材料力学B试题6弯曲变形.pdf

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1、75 F l l/3 eM B C A 弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲 使梁的挠曲线在x=l/3 处出现一拐点， 则比值 Me1/Me2为： (A) Me1/Me2=2；(B) Me1/Me2=3； (C) Me1/Me2=1/2；(D) Me1/Me2=1/3。 答： (C) 2. 外伸梁受载荷如 图示，其挠曲线的大 致形状有下列(A) 、 (B)、(C)，(D) 四种： 答： (B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M、剪力 FS与 分布载荷 q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A) EI xM x w q x F F x M)( d d , d d

2、, d d 2 2 S S； (B) EI xM x w q x F F x M)( d d , d d , d d 2 2 S S； (C) EI xM x w q x F F x M)( d d , d d , d d 2 2 S S； (D) EI xM x w q x F F x M)( d d , d d , d d 2 2 S S。 答： (B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图 示，自由端的挠度 EI lM EI Fl wB 23 2 e 3 （） 则截面 C 处挠度为： Me1Me2 x l A B w x q(x) EI F A F B aaa C 直线 (A)(B)

3、 (D)(C) 76 (A) 2 e 3 3 2 23 2 3 l EI M l EI F （）；(B) 23 3 2 2 3/ 3 2 3 l EI Fl l EI F （）； (C) 2 e 3 3 2 2 )3/( 3 2 3 l EI FlM l EI F （） ；(D) 2 e 3 3 2 2 )3/( 3 2 3 l EI FlM l EI F （） 。 答： (C) 5. 画出 (a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。 答： 7. 正方形截面梁分别按(a)、(b) 两种形式放置， 则两者间的弯曲 刚度关系为下列中的哪一种： (A)

4、 (a)(b)；(B) (a) (b)； (C) (a)=(b) ；(D) 不一定。 答： (C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的 挠曲线大致形状。 答：x=0, w1=0, 1 w=0；x=2a，w2=0，w3=0；x=a，w1=w2；x=2a， 32 ww。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致 形状。 答： F z F z (a)(b) (a)(b)(c) 直线 直线 直线 直线 aaaa MeMe Me M x 直线 右 w 0 0w 0w 左w F 2aaaa 直线 F 77 10. 画出图示各梁的挠曲线大致形状。 答： 11. 作图示外

5、伸梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状。 答： 12. 弯曲刚度为EI 的等截面外伸梁如图示。当梁内任一纵向 层总长度均不因其自重引起的弯曲而有所改变时,证明两支 座间的距离应为l-2a=0.577l。 ll x w xl 00 dd:提示 证： 令外伸端长度为a，内跨长度为2b，a l b 2 ，因对称性， 由题意有： 得a3 + 3a2b -2b3 = 0 a 3 + a2b + 2a2b -2b3 = 0 a2 + 2ba -2b2 = 0 a = 0.211l 即l -2a = 0.577l证毕。 13. 等截面悬臂梁弯曲刚度EI 为已知，梁下有一曲面，方程 为 w = -Ax3。欲使梁变形

6、后与该曲面密合（曲面不受力），试 求梁的自由端处应施加的载荷。 解：EIAxwEIxM6)( FS(x)= -6EIA x=l ， M =-6EIAl F=6EIA（） ，Me=6EIAl（） 14. 变截面悬臂梁受均布载荷q 作用，已知 q、梁长 l 及弹性 6F 6Fl l (b)(a) M xx MeMe M 直线直线 F2F DBC A l/2l/2l/2 M Fl /4 Fl /2 x 拐点 挠曲线 aa l aa q l qq M x M x q w q l/3 x l h b(x) b(x) B A C 78 模量 E。试求截面A 的挠度 wA和截面 C 的转角 C。 解：x l

