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1、2011 数学建模模拟竞赛 题目:接力队选拔策略 摘要 游泳比赛中,参赛选手的合理选拔是取得比赛优秀成绩的关键。 因此,研究游泳比赛接力队队员的选拔问题在实际应用中具有重要的 理论意义和现实价值。 根据选拔的特点和要求, 选拔出最优秀的队员 参加比赛,分析每个小问的特点, 我们对问题一用 0-1 规划的方法解 决;对问题二也由0-1 规划方法求解。 对于问题一, 要求如何选出 4 100 米混合泳接力队, 这要求每一 种泳姿选择的队员的百米成绩总和在所有的可能组合中最短。于是, 我们建立了 0-1 规划模型 I,结合所给数据并借助0-1 规划的算法和 Lingo 软件编程求解, 得到模型 I
2、的最佳组合结果: 选择甲、乙、丙、 丁分别参加自由泳、蝶泳、仰泳和蛙泳等项目。 对于问题二,在对模型I 改进的基础上建立了模型II 。对模型 进行了合理化的假设, 做了理论推理和证明, 由 0-1 规划模型的算法, Lingo 编程求解,得到模型II的最佳组合结果:选择乙、丙、丁、 戊分别参加蝶泳、仰泳、蛙泳和自由泳等项目。 关键词接力队选拔整数规划 0-1规划 Lingo 1 一、 问题重述 游泳比赛中,参赛选手的合理选拔是取得比赛优秀成绩的关键。 如何实现科学的配置, 做出合理的安排是人力资源管理长期以来亟待 解决的重要问题。 游泳比赛接力队参赛队员选拔时, 常常根据每名候选队员各种泳 姿
3、的百米成绩,怎样进行合理的组合配置,使比赛的总用时最短,在 选拔之前,对各候选队员各种泳姿的百米成绩统计如下表: 模型一中:如何选拔队员组成4 100米混合泳接力队 ? 模型二中:丁的蛙泳成绩退步到1152;戊的自由泳成绩进 步到 575, 组成接力队的方案是否应该调整? 二、问题分析 2.1 模型一的问题分析和建模思路 考虑问题的题设和要求, 我们需要解决的问题是如何在五名候选 队员中挑选四名参加比赛,是参加比赛的总用时最短。 对该类问题,我们从候选队员的已知成绩出发,由0-1 规划模型,若 选队员 j 参加第 i 种泳姿的比赛,记 ij x=1,否则 ij x=0;由目标函数: 丙 114
4、 106 仰泳 甲乙丁戊 蝶泳57”2118110107 115106107111 蛙泳127106124109123 自由泳58”653”59”457”2102 2 Min z= 4 1i 5 1j ij t ij x;求解。 2.2 模型二的问题分析和建模思路 问题二的问题分析 :其模型与模型一的建立相同,丁的蛙泳成绩 退步,戊的自由泳成绩进步, 在这种情况下是否调整模型一选出来的 组合, 只需将变化的成绩代入模型一中, 看原来选出的结果有无变化, 若有变化并且原来组合不是最优组合就应该调整。 三、模型假设 1. 各个选拔队员在选拔时,测试时间相互独立,互不影响。 2. 选拔队员时体现公平
5、原则。 3. 各个队员在选拔时都能正常发挥。 4. 在选拔队员时按甲, 乙,丙,丁,戊的顺序依次编号为 1,2,3,4 ,5, 泳姿方式按蝶泳,仰泳,蛙泳,自由泳依次编号为1,2,3,4., 四 、符号说明 种泳姿;个人参加第派第 候选人的百米成绩; 种泳姿时的百米成绩;个人参加第被选择的第 ijx t ijz ij ij 五、模型的建立与求解 5.1 模型 I 的建立: 3 45 11 5 1 4 1 min 11,2,3,4 .11,2,3,4,5 0,11,2,3,41,2,3,4,5 ijij ij ij j ij i zt x xi stxj xijij 模型的求解: 问题一要求选拔
6、队员组成1004米混合泳接力队。这就要求这四种泳 姿所对应的参赛队员的百米成绩最短。本题运用0-1 规划建立模型。 目标函数 45 11 ijij ij zt x其中包含 120 种组合情况。这其中包含一个人可 以参加多种泳姿和一种泳姿有多人选择,为将其筛除,我们列出目标 函数的约束条件. 5 1 11,2,3, 4 ij j xi代表每一种泳姿只能有一人选 择。 4 1 11,2,3, 4,5 ij i xj表示没一个人只能参加一种泳姿的选拔。最 后将求出的所有可能情况取其最小值即为1004米混合泳接力队的最 佳组合。由 Lingo 软件求解,求解结果如下(见附件1) : 1004米混合泳接
7、力队的组合方案 泳姿蝶泳仰泳蛙泳自由泳 队员乙丙丁甲 5.2 模型 II 的建立: 对于模型 II 的建立我们与模型I 相同。 模型的求解: 4 在模型 I 的求解基础上,我们将 ij t中的数据做修改。将丁的蛙泳成绩 改为 115”2。戊的自由泳成绩改为57”5,看其百米成绩是否为最 短,若百米成绩与第一问求得的结果相同。则组成接力队的方案不需 要调整,若结果不同,则将其做调整。经过求解需要调整,调整后的 接力队方案,由 Lingo 软件求解为(程序见附件2) : 1004米混合泳接力队的组合方案 泳姿蝶泳仰泳蛙泳自由泳 队员乙丙丁戊 六、模型的评价与推广 6.1 模型 I 的优点 (1)模
8、型综合运用了LINGO软件,求解 0-1 规划简单精确,在运用 Lingo 时,充分利用了它的符号编辑优势; (2)在解决第二问时,利用连着之间的联系,在模型I 的基础上只 将变化的数据改变,较容易的得到了结果。 (3)此模型经过实际测量的数据验证,结果确切,对接力队员选拔 有较高的实用性。 6.2 模型 II 的缺点 此模型对少量数据的操作可行性较高,但在实际中有例如队员与 队员之间更换时可能会加长时间,使结果出现误差。 6.3 模型的改进 模型采用的 0-1 规划方法,解决 0-1 规划问题使用 lingo 比较简单。 5 6.4 模型的推广 我们建立的模型的思想可以想多领域推广,不仅仅是
9、接力队选 拔,而且可以用 0-1 规划解决篮球,足球队员选拔及指派问题。 七、参考文献 【1】胡运权.运筹学教程(第三版) .清华大学出版社 .2007(4) 【2】Lingo 教程. http:/ 八、附件 1. 程序如下: model: sets: hang/14/; lie/15/; links(hang,lie):x,t; endsets data: t=66.8 57.2 78 70 67.4 75.6 66 67.8 74.2 71 87 66.4 84.6 69.6 83.8 58.6 53 59.4 57.2 62.4; enddata 6 min=sum(links:t*x)
10、; for(lie(j): sum(hang(i):x(i,j)=1;); for(hang(i): sum(lie(j):x(i,j)=1;); for(links:bin(x); end 2. 程序如下: model: sets: h /14/; l /15/; links(h,l):x,t; endsets data : t=66.8 57.2 78 70 67.4 75.6 66 67.8 74.2 71 87 66.4 84.6 75.2 83.8 58.6 53 59.4 57.2 57.5; enddata min=sum(links:t*x); 7 for(l(j):sum(h(i):x(i,j)=1); for(h(i):sum(l(j):x(i,j)=1;); for(links:bin(x); end