椭圆典型题型归纳(学生版).pdf

《椭圆典型题型归纳(学生版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆典型题型归纳(学生版).pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、椭圆典型题型归纳 题型一 . 定义及其应用 例 1. 已知一个动圆与圆 22 :(4)100Cxy相内切，且过点(4,0)A， 求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例 2. 方程 22 3 (1)(1)22xyxy所表示的曲线是 练习 ： 1. 方程 2222 (3)(3)6xyxy对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 方程 2222 (3)(3)10xyxy对应的图形是（） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3. 方程 2222 (3)(3)10xyxy成立的充要条件是（） A. 22 1 2516 xy B. 22 1 259 xy C. 22 1 16

2、25 xy D. 22 1 925 xy 4. 如果方程 2222 ()()1xymxymm表示椭圆，则 m的取值范围是 5. 过椭圆 22 941xy的一个焦点 1 F的直线与椭圆相交于,A B两点，则,A B两点与椭圆的 另一个焦点 2 F构成的 2 ABF的周长等于； 6. 设圆 22 (1)25xy的圆心为C，(1,0)A是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为； 题型二 . 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1. 方程 22 1 1625 xy 的曲线是到定点和的距离之和等于的 点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例 2.

3、 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3 倍，并且过点(3,0)P，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例 3. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1( 6,1) P、 2( 3,2)P， 求椭圆的方程； 例 4. 求经过点(2,3)且与椭圆 22 9436xy有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地， 与椭圆 22 22 1 xy ab 共焦点的椭圆可设其方程为 22 2 22 1() xy kb akbk ； （四）定义法求轨迹方程； 例 5. 在ABC中，,A B C所对的三边分别为, ,a b c， 且( 1 ,0 ) , ( 1 ,0 )BC， 求满足bac 且

4、 sinB，sinA，sinC 成等差数列时顶点A的轨迹； 练习： 1.三角形 ABC 中， B（-2,0） ，C（2，0） ，AB 、AC 边上的中线长之和为30，求三角形ABC 的重心的轨迹方程。 2.已知动圆C 和定圆 O： （x-3） 2 +y 2 = 64 相内切，且A（3，0）在动圆C 上，求动圆圆心 的轨迹方程。 （五）相关点代入法求轨迹方程； 例 6. 已知x轴上一定点A(2，-3)，Q为椭圆 2 2 1 4 x y上任一点，求AQ的中点M的轨 迹方程； （六）直接法求轨迹方程； 例 7. 设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 22 24xy交于,A B两点，点P是直线l上满足 1P

5、A PB的点，求点P的轨迹方程； （七）列方程组求方程 例 8. 中心在原点，一焦点为 (0,50)F 的椭圆被直线32yx截得的弦的中点的横坐标 为 1 2 ，求此椭圆的方程； 题型三 . 焦点三角形问题 例 1. 已知椭圆 22 1 1625 xy 上一点P的纵坐标为 5 3 ，椭圆的上下两个焦点分别为 2 F、 1 F， 求 1 PF、 2 PF及 12 cosF PF； 题型四 . 椭圆的几何性质 例 1. 已知P是椭圆 22 22 1 xy ab 上的点，的纵坐标为 5 3 ， 1 F、 2 F分别为椭圆的两个焦点， 椭圆的半焦距为c，则 12 PFPF的最大值与最小值之差为 例 2

6、. 椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的四个顶点为,A B C D，若四边形ABCD的内切圆恰 好过焦点，则椭圆的离心率为； 例 3. 若椭圆 22 1 14 xy k 的离心率为 1 2 ，则k； 例 4. 若P为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点， 1 F、 2 F为其两个焦点， 且 0 12 15PF F， 0 21 75PF F，则椭圆的离心率为 题型五 . 求范围 例 1. 方程 22 22 1 (1) xy mm 表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围； 题型六 . 椭圆的第二定义的应用 例 1. 方程 22 2 (1)(1)2xyxy所表示的曲线

7、是 例 2. 求经过点(1,2)M，以y轴为准线，离心率为 1 2 的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例 3. 椭圆 22 1 259 xy 上有一点P，它到左准线的距离等于 5 2 ，那么P到右焦点的距离为 例 4已知椭圆1 34 22 yx ，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到 左准线的距离为它到两焦点 12 ,F F距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找 到，请说明理由。 例 5已知椭圆1 59 22 yx 内有一点)1,1 (A， 1 F、 2 F分别是椭圆的左、右焦点，点P是 椭圆上一点求 2 2 3 PFPA的最小值及对应的点P的坐标 题型七 . 求离心率 例

