数列经典名题.pdf

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1、1 经 典 名 题 “熟读唐诗三百首，不会写诗也会吟。 ” 你知道围棋界超一流高手李昌镐背并研究了多少棋谱吗？那么对于 历年高考试题你有背并研究了多少？得到那些实用的数学思想和技巧 呢？ 1 （ 2000 年全国） （ 1）已知函数 cn其中 cn 2 n3 n，且数列 c n +1pcn为等比数列，求常数p； （ 2）设 an 、 bn是公比不相等的两个等比数列，cna nb n，证明数列 cn不是等比 数列。 思路启迪：（1）如何求p？根据题中所给的条件构建关于p 的方程即可。 （2） 如何证明 cn不是等比数列？联想到等比中项，只要证明 31 2 2 ccc 即可，这正是优化结论策略的灵

2、活运用呵！ 解法点拨： (1)cn +1pcn为等比数列，故有 点评： )()( 112 2 1nnnnnn pccpccpcc。 。 。这种思路很正常！写出来 就能得分， 又 Cn2 n3 n， 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 太轻松了！考试时你敢写 吗？ 将代入，得不写就太可惜了！ 211 )32(32 nnnn p =)32(32 1122nnnn p)32(32 11nnnn p 即 2 3)3(2)2( nn pp这种变形整理的技巧值得 学习！ =3)3(2)2( 11nn pp3)3(2)2( 11nn pp你

3、有过这方面的经历吗？ 写出来！ 整理，得 032)3)(2( 6 1 nn pp到此水落石出！ 解得 p =2 或 p =3 （2）设 anb n的公比分别为p,q,pq,cn = an+ bn. 要想证 cn不是等比数列，只需证 31 2 2 ccc 事实上， 2 11 2 2 )(qbpac解法小结：本题主要考查等比数列的概念 和基本 2 pqbaqbpa 11 2 1 22 1 2性质、推理和运算能力.如何证 cn不是等 比数列 ? )( 2 1 2 11131 qbpabacc_根据等比数列性质，运用“由具体到抽 象”的 )( 22 11 22 1 22 1 qpbaqbpa思维策略，

4、 只需证 31 2 2 ccc即可。 这正是 解(2) 由于 p q,pqqp2 22 ,又 a1，b1不为 0， 题的思维闪光点！ 31 2 2 ccc对一个命题的肯定是困难的；但对一个命 题的否定 数列 c n不是等比数列。并不难。你完全不必要对一个命题作全盘 否定。 拓展试题： 这种思想你必须深沉地印在脑海中，养成 条件反射， 1 （ 2002 年 全国文科）左边的2002 年题的第一问可直接从特殊性 入手加以 设函数Rxxxxf, 12)( 2 判定；例如： (1)判断函数f (x)的奇偶性；f (2)=3,f (-2)=7, 由于 f (-2)f (2),f (-2)f (2) (2

5、)求函数 f (x)的最小值 . . 故 f (x)既不是奇函数又不是偶函数。 2 （ 2002 年 全国理科）这样否定多轻松！别担心，就这么简单！学 着点！ 设 a 为实数，Rxaxxxf, 1)( 2 对比文理科的差异，能悟出些什么？ (1)讨论函数 f (x)的奇偶性；看下面为理科试题朴实而又准确的解答过程： (2)求函数 f (x)的最小值 . . 标准解法：(1)当 a=0 时， )(1)()( 2 xfxxxf 故此时的f (x)为偶函数。(1)的解法怎样？称得上简洁明快吧！ 当 a 0时，12)(, 1)( 2 aafaaf你有何体会？ 故此时 f (x)既不是奇函数又不是偶函数

6、。 (2)当 xa 时，(2)要注意对谁进行分类讨论？是a 还 是 x ? 4 3 ) 2 1 (1)( 22 axaxxxf 若, 2 1 a则,()(axf在上单调递减，从而点评： ,()(axf在上的最小值为1)( 2 aaf分类讨论要求条理清楚，不重不漏； 3 若, 2 1 a则函数)(xf在,(a上的最小值为这里讨论的是字母a 而不是自变量 x， )() 2 1 (, 4 3 ) 2 1 (affaf且认清自变量，头脑要高度清醒，慢 慢来， (2)当 xa 时，相信慢工出细活，我们要有充分的 得分 则函数 4 3 ) 2 1 (1)( 22 axaxxxf意识，因为分数才是硬道理！

