《江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试卷及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试数学试卷及答案.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、苏州市 2015 届上学期高三期末调研考试 数学试题 一、填空题 1.已知集合| 22,|1 AxxBx x，则AB. 2.已知 23 ( , i abi a bR i i 为虚数单位)，则ab. 3.已知函数( )sin() 5 f xkx的最小正周期是 3 ，则正数k的值为. 4.某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分 别为 4、12、8.若用分层抽样抽取6 个城市，则乙组中应该抽取的城市数为. 5.已知等差数列 n a中， 46 10aa，若前 5 项的和 5 5S，则其公差为. 6.运行如图所示的流程图，如果输入1,2ab， 则输出的a的
2、值为. 7.以抛物线 2 4yx的焦点为顶点，顶点为中心， 离心率为2的双曲线标准方程为. 8.设 1,1,2,0,2xy，则以( ,)x y为坐标 的点落在不等式21xy所表示的平面区域内的 概率为. 9.已知函数( )lg(1) 2 x a f x的定义域是 1 (,) 2 ， 则实数a的值为. 10.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为. 11.如图，在ABC中，已知4,6,60ABACBAC， 点,D E分别在边,AB AC上，且2,3ABAD ACAE， 点F为DE中点，则BF DE的值为. 12.已知函数 2 4, ( ) 43, f x xx , . xm
3、xm 若函数( )( )2g xf xx恰有三个不同的零点，则实数 m的取值范围是. 13.已知圆 22 : (1)(1)4Mxy，直线:60,lxyA为直线l上一点，若圆M上存在两 A D F E B C 开始 输入 a,b a 8 a a+b 输出 a 结束 Y N 点,B C，使得60BAC，则点 A 的横坐标的取值范围是. 14.已知,a b为正实数，且2ab，则 22 2 1 ab ab 的最小值为 . 二、解答题 15.已知向量(sin,2),(cos ,1)ab，且,a b共线，其中(0,) 2 . （1）求tan() 4 的值； （2）若5cos()3 5cos ,0 2 ，求
4、的值 . 16.如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，,E F分别是 1 ,AD DD中点 . 求证：（1）EF平面 1 C BD； （2） 1 AC平面 1 C BD. A B C D A1 B1 C1 D1 17.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为 120 ,AB AC的长度均大于200 米，现在边界AP，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆 . （1）若围墙AP,AQ 总长度为200 米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？ （2） 已知 AP 段围墙高 1 米，AQ 段围墙高1.5 米，造价均为每平方米100 元.若围围墙用
5、了20000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省？ 18.如图，已知椭圆 22 :1 124 xy C，点 B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A（A 点在x轴下方），且线段AB 的中点 E 在直线yx上. （1）求直线AB 的方程； （2）若点 P 为椭圆 C 上异于 A、 B 的动点，且直线AP,BP 分别交直线yx于点 M、N，证明： OMON 为定值 . A P Q B C P N M B O A x y E 19.已知函数( )(1) x f xea x，其中,aR e为自然对数底数. （1）当1a时，求函数( )f x在点(1, (1)f处的切线方程； （2）讨论函数( )
6、f x的单调性，并写出相应的单调区间； （3）已知bR，若函数( )f xb对任意xR都成立，求ab的最大值 . 20.已知数列 n a中 11 1 1,3 3 n n n an aa an ( ( n n 为奇数） 为偶数） . （1）是否存在实数，使数列 2 - n a是等比数列？若存在，求的值； 若不存在， 请说明理由； （2）若 n S是数列 n a的前n项和，求满足0 n S的所有正整数n. 数 学 数学附加题部分 注意事项 1本试卷共2 页，均为解答题（第21 题第 23 题，共 4 题） 本卷满分为40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2作答试