7、 hb h xb xI 1212 )( )( 3 03 由边界条件0,wwlx得 3 0 4 3 0 3 2 , 3 hb ql D hb ql C 3 0 4 2 hEb ql wA（）， 3 0 3 3 8 hEb ql C（） 15. 在刚性圆柱上放置一长2R、宽 b、厚 h 的钢板，已知钢 板的弹性模量为E。试确定在铅垂载荷q 作用下，钢板不与 圆柱接触部分的长度l 及其中之最大应力。 解：钢板与圆柱接触处有 EI ql R 2/1 2 故 qR Ebh Rq EI l 6 2 3 16. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，试用积分法求梁 的最大挠度及其挠曲线方程。 解： 30 )

8、( 6 )(xl l q xMwEI 12024 )( 120 4 0 3 050 lq x lq xl l q EIw EI lq w 30 4 0 max （） 17. 图示梁的左端可以自由上下移动，但不能左右移动及转 动。试用积分法求力F 作用处点 A 下降的位移。 解：FxFlwEI EI Fl wA 3 3 （） 18. 简支梁上自A 至 B 的分布载荷q(x)=-Kx 2，K 为常数。试 求挠曲线方程。 解： 2 )(KxqxM q l R h A x l x B w q0 l x qxq1)( 0 w F A EI B x l w A l B x EI 2 )(kxxq 79 二

9、次积分BAxx K xM 4 12 )( x=0， M=0， B=0 x=l， M=0， 12 3 Kl A x=0， w=0， D=0 x=l， w=0， 360 4 5 Kl C )45( 360 5336 xlxlx EI K w（） 19. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁原有微小初曲率，其方程为 y=Kx 3。现在梁 B 端作用一集中力，如图示。当F 力逐渐增 加时，梁缓慢向下变形，靠近固定端的一段梁将与刚性水平 面接触。若作用力为F，试求： （1）梁与水平面的接触长度； （2）梁 B 端与水平面的垂直距离。 解： (1) 受力前 C 处曲率Ka a 6 )( 1 1 ，弯矩 M(a)1 =

10、 0 受力后 C 处曲率0 )( 1 2 a ，弯矩 M(a)2 = -F (l - a) (2) 同理, 受力前x1截面处 0)(),(6 d d )( 1 111 2 2 11 1 xMxaK x y x xax 受力后 x1截面处 )()(, d d )( 1 121 2 1 1 2 21 xbFxM x y x 积分二次DCx EI Fx EI Fbx KxKaxy 1 32 13 1 2 11 62 3 C=0， D=0 20. 图示弯曲刚度为EI 的两端固定梁，其挠度方程为 F AB l C 80 式中 A、B、C、D 为积分常数。 试根据边界条件确定常数A、 B、C、D，并绘制梁

11、的剪力FS、弯矩 M 图。 解： x = 0，w = 0，D = 0 0,wlx代入w方程 24 2 ql B 21. 已知承受均布载荷q0的简支梁中点挠度为 EI lq w 384 5 4 0 ，则 图 示 受 三 角 形 分 布 载 荷 作 用 梁 中 点C的 挠 度 为 wC= 。 答： EI lq 768 5 4 0 （） 22. 试用叠加法计算图示梁A 点的挠度 wA。 解： 22 )2/( 3 )2/( 3 )2/( 233 a EI aF EI aF EI aF wA EI Fa 48 13 3 （） 23. 试求图示梁BC 段中点的挠度。 解： EI aq EI aqa EI

12、aqa w 384 )2(5 3 )3( 3 )( 2 1 433 EI qa 8 39 4 （） 24. 已知梁的弯曲刚度EI。 试用叠加法 求图示梁截面C 的挠度 wC。 解： EI aalq EI alq EI lalq EI ql wC 96 )2( 256 )2( 96 )2( 768 5 3434 EI alqa 96 )23( 222 （） 25. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数。试用叠加法求图示梁B 截 面的挠度和转角。 ql/2 ql/2 F x M S x ql 2/12 ql 2/12 ql2/24 q0 BA l EIC C F aaa/2 A EI F B EI a/2