7、当 a 2 1 ，则函数),)(axf在上的最小值为在平时我们要舍得花大力多练题， 多吃苦， )() 2 1 (, 4 3 ) 2 1 (affaf且多思考，多问为什么？在考场，我 们一定要 当 a 2 1 ，则函数),)(axf在上单调递减，用最稳妥的方式得分！ 从而函数),)(axf在的最小值还记得下列这些题你是怎么错的 吗？ 1)( 2 aaf1。(98 年文科 )设 ab,解关于 x 的 不等式： 综上， 当 a 2 1 时，函数axf 4 3 )(的最小值是； 222 )1()1(xbaxxbxa 当 2 1 2 1 a时，函数1)( 2 axf的最小值是；2. 解不等式 xx x1

8、 1 2 当 a 2 1 ，则函数)(xf的最小值是 4 3 a。 2(2001 年 全国 ) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产 业，根据规划，本年度投入800 万元， 以后每年投入将比上年减少 5 1 ，本年度当地旅游 业收入估计为400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每 年会比上年增加 4 1 。 ()设 n 年内 (本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为 bn万元， 写出 an与 bn的表达式；()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 解： ()第 1 年投入为800 万元；(接左下 )第 1 年旅游业收

9、入为400 万元， 第 2 年投入为800) 5 1 1(万元；第 2 年旅游业收入为400) 4 1 1(万元， ； ； 4 第 n 年投入为800 1 ) 5 1 1 ( n 万元；第 n 年旅游业收入为400 1 ) 4 1 1 ( n 万 元， 所以， n 年内的总投入为所以， n 年内的旅游业总收入为 1 ) 5 1 1(800) 5 1 1(800800 n n a 1 ) 4 1 1 (400) 4 1 1(400400 n n b ) 5 4 () 5 4 ( 5 4 18 0 0 12n ) 4 5 () 4 5 ( 4 5 1 400 12n 5 4 1 ) 5 4 (11

10、 800 n 4 5 1 ) 4 5 (11 400 n ) 5 4 (1 4 0 0 0 n 3 分(接右上 ) 1) 4 5 (1600 n 6 分 ()设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此：0 nn ab 即0) 5 4 (14000 1) 4 5 (1600 nn 点评 : 化简得：07) 4 5 (2) 5 4 (5 nn 换元法和估算是值得我们学习的! 设 n x) 5 4 (,代入上式得 5 2 ) 5 4 ( n 的具体解法 :化为小数进行估 算! 0275 2 xx因为大于0,故可两边取对数得 5 2 lg) 5 4 lg( n 解 此不 等 式 , 得即 12

11、lg2)12lg3( 10 4 lg) 10 8 (lgnn 1, 5 2 xx(舍去 )-为什么 ? 再根据3010.02lg可求得 n 5 即 5 2 ) 5 4 ( n 5 2 ) 5 4 ( n 2.0)2. 01(2.08 .0 nn 由此得 n 5 再由近似公式得2 .02 .01n4n 答 : 至少经过5 年旅游业的总收入才能超过总投入。 下面我们放松一下,一些轻松的题目你能在快速找到入题角度吗? 1在等差数列an 中， S20=180，则 a6+a 9+a11+a16= ； 2(91 年)已知 n a 是等比数列,且252,0 645342 aaaaaaan,那么 53 aa的

12、值为 ( ) 5 A、5 B、10 C、15 D、20 3. (92 年)已知等差数列 an的公差d0,且 a 1、a 3、a9成等比数列 ,则 1042 931 aaa aaa 的值 是。 4. (92 年)设等差数列 an的前 n 项和 Sn，a 312，S120，S130。 求公差 d 的取值范围；指出 S1、S2,S12中哪一个最大，并说明理由。 变题： 设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，在已知的 Sn中有 S12 0,那么 Sn中最小的 是( ) AS4 BS5 CS6 DS7 5. (93 年)在各项均为正数的等比数列的an中,若 a5 a6 9,则 1032313 logl