7、题， 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一 律无效 21 【选做题】 本题包括A、B、C、D 四小题， 请选定其中两题 ，并在相应的答题区域内作答 若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-：几何证明选讲 （本小题满分10 分）如图，过圆O 外一点 P 作圆 O 的切线 PA，切点为A，连结 OP 与圆 O 交于点 C，过 C 作 AP 的算线，垂足为D，若 PA12cm，PC6cm，求 CD 的长。 B选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分10 分） 已知矩阵， A= 12 11 ， 向量 2 1 ， 求向量
8、，使得 2 A . C选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10 分） 在极坐标系中，已知圆3cos与直线2cos4sin0a相切，求实数a 的值 . D选修 45：不等式选讲 （本小题满分10 分）设实数x，y，z 满足，的最小值，并求 此时 x，y， z 的值。 【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分10 分） 如图，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，2,1ABAF. （1）求二面角A-DF-B 的大小； （2）试在线段AC 上确定一点P，使
9、PF与 BC 所成角为60. 23、 （10分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能 获利 10%，可能损失10%，可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为 1 1 1 , 2 4 4 ；如果投资乙 项目，一年后可能获利20%，可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为 和（+=1）. （1）如果把10 万元投资甲项目，用X 表示投资收益（收益=回收资金 - 投资资金），求 X 的概率 分布列及数学期望E（X） . （2）若 10 万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围 . 苏州市 2015届高三调研测试 A B C D E
10、F A1B1 C1 D 1 数学试题20151 参考答案与评分标准 1(2， 1 21 3 6 43 52 69 7 2 2 1 3 y x8 1 2 9 2 10 3 3 114 12 1,2 131,5 14 32 2 3 15解（1） ab，sin2cos0，即tan2 ,4 分 1tan12 tan()3 41tan12 ,7 分 （2）由（ 1）知tan2，又 (0,) 2 ， 2 55 sin,cos 55 ， , 9 分 5cos( )3 5 cos ， 5(cos cossinsin)3 5 cos ，即 5 cos2 5sin3 5 cos ， cossin，即tan1，,1
11、2 分 又0 2 ， 4 ,14 分 16证明：（1）连结 A1D ， E，F 分别是 AD 和 DD1 的中点，EF AD 1 , 2 分 正方体 ABCD A1B1C1D1 ， AB D1C1，AB=D1C1 四边形 ABC1D1 为平行四边形，即有A1D BC1 ,4 分 EFBC1 又 EF 平面 C1BD，BC1平面 C1BD， EF平面 AB1D1 ,7 分 （2）连结 AC ，则 AC BD 正方体 ABCD A1B1C1D1 ， AA1 平面 ABCD ， AA1 BD 又 1 AAACAI ， BD平面 AA1C ， A1C BD,11 分 同理可证 A1C BC1 又 1
12、BDBCBI， A1C 平面 C1BD,14 分 17解设 APx 米， AQy 米 （1）则200xy，APQ的面积 13 sin120 24 Sxyxy ,3 分 S 23 () 42 xy 2500 3 当且仅当100xy时取 “=”, 6 分 （注：不写“”成立条件扣1 分） （2）由题意得100(11.5)20000xy，即1.5200xy,8 分 要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以 222 2cos120PQxyxy 22 xyxy 22 (200 1.5 )(2001.5 )yyy y 2 1.7540040000yy（ 400 0 3 y）,11 分 当 800 7
