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1、课时作业 (五十二 ) 一、选择题 1设双曲线 y 2 9 x 2 a 21(a0)的渐近线方程为 3x 4y0，则双曲线的离心率为 (B) A. 5 4 B.5 3 C. 7 4 D.7 解析：由双曲线的渐近线方程为3x 4y0 知 a 216， 双曲线的离心率为 e 916 3 5 3，故选 B. 2已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(5，0)，点 P 在双曲线上， 且线段 PF1的中点坐标为 (0,2)，则此双曲线的方程是 (B) A. x 2 4 y21 Bx2y 2 4 1 C.x 2 2 y 2 31 D.x 2 3 y 2 2 1 解析： 由题可知 c5，线段 PF1的中点坐
2、标为 (0,2)，画图可得P(5，4)，故可得双 曲线方程为x 2y 2 4 1. 3已知椭圆 x 2 my 21(m1)和双曲线x 2 n y 21(n0)有相同的焦点 F1、F2，P 是它们的一个交点，则 F1PF2的形状是 (B) A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D随 m、n 变化而变化 解析： 如图，对椭圆 x 2 my 21(m1)，c2m1，|PF 1|PF2|2 m，对双曲线 x 2 n y 2 1，c2n1，|PF1|PF2|2 n， |PF1|mn，|PF2|mn，(2c) 22(mn)， 而|PF1| 2|PF 2| 22(mn)(2c)2， F1PF2是直角三角形选
3、B. 4斜率为3的直线与双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)恒有两 个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(D) A2， ) B( 3， ) C(1，3) D(2， ) 解析： 由双曲线的性质知 b a 3，即得 c 2a23a2，e2. 5圆锥曲线 C 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1| |F1F2|PF2|432，则曲线 C 的离心率为 (D) A. 2 3或 3 2 B.2 3或 2 C.1 2或 2 D.1 2或 3 2 解析： 不妨设 |PF1|4x，|F1F2|3x，|PF2|2x，若此曲线为椭圆，则有|PF1|PF2| 6x2a，
4、|F1F2|3x2c，所以离心率为e 2c 2a 3x 6x 1 2，若此曲线为双曲线，则有 |PF1| |PF2|2x2a，此时离心率e 2c 2a 3x 2x 3 2，故选 D. 6如图所示， F1，F2是双曲线 x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点 O 为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点分别为A，B，且F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为() A.21 B.31 C. 21 2 D. 31 2 解析： 连接 OA，AF1，|OA|OF2|c，因 AF2B 为等边三角形， AF2OF2AO30 ，AOF2120 ，|AF2|3c，AF
5、1O 为等边三角 形， |AF1|c，|AF2|AF1|3cc2a，e c a 2 31 31，选 B. 7已知 A 是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的左顶点，F1、F2分别为双曲线的左、 右焦点，P 为双曲线上一点， G 是PF1F2的重心，若 GA PF1 ，则双曲线的离心 率为(B) A2 B3 C4 D与 的取值有关 解析：由已知 GA PF1 知 GAPF1， 即OAGOF1P， 得OG OP OA OF1 a c 1 3得 e c a3，故选 B. 二、填空题 8设 F1，F2是双曲线 C：x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的两个焦点若 在 C
6、上存在一点 P，使 PF1PF2，且 PF1F230 ，则 C 的离心率为 _ 解析： 由已知可得， |PF1|2ccos 30 3c，|PF2|2csin 30 c，由双曲线的定义， 可得3cc2a，则 e c a 2 31 31. 答案：31 9 已知双曲线 x 2ky21 的一个焦点是 ( 5， 0)， 则其渐近线方程为 _ 解析： 由方程知 a 21，b21 k，c 2511 k， k 1 4，即 b 24，渐近线方程为 y b ax 2x. 答案： y 2x 10已知 F 为双曲线 C：x 2 9 y 2 161 的左焦点， P，Q 为 C 上的点若 PQ 的 长等于虚轴长的 2 倍
7、，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则 PQF 的周长为 _ 解析： 由题意得， |FP|PA|6，|FQ|QA|6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP| |FQ|28，所以 PQF 的周长为 |FP|FQ|PQ|44. 答案： 44 11已知 F1，F2分别是双曲线 x 2y 2 b 21 的左、右焦点， A 是双曲线上在第一 象限内的点，若|AF2|2 且F1AF245 .延长 AF2交双曲线右支于点B，则F1AB 的面积等于 _ 解析： 由题知 a1，根据双曲线定义|AF1|AF2|2a 所以 |AF1|4，|BF1|BF2|2， |BF1|2|BF2| 由图知 |AB|AF2|BF2|
8、2|BF2|BA|BF1|，ABF1为等腰三角形， 又因 F1AF2 45 ，所以 ABF190 ，则 ABF1为等腰直角三角形，所以|AB|BF1|22.所以 S F1AB 1 22 22 24. 答案： 4 三、解答题 12已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过 点(4，10)点 M(3，m)在双曲线上 (1)求双曲线方程； (2)求证： MF1 MF2 0； (3)求F1MF2面积 解： (1)e2，可设双曲线方程为x2y2 . 过点 (4，10)，1610 ，即 6. 双曲线方程为x 2y26. (2)证明：由 (1)可知，双曲线中ab6， c2 3， F1
9、(23，0)，F2(23，0)， MF1 (323， m)，MF2 (2 33，m)， MF1 MF2 (323)(323)m2 3m2， M 点在双曲线上，9m 26，即 m230， MF1 MF2 0. (3)F1MF2的底 |F1F2|4 3，由(2)知 m 3. F1MF2的高 h|m|3， SF1MF26. 13已知双曲线C：x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心 率为 3，直线 y2 与 C 的两个交点间的距离为6； (1)求 a、b； (2)设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于A、B 两点，且 |AF1|BF1|， 证明：
10、|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列 解： (1)由题设知 c a3，即 a 2b2 a 29，故 b 28a2. 所以 C 的方程为 8x 2y28a2. 将 y2 代入上式，并求得xa 21 2. 由题设知， 2 a 21 2 6，解得 a 21. 所以 a1，b22. (2)由(1)知， F1(3,0)，F2(3,0)，C 的方程为 8x 2y28. 由题意可设l 的方程为 yk(x3)，|k|0，b0)的离心率为 2，过双曲线 的左焦 点 F 作圆 O：x2y2a2的两条切线，切点分别为A、B，则 AFB(B) A45B60 C90D120 (2)F1， F2分别是双曲线 x 2
11、 a 2 y 2 b 21 的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左、 右两支分别交于A、B 两点若 ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为 (B) A2 B.7 C.13 D.15 解析： (1)双曲线的离心率为2，所以 c2a，由题可得右图，所以AFB60 . 画出图形，由 双曲线 的 定 义 得 |BF1| 2a， |AF2| |AF1|BF2| 2a，又 ABF2为等边三角形， |AF1|2a，|AF2|4a，|BF2|BA|4a，|BF1|6a，BF1F2中|F1F2|2c，F1BF2 60 . 由余弦定理可得4c 236a216a226a4a1 2，离心率 e c a 7，故选 B. 答案： (1)B(2)B