8、1. 椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的左焦点为 1( ,0)Fc，(,0)Aa，(0, )Bb是两个顶点， 如果 1 F到直线AB的距离为 7 b ，则椭圆的离心率e 例 2. 若P为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点， 1 F、 2 F为其两个焦点，且 12 PF F， 21 2PF F，则椭圆的离心率为 例3. 1 F、 2 F为椭圆的两个焦点，过 2 F的直线交椭圆于,P Q两点， 1 PFPQ，且 1 PFPQ，则椭圆的离心率为； 题型八 . 椭圆参数方程的应用 例1. 椭圆 22 1 43 xy 上的点P到直线270xy的距离最大时，点P的坐标 例 2

9、. 方程 22 sincos1xy(0) 表示焦点在y轴上的椭圆， 求的取值范围； 题型九 . 直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系 例 1.当m为何值时，直线:lyxm与椭圆 22 916144xy相切、相交、相离？ 例 2. 曲线 222 22xya（0a）与连结( 1,1)A，(2,3)B的线段没有公共点，求a的取 值范围。 例 3. 过点 )0,3(P 作直线l与椭圆 22 3412xy相交于,A B两点， O为坐标原点，求 OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 例4. 求 直 线cossin2xy和 椭 圆 22 36xy有 公 共 点 时 ，的 取 值 范 围 (0)

10、。 （二）弦长问题 例 1. 已知椭圆 22 212xy，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为 1 的直线被 椭圆截得的弦长为 3 134 ，求点A的坐标。 (2,0)A； 例 2. 椭圆 22 1axby与直线1xy相交于,A B两点，C是AB的中点， 若22| AB，O为坐标原点，OC的斜率为 2 2 ，求,a b的值。 例 3. 椭圆1 2045 22 yx 的焦点分别是 1 F和 2 F，过中心O作直线与椭圆交于,A B两点，若 2 ABF的面积是20，求直线方程。 （三）弦所在直线方程 例 1. 已知椭圆 22 1 164 xy ，过点(2,0)P能否作直线l与椭圆相交所成弦的

11、中点恰好是P； 例 2. 已知一直线与椭圆 22 4936xy相交于,A B两点， 弦AB的中点坐标为(1,1)M，求 直线AB的方程； 例 3. 椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率 3 2 e,过点( 1,0)C的直线l与椭 圆E相交于,A B两点，且C 分有向线段AB的比为 （1）用直线l的斜率(0)k k表示OAB的面积； （2）当OAB的面积最大时，求椭圆E 的方程 解： （1）设椭圆E的方程为1 2 2 2 2 b y a x ，由 2 3 c e a ， a 2=3b2 故椭圆方程 222 33xyb； 设 1122 (,),(,)A x yB xy，由于点( 1,0)C分

12、有向线段AB的比为 2 0 3 2 1 3 2 21 21 yy xx ，即 21 21 2 )1(21 yy xx 由 ) 1( 33 222 xky byx 消去 y 整理并化简得(3k 2+1)x2+6k2x+3k23b2 =0 由直线 l 与椭圆 E 相交于 1122 (,),(,)A x yB xy两点 13 33 13 6 0)23)(13(436 2 22 21 2 2 21 2224 k bk xx k k xx bkkk 而 1222222 11333 | 2| (1)|1| 22222 OAB Syyyyyk xkx 由得 : 22 2 1 31 x k ，代入得： 2 3

13、| (0) 31 OAB k Sk k . （2）因 2 3|333 1 312 2 3 3| | OAB k S k k k , 当且仅当, 3 3 k OAB S 取得最大值 此时 12 1xx，又 12 2 1 3 xx ， 12 1,2xx； 将 12 ,x x及 2 1 3 k代入得 3b 2=5，椭圆方程22 35xy 例 4. 已知 11022 (,),(1,),(,)A xyByC xy是椭圆 22 1 43 xy 上的三点，F为椭圆的左焦点， 且,AFBFCF成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。 （四）关于直线对称问题 例 1. 已知椭圆 22 1 43

14、 xy ，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线 4yxm对称； 例 2. 已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率 3 22 e，试问是否存在直 线l，使l与椭圆交于不同两点,A B，且线段AB恰被直线 2 1 x平分？若存在，求出直 线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。 题型十 . 最值问题 例 1 若( 2 , 3 )P， 2 F为椭圆1 1625 22 yx 的右焦点， 点 M 在椭圆上移动， 求 2 MPMF 的最大值和最小值。 分析：欲求 2 MPMF的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 F2 F1 M1 M2 o 21 2MF