13、oglogaaa( ) A、 12 B、10 C、8 D、2+log 35 6.(94 年)某种细菌在培养过程中，每20 分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过 3 小时，这 种细菌由一个可以繁殖成（） A、511 个B、512 个C、1023 个D、1024 个 7. (2000 年春招 )已知等差数列 an满足 a1+a2+a3 +a101=0，则有（） A、 a1 a1010 B、a2 a1000 C、a3a990 D、a5151 8. (2000 年 )设an是首项为1 的正项数列 ,且(n+1)0 1 22 1nnnn aanaa(n=1,2,3, )， 则它的通项公式是。 9. (2

14、001年)设an 是以公比为q的等比数列 ,Sn是它的前 n项和 .若Sn 是等差数列 ,则 q= ; 10. (2002 年招 ) 若一个等差数列前3 项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为 390，则这个数列有（） A13 项B 12 项C11 项D10 项 11. (2001 年上海春招 ) 若数列 an前 8项的值各异 ,且 an+8=an对于任意Nn都成立 , 则下列数列中可取遍an 前 8 项值的数列为 ( ) A. a2k+1 B. a3k+1 C. a4k+1 D. a6k+1 12. (2002 年)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告

15、： “2001 年国内生产总 值达到 95933 亿元，比上年增长7.3。 ”如果“十五”期间(2001 年-2005 年)每年的 国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内生产总值约为( ) A. 115000 亿元B. 120000 亿元C. 127000 亿元D. 135000 亿元 13. (1999 年上海 )在等差数列 an中,满足 3a4=7a7,且 a10,Sn是数列 an的前 n 项和。 若 Sn取得最大值 ,则 n= ； 13. (2001 年上海 )设数列 an的通项 an=2n 7 (nN)，则 1521 aaa= 14. (2001 年上海 ) 设数列

16、n a是公比0q的等比数列， n S是它的前n 项和，若 7lim n n S，则此数列的首项 1 a的取值范围是； 15. (97 上海 )()1(),( 2 1 3 1 2 1 1 1 )(nfnfNn nnnn nf 那么=( ) 6 A. 12 1 n B. 22 1 n C. 22 1 12 1 nn D. 22 1 12 1 nn 16一套共7 册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为13958，则出 齐这套书的年份是( ) A 1994 B1996 C1998 D2000 17 已知一个等差数列前n 项和为 Sn， 若 S130， 则此数列中绝对值最小的项是( )

17、A第 5项B第 6 项C第 7项D第 8 项 18在单位圆中作内接正方形，再作此正方形的内切圆，然后作此内切圆的内接正方形。 依此无限地作下去。 记 C 为所有圆的面积之和， S 为所有正方形的面积之和，则 S C =( ) A 2 BC2D2 (2003 年上海 )已知数列 an(n 为正整数 )是首项为a1，公比为 q 的等比数列。 (1) 求和： 2 23 1 22 0 21 CaCaCa； 3 34 2 33 1 32 0 31 CaCaCaCa； (2) 由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明； (3) 设 q 1,Sn是等比数列 an的前 n 项和，求： n

18、nn n nnnn CSCSCSCSCS 1 3 4 2 3 1 2 0 1 ) 1(。 思路启迪： (1)联想到求组合数公式可求；(2)仔细观察， 分析 (1)中的两个所求式的结构特征： 有 0 2 C、 1 2 C、 2 2 C时，三项和 2 1 )1 (qa；有 0 3 C、 1 3 C、 2 3 C、 3 3 C时，四项和 3 1 )1 (qa； 且 0 2 C、 1 2 C、 2 2 C前面的符号正负相间； 0 3 C、 1 3 C、 2 3 C、 3 3 C前面的符号正负相间； 于是可以归纳概括出的结论为： 若数列 an 是首项为 a1, 公比为 q 的等比数列 ,则 n nn n

19、 nnnn CaCaCaCaCa 1 3 4 2 3 1 2 0 1 ) 1(nqa n ,)1( 1 为正整数。 再对猜想加以证明。 (3)求出 Sn的表达式代入所求中，即可获得解答。 4(2002 年 全国 ) 某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆， 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6并 且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那 么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 思路启迪： 我们应抓住题中的关键条件：“预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6， 并且每年新增汽车数量相同。”这就启发我们题中构成的数列是一个等比数 列。再运用不等式知识，于是

20、问题可解。 标准解法： 设 2001 年末汽车保有量为b1万辆， 以后各年末汽车保有量依次为为b2万辆， b3万辆， 每年新增汽车x 万辆，则： b1 = 30，b2 = b1 0.94 + x ；点评： 对于n1，有还记得前面我们给大家介绍的用函数 知识来 bn+1 = bn 0.94 + x 解此题的过程吗？试比较其异同！ 7 xbn)94.01 (94. 0 2 1 , 注意在这里我们是求n ?还是求 x？ )94.094.01(94.0 1 11 nn n xbb搞清楚谁是自变量？ xb n n 06.0 94.01 94.0 1 这是等比数列求和！应该记忆深刻 吧！ x xx 94.

