筛除，我们列出目标 函数的约束条件. 5 1 11,2,3, 4 ij j xi代表每一种泳姿只能有一人选 择。 4 1 11,2,3, 4,5 ij i xj表示没一个人只能参加一种泳姿的选拔。最 后将求出的所有可能情况取其最小值即为1004米混合泳接力队的最 佳组合。由 Lingo 软件求解，求解结果如下（见附件1） ： 1004米混合泳接
7、力队的组合方案 泳姿蝶泳仰泳蛙泳自由泳 队员乙丙丁甲 5.2 模型 II 的建立： 对于模型 II 的建立我们与模型I 相同。 模型的求解： 4 在模型 I 的求解基础上，我们将 ij t中的数据做修改。将丁的蛙泳成绩 改为 115”2。戊的自由泳成绩改为57”5，看其百米成绩是否为最 短，若百米成绩与第一问求得的结果相同。则组成接力队的方案不需 要调整，若结果不同，则将其做调整。经过求解需要调整，调整后的 接力队方案，由 Lingo 软件求解为（程序见附件2） ： 1004米混合泳接力队的组合方案 泳姿蝶泳仰泳蛙泳自由泳 队员乙丙丁戊 六、模型的评价与推广 6.1 模型 I 的优点 （1）模
8、型综合运用了LINGO软件，求解 0-1 规划简单精确，在运用 Lingo 时，充分利用了它的符号编辑优势； （2）在解决第二问时，利用连着之间的联系，在模型I 的基础上只 将变化的数据改变，较容易的得到了结果。 （3）此模型经过实际测量的数据验证，结果确切，对接力队员选拔 有较高的实用性。 6.2 模型 II 的缺点 此模型对少量数据的操作可行性较高，但在实际中有例如队员与 队员之间更换时可能会加长时间，使结果出现误差。 6.3 模型的改进 模型采用的 0-1 规划方法，解决 0-1 规划问题使用 lingo 比较简单。 5 6.4 模型的推广 我们建立的模型的思想可以想多领域推广，不仅仅是
9、接力队选 拔，而且可以用 0-1 规划解决篮球，足球队员选拔及指派问题。 七、参考文献 【1】胡运权.运筹学教程（第三版） .清华大学出版社 .2007（4） 【2】Lingo 教程. http:/ 八、附件 1. 程序如下： model: sets: hang/14/; lie/15/; links(hang,lie):x,t; endsets data: t=66.8 57.2 78 70 67.4 75.6 66 67.8 74.2 71 87 66.4 84.6 69.6 83.8 58.6 53 59.4 57.2 62.4; enddata 6 min=sum(links:t*x)
10、; for(lie(j): sum(hang(i):x(i,j)=1;); for(hang(i): sum(lie(j):x(i,j)=1;); for(links:bin(x); end 2. 程序如下： model: sets: h /14/; l /15/; links(h,l):x,t; endsets data : t=66.8 57.2 78 70 67.4 75.6 66 67.8 74.2 71 87 66.4 84.6 75.2 83.8 58.6 53 59.4 57.2 57.5; enddata min=sum(links:t*x); 7 for(l(j):sum(h(i):x(i,j)=1); for(h(i):sum(l(j):x(i,j)=1;); for(links:bin(x); end