15、aMF, 1 F为椭圆的左焦点。 解： 21 2MPMFMPaMF，连接 1 PF，延长 1 PF交椭圆于点M1,延长 1 F P交椭 圆于点 2 M由三角形三边关系知 111 PFMPMFPF 当且仅当M与 1 M重合时取右等号、M与 2 M重合时取左等号。 因为 1 210,2aPF，所以 2max ()12MPMF, 2min ()8MPMF； 结论 1：设椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的左右焦点分别为 12 ,F F, 00 (,)P xy为椭圆内一点，( , )M x y为 椭圆上任意一点，则 2 MPMF的最大值为 1 2aPF,最小值为 1 2aPF； 例 2( 2,6

16、)P, 2 F为椭圆1 1625 22 yx 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求 2 MPMF的 最大值和最小值。 分析：点P在椭圆外， 2 PF交椭圆于M，此点使 2 MPMF值最小，求最大值方法同例 1。 解： 21 2MPMFMPaMF，连接 1 PF并延长交椭圆于点M1， 则 M 在 M1处时 1 MPMF取最大值 1 PF； 2 MPMF最大值是10+37，最小值是41。 结论 2 设椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的左右焦点分别为 12 ,F F， 00 (,)P xy为椭圆外一点，( , )M x y为 椭圆上任意一点，则 2 MPMF的最大值为 1 2aPF，最小值为 2

17、 PF; 2.二次函数法 例 3求定点( ,0)A a到椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上的点之间的最短距离。 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA，转化为, x y的函数求最小值。 解：设( , )P x y为椭圆上任意一点， 2 22222211 ()()1(2 )1 22 PAxayxaxxaa 由椭圆方程知x的取值范围是 2,2 （1）若 2 2 a，则2xa时， 2 min 1PAa （2）若 2 2 a,则2x时 min 2PAa （3）若 2 2 a,则 min 2PAa 结论 3：椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上的点( , )M x y到定点 A(

18、m,0) 或 B(0,n)距离的最值问题，可以用 两点间距离公式表示MA 或 MB ，通过动点在椭圆上消去y 或 x,转化为二次函数求 最值，注意自变量的取值范围。 3.三角函数法 例 4求椭圆1 4 2 2 2 y x 上的点( ,)M x y到直线:24lxy的距离的最值； 解：三角换元 24 5 xy d1 4 2 2 2 y x 令R y x sin cos2 则 2cos2sin4 2 2sin()2 455 d 当sin()1 4 时 min 4 52 10 5 d；当sin()1 4 时 , max 4 52 10 5 d 结论 4： 若椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上

19、的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数 方程，统一变量转化为三角函数求最值。 4.判别式法 例 4 的解决还可以用下面方法 把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。 解。令直线:20m xyc将2xyc代入椭圆方程整理得 22 8440ycyc， 由 =0 解得2 2c, 2 2c时直线:22 20m xy与椭圆切于点P， 则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离， 所以 min 4 52 10 5 d； 2 2c时直线:22 20m xy与椭圆切于点Q，则 Q 到直线 l 的距离为最大值，且 最大值就是两平行直线m 与 l

20、的距离，所以 max 4 52 10 5 d。 结论 5： 椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问 题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。 例 5. 已知定点( 2, 3)A，点F为椭圆 22 1 1612 xy 的右焦点，点M在该椭圆上移动时， 求2AMMF的最小值，并求此时点M的坐标；（第二定义的应用） 例 3已知 1 F、 2 F分别为椭圆 22 1 10064 xy 的左、右焦点，椭圆内一点 M 的坐标为(2,6)， P为椭圆上的一个动点，试分别求： （1） 2 5 3 PMPF的最小值；（2） 2 PMPF的取值范

21、围 综上可知， 2 PMPF的取值范围为10,30; 三角形法： 椭圆1 2 2 2 2 b y a x （b 2=5, a25）的左焦点为 F，直线 x=m 于椭圆相交于点A,B, 三角形 FAB 的周长的最大值为12， 则该椭圆的离心率为 题型十一 .轨迹问题 例 1到两定点(2,1)，( 2,2)的距离之和为定值5 的点的轨迹是( ) 椭圆双曲线直线线段 例 2已知点(3,0)A，点P在圆 22 1xy的上半圆周上 (即 y0)，AOP 的平分线交PA 于 Q，求点 Q 的轨迹方程。 例 3.已知圆 22 :(3)100Cxy及点( 3,0)A，P是圆 C 上任一点，线段PA的垂直平 分线 l 与 PC 相交于 Q 点，求 Q 点的轨迹方程。 题型十二 . 椭圆与数形结合 例 1关于x的方程 2 2220xkxk有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围 . 例 2求函数 246tt 的最值。