13、 A q EI a BC 3a2a EIEI D C q AB EI l/2l/2 a 81 解： EI lq EI lq EI lq wB 120 11 308 4 0 4 0 4 0 （） EI lq EI lq EI lq B 8246 3 0 3 0 3 0 （） 26. 试用叠加法求图示简支梁跨度中点C 的挠度。 解： EI Fll EI Fl EI Fll EI lFl 384 7 464 3 768 5 46 )2/)(8/( 333 （） 27. 试用叠加法求图示简支梁集中载 荷作用点 C 的挠度。 解： EI Fl EI lF EI lFw w BB C 483 )4/( 4

14、 1 34 1 4 333 （） 28. 已知简支梁在均布载荷作用下跨 中的挠度为 EI ql wC 384 5 4 ，用叠加法求图 示梁中点 C 的挠度。 解： EI lq EI lq wC 768 5 384 2/5 4 0 4 0 （） 29. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图示，试用叠加法求A 端的转角 A。 解：x EIl xq A d 2 d 2 4 0 EI lq xx EIl ql A 10 d 2 3 04 02 0 （） 30. 弯曲刚度为EI 的等截面梁受载荷 如图示，试用叠加法计算截面C 的挠 度 wC。 解： EI lqq EI lqq wC 768 )(5 384

15、 2/)(5 4 21 4 21 （） 31. 如图所示两个转子，重量分别为P1和 P2，安装在刚度分 F l/4l/4l/4l/4 C AB F/2F/2 Fl/8Fl /8 l/2 EI F l/2 A B l EI C D l/2 F l/2 A B l C D wB w = C wB 4 q0/2 A C B l/2l/2 wC1 3q0/2 A C B l /2l/2 w =0 C2 3q0/2 BA l x 2 2 0 )( l x qxq 0 q q1 q2 l/2l/2 A C B l1/2l1/2l2/2l2/2 P2 P1 ABCD 82 别为 EI 1 及 EI2的两个轴

16、上，支承轴是A、B、C、D 四个轴 承。 B、C 两轴承靠得极近以便于用轴套将此两轴连接在一 起。如果四个轴承的高度相同，两根轴在B、C 处连接时将 出现“蹩劲”现象。为消除此现象可将A 处轴承抬高，试求 抬高的高度。 解： 1 2 11 1 6 EI lP B， 2 2 22 16EI lP C 点 A 抬高的高度为 2 1 2 22 1 3 11 1616EI llP EI lP 32. 图示梁 AB 的左端固定， 而右端铰支。 梁的横截面高度为h，弯曲刚度为EI，线 膨胀系数为 l，若梁在安装后，顶面温度 为 t1，底面温度为t2（t2t1） ，试求此梁的约束力。 解 ： 因 温 度 变

17、 化 而 弯 曲 的 挠 曲 线 微 分 方 程 为 h tt x w x l )( d d d d 12 2 2 由 A 处边界条件得 212 2 )( x h tt w l 而 EI lF w B BFB 3 3 33. 图示温度继电器中两种金属片粘结的组合梁，左端固定， 右端自由。两种材料的弹性模量分别为E1与 E2。线膨胀系 数分别为 1l与2l，并且1l2l。试求温度升高t时在 B 端 引起的挠度。 解： 1l2l，梁上凸下凹弯曲 平衡条件FN1 = FN2 = FN M1 + M2 = FNh 变形协调1 =2， 2 2 1 1 E M E M A2 A1 A B,C D B C

18、1 2 A l B T1 T2 1 2 l A E1 b h h 1 E2 2 B 83 1 =2，即 1N +1M +1t =2N +2M + 2t 得t IE hM AE F t IE hM AE F ll2 22 2 22 N2 1 11 1 11 1N 22 其中A1 = A2 = bh，I1 = I2 = 12 3 bh 则FN1 = FN2 = 21 2 2 2 1 212121 14 )()( EEEE EEEtbhE ll M1 = 21 2 2 2 1 2 2 1 2 21 14 )( EEEE EEtbh ll M2 = 21 2 2 2 1 2 21 2 21 14 )(