21、0) 06.0 30( 06.0 当8.1,0 06.0 30x x 即时，这里讨论x 的目的是为求x！ bn+1 bn , b1 = 30； 显然满足 bn 60 (n = 1, 2, 3, ,) 当8.1,0 06.0 30x x 即时， 94.0) 06.0 30( 06.0 limlim 1n n n n xx b为什么这里要用极限呢？ 06.0 x 这个数列的和应满足什么特点？会 联想到 并且数列 b n 逐项增加，可以任意靠近 06.0 x ，什么？渐近线？极限值？ 因此，如果要求汽车保有量不超过60 万辆，既 bn 60 (n = 1, 2, 3, , ) 则60 06.0 x

22、即 x 3.6(万辆 ) 综合的结论可知，每年新增汽车不超过3.6 万辆。 5(1997 年 上海 ) 设数列 an 的首项 a1=1,前 n 项和 Sn满足关系式； 3tS n (2 t + 3) Sn-1 =3 t ( t 0, n=2,3,4, )； (1) 求证：数列 an是等比数列； (2) 设数列 an 的公比为f (t ),作数列 bn,使数列 b1=1，),4 ,3 ,2() 1 ( 1 n b fb n n ,求 bn； (3) 求和： b1b2 b2b3 + b3b4 ,+ b2n 1b2n b2nb2n+1 。 基本解法： (1) 由 S1 = a1= 1,S2 = a1

23、 + a2 = 1 + a2,得怕什么！方向是明确的。 3t (1 + a2) (2t + 3) = 3 t 方法：由特殊到一般！猜想都常用，何况证 明呢？ 可得 t t a 3 32 2 先找 a1和 a2看看它们的比如何？ 于是 t t a a 3 32 1 2 得到了 a1和 a2的比，可进一步扩大战果吗？ 8 又3tS n (2t+ 3) Sn-1 =3t 能看 an与 an-1的比如何？ 3t S n-1 (2t +3) Sn-2 =3t 没有 an与 an-1，可以求出来吗？ 两式相减，得技巧 ？努力试一下，看有无发现？ 0) 32(3 1nn atta 于是 ,5 ,4 , 3,

24、 3 32 1 n t t a a n n 你瞧：猜想成功！这不挺简单的吗？ 因此，数列 an是一首项为 1，公比为 t t 3 32 的等比数列； (2)由 tt t tf 1 3 2 3 32 )(求出 f (t )应先化简，我们以前吃过这种亏吗？是那 些题？ 1 1 3 2 ) 1 ( n n n b b fb冷静、沉着，不盲动，这叫老练！这叫稳重！ 可见， bn 是一个首项为 1，公差为 3 2 的等差数列。 于是 3 12 )1( 3 2 1 n nbn (3)由 3 12n bn ，可知 b 2n-1和b2n是首项分别为和，公差均为的等比数列， 于是 3 14 2 n b n 这在

25、干什么？兵马未动，粮草先行！ 高手也！ 你模仿过吗？ b1b2 b2b3 + b3b4 , + b2n 1b2n b2nb2n+1 庖丁解牛，他看到的不是牛！ =b2(b1 b3)+b4(b3 b5)+ ,+b2n (b2n-1 b2n+1) )( 3 4 242n bbb 2 ) 3 14 3 5 ( 3 4 n n )32( 9 4 2 nn 例 7.(2001 全国 )已知 imn 是正整数 ,且 1 (1+n) m 说明 :高考对二项式定理和杨辉三角的考查在逐步升温,充分体现新教材了的特点,另外新教 材关于数学的文学性应用性和趣味性必须重视,特别是对中国数学史上的重点人物如 祖冲之和他的圆周率祖暅原理杨辉三角勾股定理等等;当然外国的重要数学家和 他们的发明也不容忽视。否则,你可能会在高考场上付出代价。