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1、课时作业 (四十一 ) 一、选择题 1已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为(A) A. 2 3 B. 4 3 B. C2 D4 解析： 该几何体为底面是正方形有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如 图SD底面 ABCD，SD2，四边形 ABCD 为正方形， 边长为 1，所以棱锥的体积为V1 312 2 3，选 A. 2有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视 图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为(C) A21 3 B6153 C306 3 D42 解析： 如图该平行六面体上、下、右、左面为矩形，前、后面 为平行四边形表面积S332 23233230 6 3，故选 C. 3已知正三
2、棱锥 PABC 的主视图和俯视图如图所示， 则此三棱锥的外接球的表面积为(D) A4B12 C.16 3 D.64 3 解析： 由三棱锥的主视图知，棱锥的侧棱为4，由俯视图知底 面边长为 2 3，如图， O为ABC 中心， O 为外接球球心， OC 3 3 BC2，PC4， PO2 3.OO23R， (2 3R) 24R2， 解得 R 4 3， 外接球表面积S4R 264 3 ，选 D. 4已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为 4，该几何体的体积为V1，直径为 4 的球的体积为 V2，则 V1V2 (A) A12 B21 C11 D14 解析： 由三视图可知，几何体为圆柱中间挖
3、去一个圆锥， 故 V12 2 222 21 3 16 3 V2 4 3 2 332 3 ， 故 V1V212，选 A. 5一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为(A) A43 B8 C12 D42 解析： 由三视图可知，几何体为正八面体，棱长为2. S表22 3 2 1 284 3. 6从一个正方体中截去部分几何体， 得到的几何体的三视图及 尺寸(单位： cm)如图所示，则此几何体的体积是(B) A. 22 3 cm 3 B.47 6 cm 3 C.23 3 cm 3 D8 cm 3 解析： 该几何体的直观图是棱长为2 的正方体截去一角，其体积V 2 31 3 1 2111 4
4、7 6 (cm 3)，故选 B. 7.如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其 直角边长均为 1，则该几何体的表面积为 (D) A12B22 2C.1 3 D22 解析： 依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底 面的四棱锥PABCD，其中底面边长为1，PD1，PD平面 ABCD， SPADSPCD1 211 1 2，S P ABSPBC 1 21 2 2 2 ，S正方形 ABCD 121，因此该几何体的表面积为22，选 D. 8已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球O 的球面上， SA平面 ABC，SA 2 3，AB1，AC2，BAC60 ，则球 O 的表
5、面积为 (C) A4B12 C16D64 解析： 取 SC的中点 E，连接 AE、BE，依题意， BC 2AB2AC22AB ACcos 60 3， AC 2AB2BC2，即 ABBC.又 SA平面 ABC，SABC，又 SAABA，BC平 面 SAB，BCSB，AE1 2SCBE，点 E 是三棱锥 SABC 的外接球的球心，即点 E 与 点 O 重合， OA1 2SC 1 2 SA 2AC22，球 O 的表面积为 4 OA216 ，选 C. 二、填空题 9 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)， 则该几何体的体积为 _m 3. 解析： 由三视图知， 该几何体是由一个长方体和一个圆锥拼接而成
6、的组合体，故其体 积 V321 1 3 1 236 . 答案： 6 10已知一个棱长为2 的正方体，被一个平面截后所得几何体 的三视图如图所示，则该几何体的体积是_ 解析： 根据三视图，我们先画出其几何直观图，几何体为正方体切割 而成，即正方体截去一个棱台如图所示，故所求几何体的体积V 17 3 . 答案： 17 3 11若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S 1 S2_. 解析： 设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S143 4 a 2 3a2，其内切球半径 为正四面体高的 1 4，即 r 1 4 6 3 a 6 12a，因此内切球表面积为 S24r2 a 2 6 ，则
7、S 1 S2 3a 2 6a 2 6 3 . 答案： 6 3 三、解答题 12已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高 为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形求 (1)该几何体的体积 V； (2)该几何体的侧面积S. 解： 由三视图可知，该几何体底面是边长为8 和 6 的矩形，高为4. 顶点在底面射影恰为底面矩形的中心如图，E、F 分别为 CD、BC 的中点，易求PE 4 2，PF5. (1)V 1 3S 矩形 ABCD PO 1 368464. (2)S2 1 2BC PF 1 2CD PE 2 1 285 1 264 2 4024 2.
8、 热点预测 13(1)在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，沿 AC 将矩 形 ABCD 折成一个直二面角 BACD， 则四面体 ABCD的外接球的体积为 (C) A. 125 12 B.125 9 C.125 6 D.125 3 (2)在棱长为 1的正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点 P1， P2分别是线段 AB， BD1(不 包括端点 )上的动点，且线段P1P2平行于平面 A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积 的最大值是 (A) A. 1 24 B. 1 12 C.1 6 D.1 2 (3)在底面半径为 3，高为 42 3的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3 的 大球后，再放入
9、与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数 最多为 (C) A4 个B5 个 C6 个D7 个 解析： (1)依题意，外接球的球心在RtACD 的斜边 AC 的中点， AB4，BC3， 由勾股定理求得外接球的半径R 1 2AC 5 2，四面体 ABCD 的外接球的体积为： V 4 3 5 2 3 125 6 ，故选 C. (2)可设 AP1x，则 BP11x，因线段 P1P2平行于平面A1ADD1，故由相似比例可得 P2到面 P1AB1的距离为 1x， 故所求四面体P1P2AB1的体积 V 1 3 1 2x1(1x) 1 6x(1 x)1 6 x1x 2 2 1 24，当且仅当 x1 2时取等号 (3)由题可得图 1，O1O3r，O1A42 33r123r，OA3r，O1OA 为直角三角形，所以由勾股定理得(3r) 2(3r)2(12 3r)2，解得 r1，放入的小 球的半径为1.由图 2 知 OO1OO2312，O1O22，所以 O1OO260 ，所以放入小 球的个数最多为6 个，选 C. 答案： (1)C(2)A(3)C