19、 EEEE EEtbh ll 故 )14( )( 22 21 2 2 2 1 2 2121 22 2 2 11 2 1 EEEEh lEtEb IE lM IE lM w ll B 34. 单位长度重量为q，弯曲刚度为 EI 的均匀钢条放置在刚性平面上， 钢条的一端伸出水平面一小段CD，若伸出段的长度为a，试 求钢条抬高水平面BC 段的长度 b。 解：0 6 2/ 24 23 EI bqa EI qb B 35. 图示将厚为 h = 3 mm 的带钢围卷在半径R = 1.2 m的刚性 圆弧上，试求此时带钢所产生的最大弯 曲正应力。已知钢的弹性模量E = 210 GPa，屈服极限s= 280 M

20、Pa，为避免带 钢产生塑性变形， 圆弧面的半径R 应不 小于多少？ 解：262 max max Ey MPa， hR Eh 2 s， R = 1.12 m AB C ab F h R F x l BA q0 )(xq 84 36. 一悬臂梁受分布载荷作用如图示， 荷载集度x l qxq 2 cos)( 0，试用叠加原理 求自由端处截面B 的挠度 wB，梁弯曲 刚度 EI 为常量。 解： l BB EI lq ww 04 34 0 3 )24(2 d（） 37. 试用叠加法求图示简支梁跨中截面C 的挠度 wC值， 梁弯 曲刚度 EI 为常量。 解： a EI qa EI qa EI aF w A

21、 C 683 )2( 343 EI qa 8 19 4 （） q AB aa DCE aa x l BA q0 dx xxqFd)(d= 85 38. 试求图示超静定梁截面C 的挠度 wC值，梁弯曲刚度EI 为常量。 解：取悬臂梁为基本系统，wB = 0 EI aF EI aFa EI aF B 3 )2( 2 )2( 3 )2( 323 ， 4 7F FB（） EI Fa EI aF a EI aF EI aF wC 6 5 3 )3( 2 )2)(4/7( 3 )2)(4/7( 3323 （） 39. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度 EI 为常量。 解：取悬臂梁为基本系统，wB

22、= 0 16 17ql FB（）， 16 7ql FA（） ， 16 2 ql M A（） 40. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度 EI 为常量。 解：去 C 支座，取简支梁AB 为基本系统 EI lF EI lq C 48384 )2/(5 34 0 ， 16 5 0l q FC（） 96 0l q FA（） ， 96 17 0l q FB（） 41. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度 EI 为常量。 解：去 C 支座，取简支梁AB 为基本系统 EI lF EI lq C 48384 )2/(5 34 ， 16 5ql FC（） 32 7ql FB（） ， 32 ql FA

23、（） 42. 试求图示超静定梁支座约束力值， 梁弯曲刚度EI 为常量。 解：去 C 支座，取简支梁AB 为基本系统 wC = 0， 32 57qa FC（）， 64 7qa FF BA （） 利用对称性取C 端固定，以AC 段悬梁比拟作基本系统， wA = 0 0 3 )2( 68 332 EI aF a EI qa EI qa A ， 64 7qa FA（） AB C q l /2l/2 2a F BAC a q ABC l/2l A B C q l/2l/2 0 q A C B aaaa A q C w =0 AFA AB C F wC2 C wC1 A qa q C 86 43. 试求图

24、示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度 EI 为常量。 解：去 C 支座，取简支梁AB 为基本系统 EI Fa EI aF a EI Fa EI Fa wC 6 11 3 )2( 23 3323 1（） EI aF EI aF w CC C 3 4 48 )4( 33 2（） wC = 0， 8 11F FC（） 16 5F FF BA （） 另解：因对称性，取C 处固定的 AC 悬臂梁为基本系统，wA = 0 a EI Fa EI Fa EI aFA 233 )2( 233 ， 16 5F FA（） ， 8 11F FC（） 44. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度 EI 为常量。 解：