13、 y时，PQ有最小值 20021 7 ，此时 200 7 x,13 分 答： （ 1）当100APAQ米时，三角形地块APQ 的面积最大为 2500 3平方米； （2）当 200 7 AP 米 800 , 7 AQ 米时，可使竹篱笆用料最省,14 分 18解：（1）设点 E（m，m） ，由 B（0， 2）得 A（2m， 2m+2） 代入椭圆方程得 22 4(22) 1 124 mm ，即 2 2 (1)1 3 m m， 解得 3 2 m或0m（舍） ,3 分 所以 A（3，1） ， 故直线 AB 的方程为360xy,6 分 （2）设 00 (,)P xy，则 22 00 1 124 xy ，即
14、 2 20 0 4 3 x y 设(,) MM M xy,由 A，P，M 三点共线，即 APAM uu u ruuu r P ， 00 (3)(1)(1)(3) MM xyyx， 又点 M 在直线 y=x 上，解得M 点的横坐标 00 00 3 2 M yx x xy ，,9 分 设(,) NN N xy，由 B，P，N 三点共线，即 BPBN uu ruuu r P ， 00 (2)(2) NN xyyx， 点 N 在直线 y=x 上， ，解得 N 点的横坐标 0 00 2 2 N x x xy ,12 分 所以 OMON=2 |0|2 |0| MN xx=2| | | MN xx2 00
15、00 3 | 2 yx xy 0 00 2 | 2 x xy = 2 000 2 00 26 2| ()4 xx y xy = 2 000 2 20 000 26 2| 2 3 xx y x xx y = 2 000 2 0 00 3 2| 3 xx y x x y =6 ,16 分 19解：（1）当1a时， e1 x fx， 1e 1f，1ef，, 2 分 函数 fx 在点1,1f 处的切线方程为 ee 11yx ， 即e 11yx,4 分 （2）e x fxa， 当0a时，0fx，函数fx在R上单调递增； , 6 分 当0a时，由e0 x fxa得lnxa， ,lnxa 时， 0fx ，f
16、 x 单调递减； ln ,xa 时， 0fx ，f x 单调 递增 综上，当0a时，函数fx的单调递增区间为(,)；当0a时，函数fx的单调递 增区间为ln ,a，单调递减区间为,ln a , 9 分 （3）由（ 2）知，当0a时，函数fx在R上单调递增， fxb不可能恒成立；,10 分 当0a时， 0b ，此时0ab； ,11 分 当0a时，由函数fxb对任意 xR 都成立，得 min bfx， min ln2lnfxfaaaa，2lnbaaa,13 分 22 2lnabaaa， 设 22 2ln0g aaaaa，42 ln32 lngaaaaaaaa， 由于0a，令 0ga ，得 3 ln
17、 2 a ， 3 2 ea ， 当 3 2 0, ea时， 0ga，g a单调递增； 3 2 e ,a时， 0ga，g a单调递减 3 max e 2 ga，即 ab的最大值为 3 e 2 ， 此时 33 22 1 e ,e 2 ab,16 分 20解：（1）设 2nn ba， 因为 21 122 22 1 21 3 n nn nnn an ba baa 22 22 11 6211 33 nn nn anna aa , 2 分 若数列 2n a是等比数列，则必须有 2 2 1 1 3 n n a q a （常数）， 即 2 1 110 3 n qaq，即 1 0 3 110 q q 1 3 3
18、 2 q ，, 5 分 此时 121 3131 10 2326 baa， 所以存在实数 3 2 ，使数列2na是等比数列, 6 分 （注：利用前几项，求出的值，并证明不扣分） （2）由（ 1）得 n b是以 1 6 为首项， 1 3 为公比的等比数列， 故 1 2 31111 26323 nn nn ba ，即 2 113 232 n n a ，, 8 分 由 221 1 21 3 nn aan，得 1 212 1115 33 216 232 n nn aann ，,10 分 所以 1 212 1111 69269 2333 nnn nn aann， 21234212nnn SaaaaaaL 2 111 26 129 333 n nnLL 11 1 33 (1) 269 1 2 1 3 n n n n 2 2 11 1 36312 33 nn nnn ，, ,12 分 显然当 * nN时，2nS单调递减， 又当1n时， 2 7 0 3 S，当2n时， 4 8 0 9 S，所以当2n时， 2 0 n S； 2 2122 315 36 232 n nnn SSann， 同理，当且仅当1n时， 21 0 n S 综上，满足0 n S的所有正整数n为 1 和 2 ,16 分