25、去 A 支座，以外伸梁为基本系统，wA = 0 32 3F FA（） ， 16 11F FB（）， 32 13F FC（） 45. 试求图示超静定梁支座约束力值， 梁弯曲刚度EI 为常量。 解：因反对称， wC = 0 取 AC 段悬臂梁为基本系统，C 处只有反对称内力FSC a M FA 4 3 e （）， 4 e M M A （） a M FB 4 3 e （）， 4 e M M B（） 46. 图示超静定梁A 端固定， B 端固结于可沿铅垂方向作微 小移动，但不可转动的定向支座上。梁弯曲刚度EI 为常量， 试求挠度 wB值。 解：去 B 支座，以悬臂梁AB 为基本系统， B = 0 6

26、, 6 23 ql M EI lM EI ql B B （） EI ql EI ql EI lql wB 2482 )6/( 4422 （） 47. 图示超静定梁AB 两端固定， 弯曲刚度为EI， 试求支座 B 下沉 后，梁支座B 处约束力。 解： 取悬臂梁 AB 为基本系统， wB =， B = 0 A F C B a F aaa F A C B aa/2a/2 q l AB AB l 87 EI lM EI lF BB 23 23 3 12 l EI FB（） 0 2 22 EI lM EI lF BB 2 6 l EI M B（） 另解：由挠曲线反对称，内力一定是反对称，且l/2 处有拐

27、 点，此处 M = 0，挠度 2 C w 23 )2/( 3 S EI lF C ， 3 S 12 l EI F C（） 3 12 l EI FA（）， 2S 6 2l EIl FM CA （） 48. 图示超静定梁AB 两端固定， 弯曲刚度为EI， 试求支座 B 转动 角后，梁支座的约束力。 解：取悬臂梁AB 为基本系统， wB = 0，B = 0 32 32 EI lF EI lM BB 2 6 l EI FB（） EI lF EI lM BB 2 2 l EI M B 4 （） 另解：取简支梁AB 为基本系统， A = 0，B = 0 63EI lM EI lM BA l EI M A

28、2 （） EI lM EI lM BA 36l EI M B 4 （） 49. 图示悬臂梁自由端B 处与 45光滑斜面接触， 设梁材料 弹性模量 E、横截面积A、惯性矩I 及线膨胀系数 l 已知， 当温度升高 T，试求梁内最大弯矩Mmax。 解：取 AB 悬臂梁为基本系统 变形协调关系 NtB llw 即 EA Nl lT EI lF l B 3 3 且N = F B 22 3 3 3 1 AlI EIAT EI l EA T N ll , 2 max 3 3 AlI EIAlT NlM l 50. 试用积分法求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度 EI 为常量。 解： 30 6 )(x l

29、q xFMxMwEI AA x = 0， A = 0，C = 0 AB l AB l 45 w l q x AB 0 88 x = 0，wA = 0，D = 0 联立求解得 30 2 0l q M A（） ， 20 3 0l q FA（） 20 2 0l q M B（） ， 20 7 0l q FB（） 51. 梁 挠 曲 线 近 似 微 分 方 程 为 EI xM w )( ， 其 近 似 性 是，和。 答：1)1( 2 w；略去剪力对位移的影响。 52. 应 用 叠 加 原 理 求 梁 的 变 形 及 位 移 应 满 足 的 条 件 是，和。 答：线弹性；小变形。 53. 梁变形中挠度和转角之间的关系为。 答：)()(xxw 54. 等截面纯弯曲梁变形的挠曲线为曲线，其曲率与外 力偶矩间关系为。 答：圆； EI M e 1 。 55. 图示简支梁跨中截面C 的挠曲线 曲率半径为。 答： 2 8 ql EI M EI C C 56. 一超静定梁受载荷如图示，当梁长l 增加一倍，其余不 变，则跨中挠度wC增大倍。 答： 15。 l/2l/2 AB C q ABA l q B 2l q